2019年河北省保定市高考数学一模试卷(理科)

1、2019 年河北省保定市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）若复数 zA1+3i，则 （   ）B13i         C1+3i           D13

2、i2（5 分）已知 cos ，且  为第二象限角，则 sin2 的值为（）ABCD3（5 分）设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 PQx|xP，且 xQ，如果 Px|12x4，Qy|y2+sinx，xR，那么 PQ（）Ax|0x14（5 分）若方程Am2 或 m6Bx|0x2      Cx|1x2    

3、 Dx|0x11 表示双曲线，则 m 的取值范围是（   ）B2m6        Cm6 或 m2  D6m25（5 分）在如图所示的程序框图中，如果输出 p120，则输入的 N（）A3B4C5D6（|6 5 分）已知向量 ， 满足| |3， |2A30°B150°，且C60°，则

4、60;与 的夹角为（   ）D120°第 1 页（共 22 页）（y7 5 分）已知变量 x， 满足约束条件则目标函数 z 的取值范围是（）A0，2B0， CD0，+）8（5 分）一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，M 是 AB 的中点，则三棱锥 CMEF 的高为（）ABCD9（5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是

5、 a，b，c，若 c2a，bsinBasinAasinC，则 cosB 等于（）ABCD10（5 分）已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点，SA平面 ABC，ABBC，SA1，ABBC2，则球 O 的表面积为（）A5B C9D （11 5 分）已知命题 p：函数 ysin（2x+）和 ycos（2x）的图象关于原点对称；命题 q：若平行线 6x+8y+a0 与 

6、3x+by+220 之间的距离为 a，则 ab4“则下列四个判断： pq 是假命题、pq 是真命题、（p）q 是真命题、p（q）是真命题”中，正确的个数为（）A1B2C3D412（5 分）定义在（0，+）上的函数 f（x）满足：f（xm）mf（x），x0，mR；存在实数 a1，使得 f（a）1则下列选项正确的是（）Af（ ）f（3）f（2）Cf（3）f（2）f（ ）Bf（ ）f（2）f（3）Df（3）f（ ）f（2）二、填空题：本题共 

7、4 小题，每小题 5 分共 20 分第 2 页（共 22 页）13（5 分）函数 yx2+ex 的图象在点 x0 处的切线方程为14（5 分）从由数字 1，2，3 所组成的所有三位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的三位数的概率为“15（5 分）我国古代数学著作九章算术中有如下问题： 今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一并五关所税，适重一斤问本持金几何

8、？“其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收税金为总量的 ，第 2 关收税金为剩余的 ，第 3 关收税金为剩余的 ，第 4 关收税金为剩余的 ，第 5关收税金为剩余的 ，5 关所收税金之和恰好重 1 斤，问原本持金多少？假设原本持金 x斤，则 x斤16 （5 分）已知点 O 为 ABC所在平面内的一点，且满足 |  | 

9、; |1 ，3，则三、解答题；共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17（12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n+12（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足 bnSn+log2，求数列bn的前 n 项和 Tn18（12 分）如图，四棱锥&

10、#160;P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD （1）在线段 PC 上求一点 N ，使得 MN 平面 PAD ；，M 为 AB 中点（2）若 AB 4，PA PD 2角的正弦值，且二面角 P AD B 为    ，求 PA 与平面 PBC 所成19（12 分

11、）已知椭圆 C ：1（ab0）的右焦点 F 2 与抛物线 y24x 的焦点重第 3 页（共 22 页）合，且其离心率为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，线段 MN 中点为 P，问 kMNkOP（O 为坐标原点）是否为定值？请说明理由20（12 分）为了尽快攻克一项科研课题，某生物研

