2019-2020学年浙江省温州市高二(上)期末数学试卷(a卷)

1、2019-2020 学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（ A 卷）一、选择题：每小题 4 分，共 40 分1（4 分）命题“若 x0，则 x20”的否命题是（）A若 x0，则 x20C若 x0，则 x20B若 x20，则 x0D若 x20，则 x0（2 4 分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）3 4 分）已知 l1：2x+m2

2、y+2m0 与 l2：y3x+A一个圆台、两个圆锥C两个圆台、一个圆柱（ABB一个圆柱、两个圆锥D两个圆台、一个圆锥，若两直线平行，则实数 m 的值为（   ）C   或         D    或4（4 分）设 ， 为三个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 l，m有如下的两个命题：若 l，m，则&#

3、160;；若 l，m，则 那么（）A是真命题，是假命题C都是真命题B是假命题，是真命题D都是假命题5（4 分）已知双曲线过点 P（2，2），其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）ABCD6（4 分）已知函数 f（x）x3+3ax2+bx+a2（a，bR）在 x1 时处取得极值 0，则 a+b（）A47（4 分）已知 P 是椭圆B11           

4、  C4 或 11         D3 或 10上在第一象限内的点，F1，F2 分别是椭圆的左右焦点，若存在点 P 使得点 F2 在线段 PF1 的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是（）ABCD8（4 分）如图，正四面体 ABCD 中，E 是 AC 的中点，F 是 CD 边上的动点，记二

5、面角 BEFD 的平面角为 ，则 F 从 C 运动到 D 的过程中（不含端点 D）（）第1页（共23页）A 增大C 先增大后减小B 减小D 先减小后增大9（4 分）已知函数 f（x）是定义在（0，+）的可导函数，f'（x）为其导函数，当 x0且 x1 时，若曲线 yf（x）在 x1 处的切线的斜率为1，则f（1）（）AB0CD110（4 分）已知点 

6、A，B 分别是互不垂直的两条异面直线 a，b 上的点，且直线 AB 与 a，bPQ均垂直， a， b，若直线 PQ 与 AB 所成锐角  为定值，则 PQ 的中点 M 的轨迹是（）A椭圆B抛物线C圆D线段二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题 6 分11（4 分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱

7、的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为12（4 分）已知函数 f（x）xex，则 f'（1）；函数 f（x）的值域为13（4 分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm3；表面积是cm2第2页（共23页）（|14 4 分）已知集合 A（x，y） x|+|y|1，集合 B（x，y）x2+y2a2，a0，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数 a 

8、;的取值范围是；若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是15（4 分）如图，已知点 F 是抛物线 y24x 的焦点，点 A，B 是抛物线上不同的两点，满足|FA|：|FB|1：3，且AFB90°，则直线 AB 的斜率为16（4 分）如图，四边形 ABCD 中，ABBCCD2，对角线 BD3，E 是线段CD 上除端点外的任一点，将ABD 沿 BD 翻折成'BD

9、，使二面角 A'BDC 为 120°，设异面直线 A'D 和 BE 所成的角为 ，则 sin 的最小值是第3页（共23页）17（4 分）已知斜率为 k（k0）的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，设直线 OA，OB 的斜率分别为 k1，k2，满足 k1+k28，则OAB 面积的取值范围是三、解答题：5 小题，共 74 分18如图，已知

10、圆 M 的圆心在第一象限，与 x 轴相切于点切于点 B（1）求圆 M 的方程；（2）圆 M 和圆 x2+y21 相交于 P，Q 两点，求线段 PQ 的长度，与直线       相R19已知函数 f（x）x+alnx，（a ）（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）当 a1 时，如果函数值范围在定义域内单调递增，求实数 

11、t 的取20如图，三棱柱 ABCA'B'C'中，BCBB'B'C4，C 是直二面角，E，F 分别是 A'B'，CC'的中点（1）求证：EF平面 AB'C；（2）求 EF 与平面 ABB'A'所成角的正弦值，ACAA'，二面角 BAB'第4页（共23页）21如图，F 是抛物线 x24y 的焦点，过 F 的直线交抛物线于 A，B 

