1991考研数二真题及解析

1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题(每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.)设y =ln(1+3),则dy =2曲线y =e的上凸区间是.ln x , dx =x过的路程等于11 W lim1x_0 ,1x ex二、选择题(每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内.)23 .y = x +ax + b和2y = 1+xy在点(1,T)处相切，其中a,b是常数，则()(4)质点以速度tsin(t2)米每秒作直线运动，则从时刻t1= J秒到t2= JT秒内质点所经(5)若曲线(A)a =0,b - -2(B

2、)a = 1,b - -3(C)a -3,b =1(D)a - -1,b - -1设函数2一 _x , 0壬x至1,、f (x) =L 2记F(x)x=0f (t)dt,0 x2，则x3(A)F(x) =312x- 3,1 ： xH(B)X3F(x) = |3，- 2x -60 xx(A)0km(a -x)2dx(B)lkm(a -x)2dx2；*dx六、(本题满分9分)曲线y=(x1)(x2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积七、(本题满分9分)八、(本题满分9分)设函数f (x)在(-o，危)内满足f (x) = f (x-兀)十sin x,且f (x) =

3、 x, x者0,R),3 计算f (x)dx.AB : DC如图，A和D分别是曲线y = ex和y = ex上的点，AB和DC均垂直x轴，且1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析1 3 ln 3 (-1)dx = -ln 3dx.3x1【解析】求函数y = f(x)的凹凸区间，只需求出y”，若y”A0,则函数图形为上凹，若y0,则函数图形为上凸，由题可知22y =e顼(2x) = 2xe顼,x2一_x2一_x221y - -2e (-2x)e(-2x) =4e (x2-；).1.2M 一，一 x 时,222十 一1 T!，lnb 1-J烈书U 1T八一1(4)【答案】12【解析】这

4、是定积分的应用设在tTt+dt时刻的速度为tsin(t2)，则在dt时间内的路程为ds = tsin(t2)dt,所以、填空题【答案】(每小题3分,满分ln3一dx3x115分.把答案填在题中横线上.)【解析】 由复合函数求导法则,即y =0,所以当x20时y0,函数图像上凸，即x22函数图像上凸.故曲线上凸区间为11(L2,2).【答案】【解1用极限法求广义积分:lnx分部bln xdx = limI x2b-y： :lnxbb11lnx七)1 11(=)/xlnb IMb 1从时刻& = 秒到t2=秒内质点所经过的路程为t2. , 2、.s = % tsin(t )dt版21=2=

5、 tsin(t)dt=： sin(t )dt/22 F1 ,二、11=一 一(cos二-cos) = -一(一1一0)=二/222223=，则曲线在点（1,-1 ）处的导数为2-3xy2两导数相等,有2+a=1,即a = 1.又因为曲线y = x2+ax + b过点(1,一1),所以有 一1 =1+a+b = 1-1+b = b,b =-1.所以选项（D）正确.【答案】（B）【解析】这是分段函数求定积分=-1cos(t2)2（5）【答案】-1【解析】 这是一个_1-型未定式，分子分母同乘以e成,得Q011-e人lim-1x_0一1=lim -x_0 xe1ex-11x1为简化计算入11,令t

6、= -，则x= -七，原式可化为1一e -1e-10-14=lim t-= 一1.t e .0 11t、选择题【答案】【解析】（每小题3分,满分15分.）（D）两函数在某点处相切，则在该点处的切线的斜率相等，即在该点处的导数相等，对两函数分别对x求导,得y =2x + a,则该曲线在点（1,一1）处的导数为yxm=2 + a,2y = y3+3xy2y,即v如手.当0壬x至1时，f (x) =x2,所以F (x) = J。f (t)dt = J。t2dt = |当1 x主2时，f（x）=2x,所以x1xF(x) = f(t)dt = t2dt(2-t)dt00i号t2x11 o 1(2x x

7、) - (2)1322712- 2x _ x .62L 3x -,0 x壬1所以F(x) = J32， 应选(B).- 2x - ，1 .；：，x _2.62【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值，如f (x) = - x -1,在x0= 1处取极大值，但是x0=1不是f (x) = x 1的驻点，所以(A)不正确；注意到极值的局部性，即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于f (x) = | x 1|，在x0=1处取极大值，但x0= -1并非是一f (x) =| x -1|的极小 值点，所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的，因为x0# 0，不妨设

8、x0A 0，则f (x0)为极大值，则在x0的某个领域内有f (x0) A f (x0Ax);函数y = _f(_x )与函数y=f(x)关于原点对称，所以必有f(x0)0.证法一：令f (x) =(1+x)ln(1 +x)xln x,则只需证明在x1时f(x)A 0即可，(4)x-sinx x -sin x1 -cosxlim-=lim-z洛lim【解析】用分部积分法求不定积分2x 2sin一9= lim-93x2 x&3x22；2lim9x。03x2 2,xsin xdx = x(5)-fdxxy =ex( ee可利用函数的单调性证明，对于f (x)有x 1f (x) = ln(1

