2019年北京市首师大附中高考数学一模试卷(理科)

1、2019 年北京市首师大附中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）若（12i）z5i（i 是虚数单位），则|z|的值为（）A3B5CD2（5 分）在各项均为正数的等比数列an中，a63，则 a4+a8（）A有最小值 6B有最大值 6C有最大值 9D有最小值 33（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在数书九章中提出的多项式求值

2、的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 v 的值为（）A5B12C25D504（5 分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为视图如图所示，则其左视图的面积是（）其三视图中的俯ABC8cm2D4cm2第 1 页（共 26 页）（5 5 分）已知平面区域，夹在两条斜率为的平行直线之间，且这，两条平行直线间的最短距离为 m若点 P（x，y） 则 zmxy

3、 的最小值为（）AB3CD66（5 分）如图，平面四边形ABCD 中，ABCADC90°，BCCD2，点 E 在对角线 AC 上，AC4，AE1，则的值为（）A17B13C5D17（5 分）某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择 4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有 1 人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）ABCD8（5 分）某公司有 4 家直营店 a，b，c，d，现

4、需将 6 箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示abcd0123456046789100247891002568880456888第 2 页（共 26 页）根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A1 种B2 种C3 种D4 种二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上9（5 分）若展开式中的二项式系数和为 64，则 n

5、0;等于      ，该展开式中的常数项为10（5 分）椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 M 上任一点，且|PF1|PF2|的最大值的取值范围是2c2，3c2，其中心率 e 的取值范围是，则椭圆 m 的离11（5 分）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是       （y12 5 分）如图是某地区 2000&#

6、160;年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，17）建立模型30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，7）建立模型

7、60;99+17.5t利用这两个模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值分别为，；并且可以判断利用模型得到的预测值更可靠第 3 页（共 26 页）13（5 分）对于函数 yf（x），若存在区间a，b，当 xa，b时，f（x）的值域为ka，kb（k0），则称 yf（x）为 k 倍值函数若 f（x）lnx+x 是 k 倍值函数，则实数 k 的取值范围是14（5 分）定义：对于数列xn，如果存在常数

8、 p，使对任意正整数 n，总有（xn+1p）（xnp）0 成立，那么我们称数列xn为“p摆动数列”若 an2n1，bnqn（1q0），nN*，则数列an“p摆动数列”，bn“p摆动数列”（回答是或不是）；已知“p摆动数列”cn满足 cn+1，c11则常数 p 的值为；三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13 分）已知函数 f（x）sin（2x）2sin（x）cos（x+）（）求函数 f（x）的最小正周期和

9、单调递增区间；（）已知 x1，x2 是函数 yf（x） 的两个零点，求|x1x2|的最小值16（14 分）空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大指数050级别类别优户外活动建议可正常活动51100101150151200201250251300良轻微污染  易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心轻度污染  脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动中度污染  心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动

10、耐受力降低，健中度重污染 康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动301500重污染健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动现统计邵阳市市区 2016 年 10 月至 11 月连续 60 天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图（1）求这 60 天中属轻度污染的天数；第 4 页（共 26 页）（2）求这 60 天空气质量

11、指数的平均值；（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污染以上时才会出现雾霾天气，且此时出现雾霾天气的概率为 ，请根据统计数据，求在未来 2 天里，邵阳市恰有 1 天出现雾霾天气的概率17（13 分）在三棱柱 ABCA1B1C1 中，CACB，侧面 ABB1A1 是边长为 2 的正方形，点E，F 分别在线段 AA1、A1B1 上，且 AE ，A1F ，CEEF（）证明：平面 ABB1A1平面 AB

12、C；（）若 CACB，求直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值18（13 分）圆 x2+y22 与 x 轴交于 F1、F2 两点，P 为圆上一点椭圆0）以 F1、F2 为焦点且过点 P（）当 P 点坐标为（x0，）（x00）时，求 x0 的值及椭圆方程；1（ab（）若直线 1 与（）中所求的椭圆交于 A、B 不同的两点，且点 C（0，1），|