12、究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取 40 个数据作为样本，并规定试验数据落在495，510）之内的数据为理想数据，否则为不理想数据试验情况如表所示：抽查数据频数490，495）495，500）500，505）505，510）510，515）甲681484乙2121862（1）根据表中数据作出两个小组样本数据的频率分布直方图；（2）若从甲小组测得的试验数据中，依次有放回的随机抽查5 个数据，设抽到理想数据的次数为 ，求  的分布列与数学期望；（以频率作为概率）（3）由以上统计数据完成下面 

13、;2×2 列联表，并回答有多大的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关？甲小组第 4 页（共 22 页）乙小组              合计理想数据不理想数据合计附：K2，其中 na+b+c+dP（K2k）0.15k2.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.82821（12 分）已

14、知函数 f（x） ax2（a2+1）x，x0，a1（1）求证：函数 f（x）的零点不小于 4；（2）g（x）f（x）+alnx，若 x1，+），求证：g（x） a3+e2a（二）选考题：共 10 分请考生从第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选题的首题进行评分选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）已知曲线 C 

15、的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（t 为参数），曲线 M 的参数方程是（ 为参数）（1）写出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；P（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点， 为曲线 M 上的动点，求ABP 面积的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x）|x1|x+

16、a|，aR（1）若 a2，解不等式 f（x）1；（2）若 x（2，4）时，|f（x）|2x+a1|，求 a 的取值范围第 5 页（共 22 页）2019 年河北省保定市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）若复数 zA1+3i，则 （   ）B13i&#

17、160;        C1+3i           D13i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z                       

18、0;     ， 1+3i故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5 分）已知 cos ，且  为第二象限角，则 sin2 的值为（）ABCD【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 sin 的值，再利用二倍角公式求得 sin2 的值【解答】解：cos ，且  为第二象限角，sin   ，则 sin22sincos2&#

19、160;             （ ） ，故选：B【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题3（5 分）设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 PQx|xP，且 xQ，如果 Px|12x4，Qy|y2+sinx，xR，那么 PQ（）Ax|0x1Bx|0x2Cx|1x2Dx|0x1【分析】根据 PQ 的定义，可

20、求出 P，Q，然后即可求出 PQ【解答】解：Px|0x2，Qy|1y3；PQx|0x1故选：D【点评】考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，以及 PQ 的定义第 6 页（共 22 页）4（5 分）若方程Am2 或 m61 表示双曲线，则 m 的取值范围是（   ）B2m6        Cm6 或 m2 

21、 D6m2【分析】利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可【解答】解：若方程1 表示双曲线，则（m2）（6m）0m2 或 m6，故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题5（5 分）在如图所示的程序框图中，如果输出 p120，则输入的 N（）A3B4C5D6【分析】根据条件进行模拟运算即可【解答】解：第一次 p1，kN 成立，k2，第二次 p2，kN 成立，k3，第三次 p6，kN 成立，k4，第五次 p24，kN 成立，

22、k5，第六次 p120，kN 不成立，输出 p120，故 k4 不成立，k5 成立，则 N5，第 7 页（共 22 页）故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键（|6 5 分）已知向量 ， 满足| |3， |2，且，则 与 的夹角为（   ）A30°【分析】 根据B150°即可得出C60°，从

23、而得出D120°，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角【解答】解：；，；又； 与 的夹角为 150°故选：B【点评】考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，以及向量夹角的余弦公式（y7 5 分）已知变量 x， 满足约束条件则目标函数 z 的取值范围是（）A0，2B0， CD0，+）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可【解答】解：变量 x，y 满足约束条件的可行域如图阴影部分：目标函数 z 的几何意义是

24、可行域内的点与原点连线的斜率：kOA2，则目标函数 z 的取值范围是：0，2故选：A第 8 页（共 22 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键8（5 分）一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，M 是 AB 的中点，则三棱锥 CMEF 的高为（）ABCD【分析】根据题意知三棱柱 ADFBCE 是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，过点 C 作CNBE，则 

