导数的综合应用练习题及答案

1、0, 导数应用练习题答案 1.1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值 1 (2)f(x) 2 1 x (1)f (x) 2x2 x 3 1,1.5; 2,2; f(x) X,厂x 0,3; x2 f(x) ex 1 1,1 解：(1)f(x) 2x2 x 1,1.5 该函数在给定闭区间上连续，其导数为 满足罗尔定理，至少有一点 使f ( ) 4 1 0，解出 f (x) (1,1.5)， 。 4 4x 1，在开区间上可导，而且 f( 1) 0，f (1.5) 解: (2)f(x)宀 1 x 2,2 该函数在给定闭区间上连续, 其导数为f (x) 2x F

2、T2 (1 x ) ，在开区间上可导，而且f( 2) 1 -，f(2) 5 满足罗尔定理，至少有一点 (2,2)， 2 使f() 0，解出 解：(3)f(x) x.3 x 0,3 该函数在给定闭区间上连续，其导数为 f (x) 一=x ，在开区间上可导，而且 2、x 3 f(0) f (3) 0,满足罗尔定理，至少有一点 (0,3)， 使 f()2： -0，解出 3 解：(4) f (x) 2 ex 1 1,1 该函数在给定闭区间上连续, 其导数为f (x) 2xex，在开区间上可导，而且f( 1) e 1 ，f(1) e 1， 满足罗尔定理，至少有一点 ，使 f () 2 2 e 0，解出

3、2.2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值 (1)f(x) x3 0,a (a 0)； f (x) In x 1,2； f(x) x3 5x2 x 2 1,0 解：(1)f (x) 0, a (a 0) 该函数在给定闭区间上连续，其导数为 f (x) 3x2，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有 f (x) 3x2 10 x 1,即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条 即 2 ( 9) (3 2 10 1)(0 1)，解出 3.3.不求导数，判断函数 f(x) (x 1)(x 2)(x 答案：有三个根，分别在 (1,2),(2,3),(3,4)

4、 3)( x 4)的导数有几个实根及根所在的范围。 -一占 八、 、 (0,a)，使 f (a) f(0) f ( )(a 0)，即 a3 0 3 2(a 0)，解出 a 3 解：(2)f(x) Inx 1,2 该函数在给定闭区间上连续，其导数为 f (x)-，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有 x -一占 八、 、 1 (1,2)，使 f(2) f(1) f ( )(2 1)，即 In 2 ln1 -(2 1)，解出 1 In 2 解：(3)f(x) x3 5x2 x 2 1,0 件，至少有一点 (1,0)，使 f (0) f( 1) f ( )(0 1), 4 4 证明：当x

5、1时，恒等式2arctanx arcsin- 1 2x 2 x 成立 2x 证：设 F (x) 2arcta nx arcs in 2 1 x 当x 1时，F(x)连续，当x 1时，F (x)可导 且 F(x)1 (1 X2) 2x 2x (1 22 x ) 即当x 1时, F(x) C，即 F(x) x 2arcta n x arcs in 1 x2 5 5 设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 0,证明在 使 cf (c) 2f (c) f (c). 故当x 1时, (0,1)内存在一点c , 证明：令F(x) (x 1)2f(x)，则F(x)在0,1上连续，在(0,1

6、)内可导，且因f(0) 0,则F(0) 0 F(1) 即F(x)在0,1上满足罗尔定理的条件，则至少存在 c (0,1)使F (c) 0 又 F(x) 2(x 1)f (x) (x 1)2f (x)，即 2(c 1)f (c) (c 1)2f (c) 0 而 c (0,1)，得 cf (c) 2f (c) f (c) 该函数在给定闭区间上连续，其导数为 5 .43 3 6.6.已知函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 1,f (1) 0,证明在(0,1)内至少存在一点 ， 使得f ( ) 4. (0,1)内可导，且 F(0) 0 F(1) (0,1)使 F ( ) 0 故

7、f () . 证明：设函数 f(x) si nx, X1,X2 R，不妨设 X2， 该函数在区间“X?上连续，在(XX2)上可导，由拉格朗日中值定理有 9.9.利用洛必达法则求下列极限: X X e e (1)lim0 - ； X X 解：lim ee x 0 x 局 In x 解：lim x 1 x 1 证明：令F(x) xf(x)，则F(x)在0,1上连续，在 即F(x)在0,1上满足罗尔定理的条件，则至少存在 又 F(x) f (x) xf (x)，即 f( ) f ( ) 7.7.证明不等式: sin x2 sin x X2 X1 f(X2) f (Xi) f ( )(X2 Xj，(捲