13、，求直线 l 在 y 轴上截距 b 的取值范围第 5 页（共 26 页）|19（14 分）已知函数 f（x）ex x32x2+（a+4）x2a4，其中 aR ，e 为自然对数的底数（1）若函数 f（x）的图象在 x0 处的切线与直线 x+y0 垂直，求 a 的值；（2）关于 x 的不等式 f（x） ex 在（，2）上恒

14、成立，求 a 的取值范围；（3）讨论函数 f（x）极值点的个数20（13 分）已知集合 A1，A2，An 为集合 U 的 n 个非空子集，这 n 个集合满足：从中任取 m 个集合都有U 成立；从中任取 m+1 个集合都有U 成立（）若 U1，2，3，n3，m1，写出满足题意的一组集合 A1，A2，A3；（）若 n4，m2，写出满足题意的一组集合 A1，A2，A3，A4 

15、;以及集合 U；（）若 n10，m3，求集合 U 中的元素个数的最小值第 6 页（共 26 页）2019 年北京市首师大附中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）若（12i）z5i（i 是虚数单位），则|z|的值为（）A3B5CD【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可【解答】解：（12i）z5

16、i（i 是虚数单位），可得|（12i）|z|5i|，解得|z|故选：D【点评】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力2（5 分）在各项均为正数的等比数列an中，a63，则 a4+a8（）A有最小值 6B有最大值 6C有最大值 9D有最小值 3【分析】由题意设出等比数列的公比，把 a4、a8 用 a6 和公比表示，然后利用基本不等式求得答案【解答】解：设等比数列an的公比为 q（q0），a63，a4+a8当且仅当 q1 时上式等号成立

17、故选：A【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了利用不等式求最值，是基础题3（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入 n，x 的值分别为 4，2，则输出 v 的值为（）第 7 页（共 26 页）A5B12C25D50【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得x

18、2，n4，v1，i3，满足进行循环的条件 i0，v5，i2，满足进行循环的条件 i0，v12，i1，满足进行循环的条件 i0，v25，i0不满足进行循环的条件 i0，退出循环，输出 v 的值为：25故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题4（5 分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为视图如图所示，则其左视图的面积是（）其三视图中的俯ABC8cm2D4cm2第 8 页（共 26 页）【分析】由已知可求出正六棱

19、柱的底面边长和侧棱长均为 2cm，故左视图是长方形，长为，宽为 2，由此能求出左视图的面积【解答】解：设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 a，则体积 VSh6×故左视图是长方形，长为面积为×2，宽为 2，解得 a2，故选：A【点评】本题考查三视图与直观图的关系，正确判断几何体的形状是解题的关键（5 5 分）已知平面区域，夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为 m若点 P（x，y），则 zmxy 的最小值为（）AB3CD6【分析】由约束条

20、件作出可行域，结合题意求出 m，利用目标函数的几何意义，求解即可【解答】解：由约束条件作出可行域如图，平面区域  夹在两条斜率为 的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m，则 m令 zmxy  xy，则 yxz，由图可知，当直线 y故选：Azxz 过 B（2，3）时，直线在 y 轴上的截距最大， 有最小值为：【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方第 9 页（共 26

21、0;页）法，是中档题6（5 分）如图，平面四边形ABCD 中，ABCADC90°，BCCD2，点 E 在对角线 AC 上，AC4，AE1，则的值为（）A17B13C5D1【分析】利用余弦定理求出 BE，cosBEC，再根据二倍角公式得出 cosBED，从而可计算出结论【解答】解：由题意可知 CE3，BCE60°，EB，cosBEC，cosBED2cos2BEC1 故选：D【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查余弦定理的应用，属于中档题7（5 分）某校校庆期间，

22、大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择 4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有 1 人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（）ABCD【分析】先求出基本事件总数 n（+）720，再求出甲、乙都被选中且第 10 页（共 26 页）列队服务时不相邻包含的基本事件个数 m120，由此能求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率【解答】解：从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择 4 名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有