12、;两点，抛物线在 A，B两点处的切线相交于点 M（1）求证：点 M 在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点 C 作抛物线的切线分别交直线 AM，BM 于点 P，求 FPQ面积的最小值22已知函数 f（x）lnxax2+bx，曲线 f（x）在（1，f（1）处的切线方程为 y2x1（1）求实数 a，b 的值；（2）如果不等式恒成立，求整数 k 的最大值第5页（共23页）2019-2020 学年浙江省温州市高二（上）期

13、末数学试卷（ A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：每小题 4 分，共 40 分1（4 分）命题“若 x0，则 x20”的否命题是（）A若 x0，则 x20C若 x0，则 x20B若 x20，则 x0D若 x20，则 x0【分析】命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案【解答】解：命题“若 x0，则 x20”的否命题是：若 x0，则 x20，故选：C【点评】本题考查了命题的否命题，

14、要和命题的否定区别开，本题属于基础题（2 4 分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A一个圆台、两个圆锥C两个圆台、一个圆柱B一个圆柱、两个圆锥D两个圆台、一个圆锥【分析】画出等腰梯形，考虑较长的底边，旋转可得形状【解答】解：设等腰梯形 ABCD，较长的底边为 CD，则绕着底边 CD 旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图）故选：B【点评】本题考查旋转体的形状判断，考查空间位置关系和想象能力，属于基础题3 4 分）已知 l1：2x+m2y+2m0 与&

15、#160;l2：y3x+（AB，若两直线平行，则实数 m 的值为（   ）C   或         D    或【分析】直线 l2 的方程化为 3x+y0，根据两直线平行列方程求出 m 的值，再排除第6页（共23页）两直线重合情况【解答】解：直线 l2：y3x+可化为 3x+y0，由直线 l1：2x+m2y

16、+2m0 与 l2 平行，则 3m22×10，解得 m±；当 m时，l1 的方程为 3x+y+0，两直线平行；当 m时，l1 的方程为 3x+y0，两直线重合；综上知，m 的值为故选：B【点评】本题考查了两条直线平行与重合的判断问题，是基础题4（4 分）设 ， 为三个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 l，m有如下的两个命题：若 l，m，则 ；若 l，m，则 那

17、么（）A是真命题，是假命题C都是真命题B是假命题，是真命题D都是假命题【分析】直接利用线面和面面之间的平行和垂直的判定的应用求出结果【解答】解：对于两个命题：若 l，m，则 ；错误，由于直线和平面之间没有传递性若 l，m，则 错误，可能  和  相交故选：D【点评】本题考查的知识要点：线面和面面之间的平行和垂直的判定的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型5（4 分）已知双曲线过点 P（2，2），其渐近线方程为为（）ABCD，则该双曲线的标准方程【分析】设以求得 ，则答案可求为

18、渐近线的双曲线方程为          （0），把 P 的坐标代入第7页（共23页）【解答】解：设以双曲线过点 P（2，2），为渐近线的双曲线方程为          （0），即 3双曲线的标准方程为故选：D【点评】 本题考查双曲线标准方程的求法，设出以为渐近线的双曲线方程为（0）是关键，是基础题6（4 分）已知函数 f（x）x

19、3+3ax2+bx+a2（a，bR ）在 x1 时处取得极值 0，则 a+b（）A4B11C4 或 11D3 或 10【分析】由题意可得，f（1）0，f（1）0，代入即可求解【解答】解：f（x）x3+3ax2+bx+a2 在 x1 时处取得极值 0，f（x）3x2+6ax+b，解可得，或当时，f（x）3x2+6x+33（x+1）20 恒成立，函数单调递增，没有极值，不合题意，则 a+b11故选：B【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化

20、的思想方法，属于中档题7（4 分）已知 P 是椭圆上在第一象限内的点，F1，F2 分别是椭圆的左右焦点，若存在点 P 使得点 F2 在线段 PF1 的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是（）ABCD【分析】利用已知条件转化列出 a、c 关系式，然后求解离心率的范围第8页（共23页）【解答】解：F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆 C 上存在点 P，使得线段 PF1 的中垂线恰好经过焦点 F2，可得|PF