25、;CN 是三棱锥 CMEF 的高，求出即可【解答】解：根据题意知，三棱柱 ADFBCE 是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图所示；过点 C 作 CNBE，垂足为 N，则 CN平面 ABEF，所以 CN 是三棱锥 CMEF 的高，在 BCE 中，BCCE1，第 9 页（共 22 页）所以 CN BE故选：D【点评】本题考查了空间中的位置关系与应用问题，是基础题9（5&

26、#160;分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 c2a，bsinBasinAasinC，则 cosB 等于（）ABCD【分析】由 c2a，利用正弦定理化简已知等式可得：b2a2 aca2，利用余弦定理即可求得 cosB 的值【解答】解：若 c2a，则由正弦定理可得：b2a2 aca2，即：，故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题10（5 分）已知 S、A、B、C&

27、#160;是球 O 表面上的点，SA平面 ABC，ABBC，SA1，ABBC2，则球 O 的表面积为（）A5B C9D 【分析】由题意可得，S、A、B、C 四点均为长宽高分别 SA，AB，BC 三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球 O 的半径，代入球的表面积公式即可得到答案【解答】解：SA平面 ABC，ABBC，四面体 SABC 的外接球半径等于以长宽高分别 SA，AB，BC 三边长的长方体的外接

28、球的半径SA1，AB2，BC2，2R3，即 R 球 O 的表面积 S4R29第 10 页（共 22 页）故选：C【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球 O 的半径是解答本题的关键，是中档题（11 5 分）已知命题 p：函数 ysin（2x+）和 ycos（2x）的图象关于原点对称；命题 q：若平行线 6x+8y+a0 与 3x+by+220 之间的

29、距离为 a，则 ab4“则下列四个判断： pq 是假命题、pq 是真命题、（p）q 是真命题、p（q）是真命题”中，正确的个数为（）A1B2C3D4【分析】根据条件判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：ycos（2x）sin  （2x   ） sin（   2x）sin（2x）则函数 ysin（2x+）关于原点对称的函数为ysin（2x+），即 ysin（2x），即命题

30、60;p 是真命题，若两直线平行则得 b4，两平行直线为 6x+8y+a0 与 6x+8y+440，平行直线的距离为a，即|a44|10a，a0，则 a4410a 或 a4410a，得 a4 或（舍），则 ab4，即命题 q 是真命题，则“pq 是真命题、pq 是真命题、（p）q 是真命题、p（q）是真命题，正确的命题有 3 个，故选：C【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题的真假是解决本题的关

31、键12（5 分）定义在（0，+）上的函数 f（x）满足：f（xm）mf（x），x0，mR ；存在实数 a1，使得 f（a）1则下列选项正确的是（）第 11 页（共 22 页）Af（ ）f（3）f（2）Cf（3）f（2）f（ ）Bf（ ）f（2）f（3）Df（3）f（ ）f（2）【分析】根据抽象函数关系，确定 f（x）为对数型函数，设 f（x）logax，结合条件判断对数函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可【解答】解：在（0，+）上若

32、0;f（x）满足：f（xm）mf（x），x0，mR；f（x）为对数型函数，设 f（x）logax，若在实数 a1，使得 f（a）1即当 a1 时，f（x）logaa1，则函数 f（x）logax 为增函数，则 f（3）f（2）f（ ），故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，结合抽象函数关系，转化为对数型函数，结合对数函数的单调性是解决本题的关键二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分13（5 分）函数 

33、yx2+ex 的图象在点 x0 处的切线方程为yx+1【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程【解答】解：函数 yx2+ex，可得 y2x+ex，切线的斜率为：1，切点坐标（0，1），函数 yx2+ex 的图象在点 x0 处的切线方程为：yx+1故答案为：yx+1【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力14（5 分）从由数字 1，2，3 所组成的所有三位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的三位数的概率为【分析】计算出由