23、60;1 人参加，且列队服务，基本事件总数 n（+）720，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数 m120，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率 p 故选：C【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用8（5 分）某公司有 4 家直营店 a，b，c，d，现需将 6 箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示abcd0123456046789100247891002568880456888根据此

24、表，该公司获得最大总利润的运送方式有（）A1 种B2 种C3 种D4 种【分析】结合获利表格，通过 6 箱货物的分配方法，求解最大获利，推出结果【解答】解：6 箱货物的分配方法有：6，0，0，0；5，1，0，0；4，2，0，0；3，3，0，0；4，1，1，0；2，2，2，0；3，2，1，0；1，1，2，2；1，1，1，3 类型第 11 页（共 26 页）而 6，0，0，0；5，1，0，0；4，2，0，0；3，3，0，0；4，1，1，0；2，2，2，0；类型中获利的最

25、大值不超过：16a，b，c，d；总获利分配货物：12214+4+5+41713114+7+2+41723016+7+0+417该公司获得最大总利润的运送方式有：3 种故选：C【点评】本题考查排列组合的实际应用，分析表格与题意是解题的关键，难度比较大二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上9（5 分）若数项为15展开式中的二项式系数和为 64，则 n 等于 6 ，该展开式中的常【分析】由题意可得得 2n64，求得&#

26、160;n6在幂指数等于零，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项展开式的通项公式中，令 x 的【解答】解：由展开式中的二项式系数和为 64，可得 2n64，n6由于，展开式的通项公式为 Tr+1x122rxrx123r，令 123r0，r4，故该展开式中的常数项为15，故答案为 6，15【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题10（5 分）椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 M&#

27、160;上任一点，且|PF1|PF2|的最大值的取值范围是2c2，3c2，其中，则椭圆 m 的离心率 e 的取值范围是【分析】根据题意，|PF1|PF2|的最大值为 a2，则由题意知 2c2a23c2，由此能够导出椭圆 m 的离心率 e 的取值范围第 12 页（共 26 页）【解答】解：|PF1|PF2|（a+ex）（aex）a2e2x2a2，|PF1|PF2|的最大值为 a2，由题意知 2c2a23c2，故椭圆 m 

28、;的离心率 e 的取值范围答案：【点评】|PF1|PF2|的最大值a2 是正确解题的关键11（5 分）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是 sin2【分析】如图所示，在 OPQ 中，利用直角三角形的边角关系及诱导公式化简求解即可【解答】解：如图所示在 OPQ 中，可化为 sin2过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是 sin2故答案为：sin2【点评】本题考查极坐标系的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系及诱导公式是解题的关键（y12 5 分）如图是某地区

29、 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图第 13 页（共 26 页）为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，17）建立模型30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 

30、年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，7）建立模型 99+17.5t利用这两个模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值分别为 226.1（亿元） ，256.5 （亿元）；并且可以判断利用模型得到的预测值更可靠【分析】根据两个模型分别求出 2018 年的预测值，然后对比 2016 年的预测值，进行比较即可确定两个模型的预测值的可靠性【解答】解（1）y3.04+13.5×19226.1（亿元）y99+17.5×9256.5

31、0;（亿元）（2）当年份为 2016，对于模型：t17，y3.04+13.5×17199.1 （亿元），对于模型：t7，y99+17.5×7221.5 （亿元），所以的准确度较高，偏差较大，所以选择得到的预测值更可靠故答案为：226.1（亿元）；256.5 （亿元）【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，结合条件求出对应的预测值是解决本题的关键13（5 分）对于函数 yf（x），若存在区间a，b，当 xa，b时，f（x）的值域为ka，kb第 14 页（共 26 页）

32、（k0），则称 yf（x）为 k 倍值函数若 f（x）lnx+x 是 k 倍值函数，则实数 k 的取值范围是（1，1+ ）【分析】由于 f（x）在定义域x|x0 内为单调增函数，利用导数求得 g（x）的极大值为：g（e）1+ ，当 x 趋于 0 时，g（x）趋于，当 x 趋于时，g（x）趋于 1，因此当 1k1+时，直线 yk 与曲线 yg（x）的