21、2|2c，即以 F2 为圆心，2c 为半径的圆与椭圆有交点，所以 2cac可得 e，P 是椭圆上在第一象限内的点，a2c，可得 e椭圆 C 的离心率的取值范围是：（ ，）故选：C【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，列出了推理能力与计算能力，属于中档题8（4 分）如图，正四面体 ABCD 中，E 是 AC 的中点，F 是 CD 边上的动点，记二面角 BEFD

22、60;的平面角为 ，则 F 从 C 运动到 D 的过程中（不含端点 D）（）A 增大C 先增大后减小B 减小D 先减小后增大【分析】作图，先求得二面角 BEFD 的平面角，再在直角三角形中求得 tan 的值，通过 OG 的变化，得到 tan 的变化情况，进而得解【解答】解：由题意得，BO平面 ACD，其中 O 为ADC 的中心，过 O 作

23、 OGEF 交于点 G，连接 BG，由三垂线定理可得，BGEF，BGO 为二面角 BEFD 的平面角 ，易知，在 BOG 中，第9页（共23页）由图可得，F 从 C 运动到 D 的过程中 OG 减小，而 BO 为定值，故 tan 增大，则  增大，故选：A【点评】本题考查立体几何中的动态问题，考查空间角问题，考查逻辑推理能力，属于中档题9（4 分）已知函数&

24、#160;f（x）是定义在（0，+）的可导函数，f'（x）为其导函数，当 x0且 x1 时，若曲线 yf（x）在 x1 处的切线的斜率为1，则f（1）（）AB0CD1【分析】令 g（x）x2f（x），讨论 x1，0x1 时，g（x）的单调区间和极值点，可得 g（1）0，即有 2f（1）+f（1）0，由 f（1）1，即可得出【解答】解：当 x0 且 x1 时，可得 x1 时，2f（x）+xf（x）0；0x1&#

25、160;时，2f（x）+xf（x）0令 g（x）x2f（x），x（0，+），g（x）2xf（x）+x2f（x）x2f（x）+xf（x）可得：x1 时，g（x）0；0x1 时，g（x）0可得函数 g（x）在 x1 处取得极值，g（1）2f（1）+f（1）0，由 f（1）1，可得 f（1） ，故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值及其切线斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（4 分）已知点 A，B 分别是互不垂直的两条异面直线 a，b

26、0;上的点，且直线 AB 与 a，bPQ均垂直， a， b，若直线 PQ 与 AB 所成锐角  为定值，则 PQ 的中点 M 的轨迹是（）第10页（共23页）A椭圆B抛物线C圆D线段【分析】画出图象，根据动点轨迹锐角  为定值，故以 AB 为轴，夹角为 ，PQ 为母线画圆锥，由 P，Q 分别在 a，b 上移动，故相当于圆锥在移动，画出中点M

27、0;随椭圆的变化位置，因为 AB 长度为定值，故可投影为平面问题，建立坐标系，求出 M 的轨迹为椭圆【解答】解：如图，直线 AB 与两条异面直线 a，b 垂直，将 b 从 BB'移动到 AA'，与 a 相交于 A 点，故直线 AB 与底面 APA'垂直，且 AB 与 PQ 所成的锐角  为定值，故以 AB 

28、;为轴，夹角为，PQ 为母线画圆锥，由 P，Q 分别在 a，b 上移动，故相当于圆锥在移动，画出中点 M 随椭圆的变化位置，因为 AB 长度为定值，故可投影为平面问题，如下图，以直线 a，b 交点为原点，角平分线为 x 轴建立如图直角坐标系，为了方便计算不妨设 a，b 的夹角 60°，直线 x 轴与 a，b 夹角为 30°，令定值|P'Q'|AB|ta

29、n6，则设动点 Q'（tan（30°）由|P'Q'|（2x2联立解得故选：Aa，a），设 M（x，y），M 为 P'Q'中点，故 P'（2x，得 3a  x+3y，+（2y2a）236，第11页（共23页）a，2ya）可得【点评】考查点的轨迹方程，利用圆锥和投影平面，结合求解方程组得出结论，难度较大，考查空间想象能力和抽象能力二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题 6 分11（4 分）如图所示是古希腊数学