34、 1，2，3 组成的所有数字，及由 1，2，3 组成的所有没有重复数字的三位数，即可得到概率【解答】解：由 1，2，3 组成的所有的三位数有 3327 个，由 1，2，3 组成的所有没有重复数字的三位数有6 个，故 第 12 页（共 22 页）故填： 【点评】本题考查了古典概型的概率计算，分步乘法原理，属于基础题“15（5 分）我国古代数学著作九章算术中有如下问题： 今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而

35、税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一并五关所税，适重一斤问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收税金为总量的 ，第 2 关收税金为剩余的 ，第 3 关收税金为剩余的 ，第 4 关收税金为剩余的 ，第 5关收税金为剩余的 ，5 关所收税金之和恰好重 1 斤，问原本持金多少？假设原本持金 x斤，则 x1.2斤【分析】计算每关过后的剩余量即，列方程求出答案【解答】解：由题意可知过第一关后

36、剩余 ，过第二关后剩余  ，过第三关后剩余 ，过第四关后剩余  ，过第五关后剩余 ，x 1，解得 x1.2故答案为：1.2【点评】本题考查了数学应用，属于基础题16 （ 5 分）已知点 O 为 ABC 所在平面内的一点，且满足 | |  | |  | 1 ， 3，则【分析】 由已知可知，及   &#

37、160; 两边同时平方可求        ，然后结合   ，结合向量数量积的性质即可求解【解答】解：|，|  |1，3，两边同时平方可得，9+16+2425，第 13 页（共 22 页）0，则（0） ，故答案为： 【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于中档试题三、解答题；共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考

38、题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17（12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n+12（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足 bnSn+log2，求数列bn的前 n 项和 Tn（【分析】 1）利用递推关系式求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和【解答】解：（1）数列an的前 n 项和为 Sn，且 

39、;Sn2n+12当 n1 时，a12当 n2 时，得：故：（2）由于：（首项符合通项），则：数列bn满足 bnSn+log22n+12n所以：+（2322）+（2n+12n），第 14 页（共 22 页）（22+23+24+2n+1）2n（1+2+3+n），【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18（12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD（

40、1）在线段 PC 上求一点 N，使得 MN平面 PAD；，M 为 AB 中点（2）若 AB4，PAPD2角的正弦值，且二面角 PADB 为   ，求 PA 与平面 PBC 所成（【分析】 1）设线段 PC 的中点为 N，设线段 PD 中点为 H，连结 NH，AH，推导出 AMDC，从而 HNAM，HNAM，进而

41、0;MN平面 PAD，由此得到 N 为线段 PC 中点时满足 MN平面 PAD（2）在菱形 ABCD 中，取 AD 中点 O，连结 BO，则 BOAD，连结 PO，PAPD，则POAD，POB 是二面角的平面角，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，过迷途知返平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角

42、坐标系，利用向量法能求出 PA 与平面 PBC所成角的正弦值【解答】解：（1）设线段 PC 的中点为 N，则 N 为所求设线段 PD 中点为 H，连结 NH，AH，在PDC 中，HNDC，HN，四边形 ABCD 是菱形，M 为中点，AMDC，AM，HNAM，HNAM，AH平面 PAD，MN平面 PAD，MN平面 PAD，即 N 为线段 PC 中点时满足 MN

43、平面 PAD第 15 页（共 22 页）（2）在菱形 ABCD 中，取 AD 中点 O，连结 BO，BAD，BOAD，连结 PO，PAPD，则 POAD，POB 是二面角的平面角，如图，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，过迷途知返平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（2，0，0），B（0

44、，2（2，1），0），P（0，（0，3  ，1），1），C（4，2（4，0，0），0），设面 PBC 的法向量 （x，y，z），则，取取，得 （0，9），PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为：sin|cos|【点评】本题考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的右焦点 F2 与抛物线 y24x 的焦点重