33、图象有两个交点，满足条件，从而求得 k 的取值范围【解答】解：f（x）lnx+x，定义域为x|x0，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）ka，f（b）kb，即：lna+aka，lnb+bkb，即 a，b 为方程 lnx+xkx 的两个不同根k1+，令 1+g（x），令 g'（x）0，可得极大值点 xe，故 g（x）的极大值为：g（e）1+ ，当 x 趋于 0 时，g（x）趋于，当 x 趋于时，g（x）趋于&#

34、160;1，因此当 1k1+时，直线 yk 与曲线 yg（x）的图象有两个交点，方程 k1+有两个解故所求的 k 的取值范围为（1，1+ ），故答案为 （1，1+ ）【点评】本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题14（5 分）定义：对于数列xn，如果存在常数 p，使对任意正整数 n，总有（xn+1p）（xnp）0 成立，那么我们称数列xn为“p摆动数列”若 an2n1，bnqn（1q0），nN *，则数列

35、an不是“p摆动数列”，bn是“p摆动数列”（回答是或不是）；已知“p摆动数列”cn满足 cn+1，c11则常数 p 的值为；（【分析】 1）由an是关于 n 的递增数列，可知不满足定义，由 bnqn（1q0）可知正负交替出现，易求出 p 的值；（2）先对 n 取特殊值确定 p 的取值范围，再根据对任意的正整数 n 都成立，求出 p 的值第 15 页（共 26 页）（2）因为数列cn是“

36、p摆动数列”，故 n1 时有（x2p）x1p）0，可求得      ，又因为使对任意正整数 n，总有（cn+1p）np）0 成立，即有（cn+2p）n+1p）【解答】（1）由 an2n1 知道an是递增数列，故不存在满足定义的 p，又因为 bnqn（1q0）可知 bn 正负数值交替出现，故 p0 时满足定义（c（c0 成立，则（cn+2p）（cnp）0，所以 c1p，c3p，c2n1p，同理

37、60;c2p，c4p，c2np，所以 c2npc2n1，即，解得，即，同理，解得，即，综上，故答案为：不是；是；【点评】本题属于新定义型问题，综合考查数列、不等式的知识，难度较大三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13 分）已知函数 f（x）sin（2x）2sin（x）cos（x+）（）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）已知 x1，x2 是函数 yf（x） 的两个零点，求|x1x2|的最小值（【分析】 

38、;）利用两角和差的正弦公式以及三角函数的倍角公式，辅助角公式进行化简，结合周期公式，以及函数的单调性进行求解即可（）根据零点求出 sin（2x（【解答】解： ）f（x）sin（） 的根，利用作差法进行求解即可，2x）sin   cos2xcos   sin2x2sin（x  ）cos（x+ cos2x+cos2x+）sin2x+2sin（xsin2xcos2x）cos（x  ） cos2x+   sin2x+sin（

39、2x  ）第 16 页（共 26 页）sin2x cos2xsin（2x），则函数 f（x）的最小正周期 T，由 2k得 k2xxk+2k+，kZ，kZ，即函数的单调递增区间为k，k+，kZ（）x1，x2 是函数 yf（x） 的两个零点，由 yf（x） 0 得 f（x） ，则由 sin（2x） 得 2x12k1+，2x22k2+  ，则得 2（x2

40、x1）2（k2k1）+，即（x2x1）（k2k1）+则|x1x2|（k2k1）+，|，k1，k2Z，则当 k1k2 时，|x1x2|取得最小值，最小值为|x1x2|【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简，以及利用三角函数值的关系是解决本题的关键16（14 分）空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大指数050级别类别优户外活动建议可正常活动51100101150151200201250251300良轻微污染  易感人群症

41、状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心轻度污染  脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动中度污染  心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健中度重污染 康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动第 17 页（共 26 页）301500重污染健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动现统计邵阳市市区 2016 年 10 月至 11 月连