30、家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为的表面积与球的表面积之比为，圆柱【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理运算即可得到结果【解答】解：由题意，圆柱底面半径 r球的半径 R，圆柱的高 h2R，则V 球 R3，V 柱r2hR22R2R3S 球4R2，第12页（共23页）S 柱2r2+2rh2R2+2R2R6R2故答案为： ；

31、 【点评】本题主要考查圆柱与内切球的关系及推理运算能力本题属基础题12（4 分）已知函数 f（x）xex，则 f'（1）1e；函数 f（x）的值域为 （，1【分析】对函数求导，判断单调性和最值，代入即可【解答】解：f（x）xex，所以 f'（x）1ex，f'（1）1e，当 x（，0）时，f（x）递增；当 x（0，+）时，f（x）递减，故 f（x）有最大值 f（0）1，故 f（x）的值域为（，1，故答案为：1e；（，1【点评】考查函数的单调性和最值的判断

32、和应用，中档题（13 4 分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是8+表面积是20+4cm2cm3；【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为上面为正式棱锥体，下第13页（共23页）面为正方体的组合体，故S故答案为：；20+48+20+4【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型（|14 4 分）已知集合 A（x，y） x|+|y|1，集

33、合 B（x，y）x2+y2a2，a0，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是1，+） ；若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是（0，【分析】根据题意，分析集合 A、B 的几何意义，进而结合集合与充分必要条件的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，集合 A（x，y）|x|+|y|1，其几何意义为如图正方形 ABCD及其内部区域，集合 B（x，y）|x2+y2a2，a0，其几何意义为圆 x2+y2a2 的圆周及其内部区域，

34、而圆 x2+y2a2 的圆心为（0，0），半径 ra，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则正方形ABCD 在圆 x2+y2a2 的内部，必有 a1，此时 a 的取值范围为1，+）；若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则圆x2+y2a2 在正方形 ABCD 的内部，必有 a，此时 a 的取值范围为（0，故答案为：1，+）；（0，；第14页（共23页）【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及集合的表示以及几何意义，属于基础题15（4 

35、分）如图，已知点 F 是抛物线 y24x 的焦点，点 A，B 是抛物线上不同的两点，满足|FA|：|FB|1：3，且AFB90°，则直线 AB 的斜率为【分析】由题意得 A，B 横坐标的关系，再由AFB90°知， 'FFB'B，所以得坐标的关系，代入抛物线中得 A，B 的坐标，进而求出斜率【解答】解：由题意知，焦点 F（1，0），准线方程：x1，A（x，y），B（x'，y'）过 A，B 

36、;分别做 AA'，BB'垂直于 x 轴，则由AFB°，AA'F'B，|FA|：|FB|1：3，所以 3AA'B'F，3yx'1，由 3（x+1）x'+1，x'3x+2由y2+，x'7+2，y'2+2，x，所以 kAB；第15页（共23页）故答案为：【点评】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题16（4 分）如图，四边形 ABCD 中，ABBCCD2，对角线 BD3，E 是线段CD 

37、;上除端点外的任一点，将ABD 沿 BD 翻折成'BD，使二面角 A'BDC 为 120°，设异面直线 A'D 和 BE 所成的角为 ，则 sin 的最小值是“【分析】抓住点 E 的任意性， 最小角定理”得到的线面角不超过线线角，由此能求出 sin的最小值【解答】解：设 AO平面 BCD，过 O 作 OHBD 于 H，连结&

38、#160;AH，由题意得AHO60°，由等面积法得 AH，              ，由最小角定理得直线 AD 与平面 BCD 所成角是异面直线 A'D 和 BE 所成的角的最小角，（sin）min第16页（共23页）故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题

39、17（4 分）已知斜率为 k（k0）的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，设直线 OA，OB 的斜率分别为 k1，k2，满足 k1+k28，则OAB 面积的取值范围是【分析】设直线 l 的方程，与椭圆联立，求出两根之和两根之积，进而求直线 OA，OB的斜率，再由斜率之和为 8k，求出参数的关系，代入面积公式均值不等式求出面积的取值范围【解答】解：设直线 AB 的方程：ykx+t，设 A（x'，y'），B