9、 x) 1 Tn x T = ln(-).因XA1,故X+11,即(x)0,所以在(1,E)上f (x)是严格递增函数，所以xf(x) . f(1) = 2ln 2 0,故(1+x)ln(1 +x) xln x 0，所以当x1时，有不等式ln(1*x)成立.In x 1 x证法二：当x1时，原不等式即(1 + x)ln(1 +x)xln x,不等式左右两端形式一致，故令f(x)=xlnx，贝U f(x) = ln x+10(x1),所以f(x) = xlnx在x1时严格单调递增故f (x +1) f (x),即(1 +x)ln(1 +x) xln x.所以当XA1时，有不等式冬次工成立.ln

10、x 1 x五、(本题满分9分)【解析】微分方程y + y=x+cosx对应的齐次方程y+y= 0的特征方程为r2+1 = 0, 特征根为弓,2=击，故对应齐次通解为C1cosx + C2sin x.方程y十y = x必有特解为Y=ax + b,代入方程可得a=1,b = 0.方程y +y = cosx的右端e%cosEx = cosx, a+岗=为特征根，必有特解1Y2=xAcosx+xBsinx,代入万程可得A = 0, B=-.2x由叠加原理，原万程必有特解Y = Y1+丫2= x + sin x.21所以原方程的通解为y = C1cosx , C2sin x , x xsin x.2【相

11、关知识点】关于微分方程特解的求法：如果f(x) = %(x)e彩，则二阶常系数非齐次线性微分方程y+p(x)y + q(x)y = f(x)具有形如y =xkQm(x)ex的特解，其中Qm(x)与Pm(x)同次(m次)的多项式，而k按兀不 是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果f (x) =e必P(x)cosx + Pn(x)sincox,则二阶常系数非齐次线性微分方程y + p(x)y+q(x)y = f (x)的特解可设为y*二乂七气忒心)、仍x +RS)(x)sin切x,其中Rm)(x)与R# (x)是m次多项式，m =max, n,而k按兀+i切(或

12、九一陌)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.六、（本题满分9分）【解析】利用定积分求旋转体的体积，用微元法，曲线为一抛物线，与x轴的交点是x1= 1,31、x2=2,顶点坐标为（，一）.24方法一：考虑对x积分，如图中阴影部分绕y轴旋转一周，环柱体的体积为,、，Z .、2dV = n(x +dx) y nx其中dx2为dxT 0的高阶无穷小，故可省略，且y为负的，故y= _y，即dV = -2兀xydx = -2兀x(x -1)(x -2)dx.把x从1T2积分得2223V = 2二x(1-x)(x-2)dx =2* (3x -x -2x)dx方法二：考虑对y的积分，如图中阴影

13、部分绕y轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y轴旋转一周后的体积差，即2 ,2 ,dV -一.x2dy - :x1dy其中，x1，x2为Y = y与抛物线的交点，且x2x1，把Y=y代入抛物线方程y =（x1）（x2），解得3- 如4y3 ,1一4yx 一，x2 -22022故旋转体体积为V=1兀（x2-x1）dy.把x1，x2的值代入化简，得40. 3冗2项TV =上3以+4ydy = 古(1+4y)2y| =2兀x y dx Eydx2之x3-1x4-x22411=2二(0 4)七、（本题满分9分）【解析】可以利用函数的极值求解.设B、C的横坐标分别为x1，x，因为| AB|1，所以x,

14、 0.依题设AB : DC =2:1，所以有e* =2e*x，两边同时取自然对数，得x=ln22x，而BC =x-x=x-(ln2-2x) =3x-ln2,(x . 0),所以梯形ABCD的面积为S =10为e2x)(3x In 2) =l(2e)xex)(3x In 2) =3(3x In 2)ex.22232x一求函数S = (3x - In 2)e,(x a 0)的最值，满足一般函数求最值的规律，两边对x求导,2并令Sf= 0有S = 3(3 -6x 2ln 2)ex=0,2得驻点x =1+1In 2,在此点S由正变负，所以x =1+1ln 2是极大值点.232 3又驻点唯一,故x =

15、+ ln20是S = (3x ln 2)e_2x最大值点.2 32此时x =1 +1 ln 2,为=1 ln 2 -1时,梯形ABCD面积最大，2 33故B点的坐标为(ln21,0),C点的坐标为(】+1ln2,0).32 3八、(本题满分9分)【解析】这是个抽象函数求定积分，由题知f (x*) = f (x) sin(x二)=x sin x, x 0,二)，f (x 2二)=f (x顷以)sin(x 2二)=x -sin x sin x = x, x 0,二)，3二2二3二而f (x)dx = f (x)dx，I f (x)dx,2二，一2二对于f (x)dx,令t=xn：,贝U x=t+n,dx = dt,所