8、 x2)即 sin x2 sin 论 cos (X2 xj， 故 sin x2 sin x cos (X2 Xi)，由于 cos 1，所以有 sin x2 sin xi 8.8.证明不等式：nbn 1(a n n b) a b n 1 na (a b) (n 1,a b 0) 证明：设函数f (x) ，在b, a上连续，(b,a)内可导，满足拉格朗日定理条件，故 n n n 1 / a b n (a b)， 其中Ob 因此bn 1 有 nbn 1(a b) n n 1 n 1 (a b) na (a b) 所以 nbn 1(a b) n 1 # 1 na (a b) X e +e lim x

9、0 1 3 八 2 X 3x 2 lim严 2 x 1 X X X 1 解: lim车右 x 1 x x x lim 2 x 13x2 3x2 6x 2x 1 (4) lim x 2 ln(x -)； tanx 解: lim x _ 2 m（x 2） tanx lim x _ 2 x 2 1 2 cos x lim x _ (5) n x xim -x x e (a 0,n为正整数） 解: lim x n x ax e lim x n 1 nx ax e lim x n! n a ax e 2 cos x lim x _ 2 2cosx ( sinx) lim x x 0 m ln (m 0)

10、； 解：lim x x 0 In x lim 0 In x lim x 0 x m mx lim x 0 1)； 1 解：叭 lim x 0e xe xm0 x xe lim 1 x 0 1 (8)lim(1 sin x)x ； 1 解：lim(1 si nx)x 10。（1 1 sin x)乔 sin x (9) lim xsinx x 0 解：lim xsinx x 0 e lim :0 sin xln x ln x lim .1 0 sin x lim ex 0 1 X _ sin 2 x cosx .2 sin x lim x 0 x cosx ex lim匹匹匹匹 0 x cosx

11、ln(1 10.10.设函数f (x) kx) x 1 ，若f （x）在点x 0处可导，求k与f （0）的值。 x 0 解：由于函数在 .ln(1 kx) lim x 0 x 0处可导, kx lim x 0 x 因此函数在该点连续，由连续的概念有 k f (0) 1，即 k 1 按导数定义有 f(0) lim f(x) f(0) x 0 ln(1 x) 1 x x lim ln(1 x) x x 0 2x lim x 02(1 11.11.设函数f(x) 解：函数连续定义, lim x 0 f(x) lim x 0 f(x) lim x 0 1 cosx 2 x k 1 1 x x e 1

12、lim f (x) x 0 (- 1 x x e 1 1 cos x x x ) lim x 0 lim x 0 lim x 0 2 x x 0 ，而 即当 k 1时，函数f (x)在x 2 12.12.求下列函数的单调增减区间: 2 (1)y 3x 6x 0，当k为何值时, f (x)在点x 0处连续。 f(x) f(0)， x(ex 1) f(0) k 0点连续。 lim x 0 x e 1 x x e 1 xe lim f (x) x 0 lim x 0 x x x e e xe lim x 0 解：y 6x 由于当x 由于当x 0，有驻点x 0，此时函数单调减少; 0,此时函数单调增加

13、; y x4 2x2 解：y (3)y 1 解：y 1时，y 1时，y 4x3 4x 4x( x2 1)，令 y 0 ,有 x 0,x 1,x 1 1时，y x 1时， 2 X ；x 2x(1 x) (1 x)2 0 ,此时函数单调较少；当 0,此时函数单调较少；当 c 2 2x x 2，令 y 0，有 (1 x) x 0时, 1时， 0 ,此时函数单调增加; 0,此时函数单调增加 x 0,x 此外有原函数知x 1， 2时，y x 0时, 0，此时函数单调增加；当 y 0，此时函数单调减少；当 x 1时，y 0，此时函数单调减少; 0时，y 0，此时函数单调增加； 13.13.证明函数y x

14、ln(1 x2)单调增加。 j帀明：y 1 2x (1 x)2 0 1 x2 y i 12 x 等号仅在 x 1成立，所以函数 y x ln(1 14.14.证明函数y sin x x单调减少。 解: y cosx 1 0, 等号仅在孤立点 x 2n (n 0, 1, 2L L )成立, 15.15.证明不等式： 2、x 3 1 (x x 0,x 1) 证明：设f(x) 2上 3 ，在 x 1时， f(1) 所以函数y sin x 0，且 f (x) x 2 x)在定义区间上为单调增加。 x在定义域内为单调减少。 1 时，f (x) 0， x 1 时，f (x) 函数单调增加，因此 0 ,函数