40、（x''，y''），联立与椭圆的方程整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2120，k2t24（3+4k2）（4t212）0，即 t23+4k2，x'+x''，x'x''，k1kOA，k2kOB，由题意得：8k，8k，8k2k+t，4t29，t2 ；，原点 O 到直线的距离 d，AB42，第17页（共23页） S  OAB  AB  d ，OAB 面积的取值范围是：（0，）

41、故答案为：（0，）【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题三、解答题：5 小题，共 74 分18如图，已知圆 M 的圆心在第一象限，与 x 轴相切于点切于点 B（1）求圆 M 的方程；（2）圆 M 和圆 x2+y21 相交于 P，Q 两点，求线段 PQ 的长度，与直线       相（【分析】 1）设圆心 M（，b），b0，

42、则圆 M 的方程为+（yb）2b2，再根据圆和直线相切的性质可得b，由此求得 b1，可得圆的标准方程（2）由题意利用两个圆相交的性质，利用弦长公式求出线段 PQ 的长度【解答】解：（1）已知圆 M 的圆心在第一象限，与 x 轴相切于点（，b），b0，设圆心 M则圆 M 的方程为由于该圆 M 与直线故圆 M 的方程为+（yb）2b2，相切于点 B，故有+（x1）21b，求得 b1，（2）圆 M 和圆

43、 x2+y21 相交于 P，Q 两点，把两个圆的方程相减，可得 PQ 的方程为2x+2y30第18页（共23页）由于点 O 到直线 PQ 的距离为 d   ，故弦长 PQ2           2×1【点评】本题主要考查圆和直线相切的性质，点到直线的距离公式的应用，弦长公式，属于中档题19已知函数 f（x）x+alnx

44、，（aR）（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）当 a1 时，如果函数在定义域内单调递增，求实数 t 的取值范围（【分析】 1）对函数 f（x）求导，对 a 进行讨论，判断单调性；（2）函数在定义域内单调递增，g'（x）            0，分离参数求出 t 的范围【解答】解：（1）已知函数 f（x）x+alnx，（aR），x0，f'

45、（x）1+，当 a0 时，f'（x）0，f（x）在（0，+）递增；当 a0 时，x（0，a），f'（x）0，f（x）递减；x（a，+），f'（x）0，f（x）递增；（2）当 a1 时，g（x）x+lnx+g'（x）0，即 x2+（t+1）x+10 在 x0 恒成立，x0，分离参数 t+1，由 x+，x0，故 t+12，即 t3【点评】考查用导数法判断函数的单调性和最值，中档题20如图，三棱柱 ABCA'B&

46、#39;C'中，BCBB'B'C4，C 是直二面角，E，F 分别是 A'B'，CC'的中点（1）求证：EF平面 AB'C；第19页（共23页），ACAA'，二面角 BAB'（2）求 EF 与平面 ABB'A'所成角的正弦值（【分析】 1）取 AB的中点 G，连结 GE，GC，推导出四边形 GCFE 为平行四边形，EFCG，由此能证明 EF平面 ABC

47、（2）由 CGEF，得 EF 与平面 ABBA所成的角等于 CG 于平面 ABBA所成角，作 BHBA，H 是垂足，推导出CGA 是 CG 与平面 ABBA所成角，由此能求出EF 与平面 ABB'A'所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：取 AB的中点 G，连结 GE，GC，E，F 分别是 AB，CC的中点，GEAA，且 GE，CFAA，且 CF，GECF，且&

48、#160;GECF，四边形 GCFE 为平行四边形，EFCG，又 CG平面 ABC，EF平面 ABC，EF平面 ABC（2）解：CGEF，EF 与平面 ABBA所成的角等于 CG 于平面 ABBA所成角，作 BHBA，H 是垂足，由面 BAB面 ABC，得 BH面 ABC，BHAC，又 ACAA，BH 和 AA是相交直线，AC平面 ABBA，CGA 是 CG 

49、;与平面 ABBA所成角，AC3，AG，CG，EF 与平面 ABB'A'所成角的正弦值为 sinCGA     第20页（共23页）【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21如图，F 是抛物线 x24y 的焦点，过 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，抛物线在 A，B两点处的切线相交于点 M（1）求证：点 M 在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点