45、合，且其离心率为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，线段 MN 中点为 P，问 kMNkOP（O 为坐标原点）是否为定值？请说明理由（【分析】 1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆半焦距，再由离心率求得a，结合隐第 16 页（共 22 页）含条件求得 b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为 0，设

46、 l 的方程为 ykx+m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 P 的坐标，再由斜率公式求得 OP 的斜率，可得 kMNkOP 为定值【解答】解：（1）抛物线 y24x 的焦点为（1，0），椭圆 C 的半焦距为 c1，又椭圆的离心率 e，a2，则 b椭圆 C 的方程为；（2）由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，设

47、60;l 的方程为 ykx+m，联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120即只需 n24k2+3设 M（x1，y1），N（x2，y2），则，P（），【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题20（12 分）为了尽快攻克一项科研课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取 40 个数据作为样本，并规定试验数据落在495，510）之内的数据为理想数据，否则为不理想数据试验情况如表所示：抽查数据频数490，495）甲6乙2第 1

48、7 页（共 22 页）495，500）500，505）505，510）510，515）81484121862（1）根据表中数据作出两个小组样本数据的频率分布直方图；（2）若从甲小组测得的试验数据中，依次有放回的随机抽查5 个数据，设抽到理想数据的次数为 ，求  的分布列与数学期望；（以频率作为概率）（3）由以上统计数据完成下面 2×2 列联表，并回答有多大的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关？理想数据不理想数据合计附：K2甲小组    

49、         乙小组              合计，其中 na+b+c+dP（K2k）0.15k2.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.828（【分析】 1）根据频数计算各小组对应的概率，画频率分布直方图（2）根据题意，B（5，）， 的取值为从

50、0;0 到 5，列出分布列，计算期望即可（3）列出 2×2 列联表，计算 k，查表，判断即可【解答】第 18 页（共 22 页）解：（1）甲乙两个小猪的频率分布直方图如图，（2）易知甲小组的理想数据为 8+14+830故甲小组中理想数据的频率为由题意知，B（5， ），所以0.750          1      &#

51、160;  2345PE（）5× ，（或者 E（）0×+1×+5×  （3）甲小组的理想数据为 30，乙小组的理想数据为 36，2×2 列联表如下：理想数据不理想数据合计甲小组301040乙小组36440合计661480由表中数据得 K2 的观测值k3.1172.706有 90%的把握任务抽取的数据为理想数据与对两个小组的选择与有关【点评】本题考查了频率分布直方图，二项分布，独立性检验等知识，属于中档题21（12 分

52、）已知函数 f（x） ax2（a2+1）x，x0，a1（1）求证：函数 f（x）的零点不小于 4；（2）g（x）f（x）+alnx，若 x1，+），求证：g（x） a3第 19 页（共 22 页）+e2a（【分析】 1）由 f（x） ax2（a2+1）x，x0，a1得零点 x，利用基本不等式的性质即可证明f（2）g（x） （x）+alnxax2（a2+1）x+alnx，x1，+），g（x）ax（a2+1）x+ ，由 g（x）0

53、，解得 xa， 由 a 1 时，解得 a1对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】证明：（1）由 f（x） ax2（a2+1）x，x0，a1得零点 x4，当且仅当 a1 时取等号，故结论成立（2）g（x）f（x）+alnxax2（a2+1）x+alnx，x1，+），g（x）ax（a2+1）x+             &#

54、160;，由 g（x）0，解得 xa， 由 a 1 时，解得 a1（i）当 a1 时，g（x）0，在 x1，+）上恒成立，g（x）在 x1，+）上单调递增，g（x）ming（1） （1+1） ，而 a3+e2a 结论成立（ii）当 a，即 a1 时，g（x）在 x（a，+）上单调递增，在 x（1，a）上单调递减g（x）ming（a）alnaa ，而 a3+e2a 结论成立要证明：g（x） a3+e2a 成立即证明：alna+a+e 成立令 u（a）alna+a，v（a）+e，a1u（a）lna+22，u（a）在