15、单调减少，因此 f (x) 所以对一切x 0，且 1，都有 f (x) 0，即 2、二 f(x) f(1) 0 f(1) 3 - x (x 0,x 1) 解： 设 f(x) x e 1 x f (x) ex 1 ，当 x 0, f (x) 0 f (x),所以x 所以x 0,ex 1 x 当x 0, f (x) 0 f (x),所以x 0, f(x) f (0) 所以x 0,ex 1 x x 0,ex 1 x. 17.17.证明：当x 0 时，ln(1 x) 1 x x 解： 设 f(x) ln(1 x X) 1 x f (x) 1 1 x 当当 x 0, f (x) 01 x (1 2 2

16、，当 x) (1 x) 16.16.证明：当x 0时, 0, f(x) 0 f(x) 所以x 0, f(x) f(0) 0，即 x 0 , ln(1 x) 1 x x e f(0) 18.18.证明方程x3 3x 1 0在(0,1)内只有一个实根。 证明：令f(x) x3 3x 由零点定理存在 1，f (x)在0,1上连续，且 f(0) 1,f (1) 1, (0,1)，使f( ) 0,所以 是方程x3 3x 1 0在(0,1)内的一个根。 又因为f (x) 3x2 3 3(x2 1)，当x (0,1)时f (x) 0 ,函数单调递减， 当x 时，f(x) f() 0,当x 时，f(x) f(

17、 ) 0,所以在(0,1)内只有 一个实根 或用罗尔定理证明只有一个实根 。 19.19.求下列函数的极值: (1)y x3 3x2 7 ； 3x2 6x 3x(x 2) 0，解出驻点为x 0; x 2，函数在定义 域内的单调性与极值见图表所示: x (,0) 0 (0, 2) 2 (2,) f (x) 0 0 0 0 f(x) 单调增加 极大 7 7 单调减小 极小 3 3 单调增加 解：y 2(1 x)(! 2 X)，驻点为x 1,x 1，函数的单调性与极值见表 (1 x )解：y 3x2 6x 3x(x 2)，令 y x (,1) 1 (1,1) 1 (1,) f (x) 极小 极大 f

18、(x) 单调减小 1 单调增加 1 单调减少 x y 3 3(x 2)2 ； 2 解：y 2一1，函数在X 2处不可导，以此点为界划分区间并给出函数单调性与极值。 3(x 2)3 2 X x (,2) 2 (2,) f (x) 不存在 f(x) 单调增加 极大 3 3 单调减少 y (x 1)37 ； 解：函数导数为 y 5x 2 ” 、一 y ，解出驻点为x 3x3 -，不可导点为x 0,函数在各个区间的单调性见表格所 5 x (,0) 0 (0,|) 5 2 5 f (x) 不存在 0 0 f(x) 单调增加 极大 0 0 单调减少 极小 25 单调增加 示。 y x3 (x 1)2 解：

19、y X2(x 3) (x 1)3 x (,0) 0 (0,1) (1,3) 3 (3,) f (x) 0 0 ，驻点为x 0,x 3，不可导点为x 1，划分区间并判断增减性与极值 f(x) 单调增加 无极 值 单调增加 单调减少 极小 27 单调增加 4 x 0, y 0 , y ，极小值 f (0) 0 1, 需0,解出x x ( ,1) 1 (1,1) 1 1 (1,) y 0 0 + + 0 0 y y 凸 In2In2 凹 In2In2 凸 (1,ln2), ( 1,ln2) 21.21.利用二阶导数，判断下列函数的极值: 2 (1)y (x 3) (x 2)； 解：y (3x 7)(

20、 x 3), y 2 0,因此在 2(3x 8)，驻点：x -， x 3， 3 4 ； ； 27 x I点函数取极大值 0，因此在x 3点函数取极小值 x 2e 解：y 2e2x x e -，y 2ex e x，驻点为x In 2 2 由于y 1|n2 2、2 0,因此在 x 2 - 处函数取得极小值 2、2。 2 20.20.设 ln(1 解：y 2x 1 x2 解出 x 0， x 0, y 0 , y 拐点 x2），求函数的极值，曲线的拐点。 4 2 (1)y x 2x 5 2,2； 3 解：y 4x 4x 4x(x 1)(x 1)，令 y 0, 4 0,函数单调增加，计算端点处函数值为