42、续 60 天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图（1）求这 60 天中属轻度污染的天数；（2）求这 60 天空气质量指数的平均值；（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污染以上时才会出现雾霾天气，且此时出现雾霾天气的概率为 ，请根据统计数据，求在未来 2 天里，邵阳市恰有 1 天出现雾霾天气的概率（【分析】 1）（2）根据频率分布直方图，计算即可；（3）求出空气质量为轻度污染或轻度污染以上的概率 P1，得到出现雾霾概率，从而求出邵阳市恰有 1&#

43、160;天出现雾霾天气的概率【解答】解：（1）依题意知，轻度污染即空气质量指数在 151200 之间，共有 0.003×50×609 天（ 2 ） 由 直 方 图 知60天 空 气 质 量 指 数 的 平 均 值 为（3）空气质量为轻度污染或轻度污染以上的概率 P10.15+0.050.2，出现雾霾概率为，未来 2 天里，恰有&

44、#160;1 天为雾霾天气的概率【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了相互独立事件的概率的计算问题，是中档题第 18 页（共 26 页）17（13 分）在三棱柱 ABCA1B1C1 中，CACB，侧面 ABB1A1 是边长为 2 的正方形，点E，F 分别在线段 AA1、A1B1 上，且 AE ，A1F ，CEEF（）证明：平面 ABB1A1平面 ABC；（）若 CACB，求

45、直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值（【分析】 I）取 AB 的中点 D，连结 CD，DF，DE计算 DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出 DEEF，由三线合一得 CDAB，故而 CD平面 ABB1A1，从而平面 ABB1A1平面 ABC；（II）以 C 为原点建立空间直角坐标系，求出与平面 CEF 所成角的正弦值等于|cos和平面 CEF 的法向量 ，

46、则直线 AC1|【解答】证明：（I）取 AB 的中点 D，连结 CD，DF，DEACBC，D 是 AB 的中点，CDAB侧面 ABB1A1 是边长为 2 的正方形，AE ，A1F A1E ，EF，DE             ，DF    ，EF2+DE2DF2，DEEF，又&#

47、160;CEEF，CEDEE，CE平面 CDE，DE平面 CDE，EF平面 CDE，又 CD平面 CDE，CDEF，又 CDAB，AB平面 ABB1A1，EF平面 ABB1A1，AB，EF 为相交直线，CD平面 ABB1A1，又 CD平面 ABC，平面 ABB1A1平面 ABC第 19 页（共 26 页）（II）平面 ABB1A1平面 ABC，三棱柱 ABCA1B1C1 是直三

48、棱柱，CC1平面 ABCCACB，AB2，ACBC以 C 为原点，以 CA，CB，CC1 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（  ，0， ），F（   ，   ，2）（，0，2），（，0， ），（，2）设平面 CEF 的法向量为 （x，y，z），则，令 z4，得 （，9，4）10，| |6，|sin直线 

49、AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值为【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题18（13 分）圆 x2+y22 与 x 轴交于 F1、F2 两点，P 为圆上一点椭圆0）以 F1、F2 为焦点且过点 P（）当 P 点坐标为（x0，）（x00）时，求 x0 的值及椭圆方程；第 20 页（共 26 页）1（ab（）若直线 1 与

50、（）中所求的椭圆交于 A、B 不同的两点，且点 C（0，1），|，求直线 l 在 y 轴上截距 b 的取值范围|【分析】（）由圆与 x 轴的交点为（，0）得椭圆的焦距 2c2，从而椭圆方程化为+1，将 P（）代入圆，能求出，从而 P（，），由此能求出 b21，进而能求出椭圆方程（）由|，得点 C 在线段 AB 的中垂线上，当 k0 时，l 与椭圆交于两点都满足题意，从而