21、y(0) 0, y(4) 6， 知最大值为y(4) 6 ;最小值为y(0) 0 24.24.已知函数f(x) ax3 6ax2 b (a 0)，在区间1,2上的最大值为3，最小值为 29，求a,b的 值。22.22.曲线 y ax3 bx2 cx d过 :原点，在点 (1,1)处有水平切线，且点 解：因为曲线y ax3 bx2 cx d过原点, 有d 0， 在点(1,1)处有水平切线， f (1) 3a 2b c 0， 点(1,1)是该曲线的拐 f (x) 6ax 2b ，f (1) 6a 2b 0， 又因为点(1,1)在曲线上, a b c d 1 联立方程组解出a 1,b 3,c 3,d

22、0 23.23.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值: (1,1)是该曲线的拐点，求 a,b,c,d (3)y 解：y (x 2)x (x 1)2 ，令y 0 ,得驻点为x 0, x 2，计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为 y( 2) 4,y(0) 知最大值为y( 1 2) 0,y( 2) 2 1 y(1) - 2 丄(1)丄，比较上述函数值, 2 2 ；最小值为y(0) 0。 0,x 1,x 1， 计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为 比较上述函数值，知最大值为 y( 2) y(2) y( 2) 13 ； y ln(x2 1) 1,2； y( 1) 2x x2 1 ln 2, y(0

23、) o,y(2) ，得驻点为 ln5，比较上述函数值, 4,y(0) 5,y(1) 4, y(2) 13, y( 最小值为y( 1) y(1) 4。 1) 计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为 知最大值为 y(2) In 5 ；最小值为y(0) 0 解：y 解：f (x) 3ax2 12ax，令 f (x) 3ax2 12ax 3ax(x 4) 0,解出驻点为 x 0,x 4(舍), 且 f ( 1) b 7a , f (0) b, f (2) b 16a 因为 a 0，所以 f (0) f ( 1) f(2) 故f(0) b 3为最大值，f(2) b 16a为最小值，即f (2) b 16

24、a 29，解出a 2。 25.25.欲做一个底为正方形，容积为 108m3的长方体开口容器，怎样做所用材料最省? 又体积为V x2h ，有 h V x 4V 2 43dS c 432 c ” 、 得S x x 2x 2 0，解出 x 6， h 3 x x dx x 即取底面边长为6， 高为3时，做成的容器表面积最大。 26.26.欲用围墙围成面积为 选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省? 216m2的一块矩形土地，并在正中间一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽 解：所用的建-JI 一 3 dx 18米时所用建筑材料最省。 27.27.某厂生产某种商品，其年销量为100万件，每批生产需增加准

25、备费 如果年销售率是均匀的， 且上批销售完成后， 立即再生产下一批(此时商品库存数为批量的一半) 分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？ 解： 1000元，而每件的库存费为 0.05元, ，问应 设 100100 万件分x批生产，生产准备费及库存费之和为 y，则 1 000 000 25 000 0.05 1000 x 2x x 25 000 2 0，解出x 5， x 能使生产准备费及库存费之和最小。 1000 x 1000 问 5 5 批生产, 28.28.确定下列曲线的凹向与拐点： 2 3 (1)y x x ； 2 1 解：y 2x 3x , y 2 6x，令 y 0,x 3 y l

26、n(1 x2)； x 1 (,3) 1 3 1 (3,) f (x) 0 2 f(x) 凹 27 凸 小 解：设底面正方形的边长为 x ,高为h，则表面积为S x2 4xh， 2x 1 x2 2 2 2 2x 4x(x 3) 2、2 , y 2、3 (1 x ) (1 x ) 令 y 0,x 0, x .3 X X o o /V f/V f o o o /V f/V f 凸 -3 2亠 凹 o辭 凸 遏2亠 凹 (5)y xex ； x (,2) 2 (2,) f (x) 0 f(x) 凸 凹 200 0.01 50 199.5 , 50 R(50) 200 0.02 50 199 x (,1

27、) 1 (1,1) 1 (1,) f (x) 0 0 f(x) 凸 In 2 拐点 凹 In 2 拐点 凸 令 y 0,x 1 x (,0) 0 (0,) f (x) 不存在 f(x) 凹 Q一凸 2 1 x5， 令y不存在点，x 0 解：y 耳y 令耳， 1 x (1 x ) 1 y x3 ； 解：y ,y 解：y ex(1+x), y ex(2+x),令 y 0, x= 2 解：y 2 2 2e2e 解：y e x, y e x 0, 所以y e x在(，)内是凹的，无拐点。 29.29.某化工厂日产能力最高为 1000吨，每天的生产总成本 C (单位：元)是日产量 x (单位: (1(1

28、)求当日产量为100吨时的边际成本；(2 2)求当日产量为100吨时的平均单位成本。 25 解：(1 1)边际成本 C (x) 7 , C (100) 总收益、平均收益和边际收益。 解：总收益 R(50) 200 50 0.01 平均收益型 200 0.01x , x 边际收益 R (x) 200 0.02x , 2500 9975 , R(50) 32.32.生产x单位某种商品的利润是 x的函数：L(x) 5000 x 0.00001X2, 润最大？ 解: L (x) 1 0.000 02x=0,解出 x 50 000 所以生产50 000个单位时，获得的利润最大？ 33.33.某厂每批生产

29、某种商品 x单位的费用为C(x) 5x 200，得到的收益是 R(x) 10 x 0.01 x2，问每批(2)平均单位成本 AC(x) 1000 x x 50 , AC(100)沁 x 100 100 50 22 10 1 2 C(x) 1100 x2，求(1 1)生产900单位时的总 1200 (2)生产900单位到1000单位时的总成本的平均变化率； 30.30.生产x单位某产品的总成本 C为x的函数: 成本和平均单位成本; 单位时的边际成本。 (3)生产900单位和1000 解:( 1 1) C(900) 1100 -9002 1775, 1200 (2) C(900) 900 C(10

30、00) 1775 900 C(900) 1.97 1000 900 1.58 (3) 边际成本为C (x) x 600， C (900) 900 600 1.5, C (1000) 1000 1.67 600 3131.设生产x单位某产品, 2 总收益 R为x的函数：R R(x) 200 x 0.01x ，求：生产 5050 单位产品时的 吨)的函数: C C(x) 1000 7x 50 浪 x 0,1000 25 9.5 问生产多少单位时获得的利 生产多少单位时才能使利润最大？ 2 解：L(x) R(x) C(x) 5x O.OIx 200 , 令 L (x) 5 0.02x=0 ,解出 x

31、 250 所以每批生产250个单位时才能使利润最大。 10 Q，求(1 1)求需求量为20及30时的总收益 R 5 平均收益函数 R(Q)旦型 10 Q， Q 5 34.34.某商品的价格P与需求量Q的关系为P 、平均 收益RQ为多少时总收益最大? 解：总收益函数R(Q) PQ (10 Q)Q=10Q 5 Q2 5 边际收益函数 (1)R(20) 2Q R(Q)=10 5 400 200 =120,R(30) 5 R(20) 900 300 =120 ， 5 R(30) R (20)=10 R(Q)=10 墜勺 10 20 =6,R(30) 20 5 40 60 =2,R (30)=10 =

32、2, 5 5 2Q =0,解出Q=25时总收益最大。 5 日总成本为C元，其中固定成本为 10 30 =4， 5 35.35.某工厂生产某产品， 该商品的需求函数为 Q 50 2P，求Q为多少时，工厂日总利润 解：成本函数 C C(Q) 200 10Q， 200200 元，每多生产一单位产品， 成本增加 L最大？ 1010 元。 L(Q) PQ C(Q) 5-QQ (200 10Q) 15Q 200， 2 2 令 L (Q) 15 Q=0，解得 Q=15， 所以Q=15，总利润L最大。 高二数学(文)选修 1-1 导数及其应用 回扣练习 一、选择题 1.下列求导运算正确的是( ) 1 1 A、 (x 2) 1 3 B x x (log 2 x)色 1 xln 2 C (x2 cosx)色-2xsin x (3x)色 3x log 3 e x 2、 已知函数f(x)二二ax + c,且f(i)=2,则a的值为( ) A. 0 B . 2 C 1 D . 1 3. 函数y= x3+ x的递增区间是( ) A. (0, ) B . ( ,1) C . ( , ) D . (1,) 4 . (2009 年广东卷文)函数f(x) (x 3)ex的单调递增区间是 () A. ( ,2) B.(0,3) C.(1