51、0;b（1，1），当 k0 时，设 A（x1，y1），B（x2，y2），中点 M（x，y），x由，得（）2+2kbx+b210，由得 3k2b2+10，再利用点差法能求出结果，【解答】解：（）由圆与 x 轴的交点为（，0）得椭圆的焦距 2c2  ，a2b22，a22+b2，椭圆方程化为+1，将 P（）代入圆，得，P（，   ）代入式，得     +  1，解得 b21，椭圆方程

52、为（）由|，得点 C 应该在线段 AB 的中垂线上，当 k0 时，l 与椭圆交于两点都满足题意，b（1，1），当 k0 时，设 A（x1，y1），B（x2，y2），中点 M（x，y），由，消 y 得（）x2+2kbx+b210，第 21 页（共 26 页）由，得 3k2b2+10，由，作差，得（x1+x2）（x1x2）+（y1+y2）（y1y2）0，由，及k，得 x+3ky0，MCAB，x+k（y+1）0，

53、由得，代入 ykx+b 中，得 k2，将式代入式，得 0b2，由得 2b10，b ，b 的取值范围是（）综上，当 k0 时，直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是（1，1），当 k0 时，直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是（）【点评】本题考查实数值、椭圆方程、纵截距的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、点差法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题19（14 分）已知函数

54、 f（x）ex x32x2+（a+4）x2a4，其中 aR ，e 为自然对数的底数（1）若函数 f（x）的图象在 x0 处的切线与直线 x+y0 垂直，求 a 的值；（2）关于 x 的不等式 f（x） ex 在（，2）上恒成立，求 a 的取值范围；（3）讨论函数 f（x）极值点的个数（【分析】 1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，解方程可得 a

55、 的值；（2）由题意可得 x32x2+4x a（x2），令 x2t（t0），运用参数分离和构造g（t），求得单调性，可得 a 的范围；（3）求出函数的导数，令 h（x） x3x2+axa，由 h（x）0，即为 a（x1）x2第 22 页（共 26 页）x3，运用参数分离，求得令 mx1，可得 h（m）（m）的单调区间，可得 a 的范围，即有 f（x）的极值点的个数【解答】解：（1）函数 f（x）e

56、x x32x2+（a+4）x2a4的导数为f（x）ex（ x3x2+axa），图象在 x0 处的切线斜率为a，切线与直线 x+y0 垂直，可得a1，解得 a1；（2）关于 x 的不等式 f（x） ex 在（，2）上恒成立，即为 x32x2+（a+4）x2a 0 在 x2 恒成立即有 x32x2+4x a（2x），令 x2t（t0），可得a，令 g（t），t0，求得 hg（t）&

57、#160; 0，即 g（t）在 t0 递减，可得 g（t）0，可得a0，即 a 的取值范围是0，+）；（3）由 f（x）的导数为 f（x）ex（x3x2+axa），令 h（x） x3x2+axa，由 h（x）0，即为 a（x1）x2 x3，若 x1 时，方程不成立；若 x1 时，a，令 mx1，可得 h（m）第 23 页（共 26 页），h（m），当

58、0;m0 即 x1 时，h（m）递减，m1 时，h（m）递增，1m0 时，h（m）递减则当 a0 时，f（x）x2（ x1），显然 x3，f（x）递增，x0 或 0x3 时，f（x）递减，即有 x3 为极值点；当 a0 时，ah（m）有一个解，f（x）有 0 个极值点；当 a0 时，ah（m）有三个解，f（x）有 2 个极值点综上可得，a0 时，f（x）有一个极值点；

59、a0 时，f（x）有 0 个极值点；a0 时，f（x）有 2 个极值点【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义和两直线垂直的条件，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数的极值点的个数，注意运用分类讨论的思想方法，属于难题20（13 分）已知集合 A1，A2，An 为集合 U 的 n 个非空子集，这 n 个集合满足：从中任取 m 个集合都有U 成立；从中任取 m+1 个集合都有【分析】 ）由 U1，2，3，n3，m1，能求出满足题意的一组集合 A1，A2，A3U 成立（）若 U1，2，3，n3，m1，写出满足题意的一组集合 A1，A2，A3；（）若 n4，m2，写出满足题意的一组集合&