（整理版）高考试题数学（理科）圆锥曲线

1、高考试题数学理科圆锥曲线一、选择题:1. (高考山东卷理科8)双曲线的两条渐近线均和圆c:相切,且双曲线的右焦点为圆c的圆心,那么该双曲线的方程为(a) (b) (c) (d) 【答案】a【解析】由圆c:得:,因为双曲线的右焦点为圆c的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆c相切,所以,即,又因为c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为,应选a.2. (高考辽宁卷理科3)f是抛物线y2=x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，那么线段ab的中点到y轴的距离为 a b1 c d答案：c解析：设a，b的横坐标分别是，由抛物线定义，得，故，,故线段ab的中点到轴的距离为3. (高考全

2、国新课标卷理科7)设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于 a,b两点，为c的实轴长的2倍，那么c的离心率为a b c2 d3答案：b解析：由题意知，为双曲线的通径，所以，又，应选b.点评：此题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出离心率的关键的值，从而的离心率。4.(高考浙江卷理科8)椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，假设恰好将线段三等分，那么a b c d【答案】 c【解析】由恰好将线段ab三等分得，由 又 ，应选c5.(高考安徽卷理科2)双曲线的实轴长是a2 (b) (c) 4 (d) 4【答案】

3、a【解析】可变形为，那么，.应选c.6. (高考湖南卷理科5)设双曲线的渐近线方程为，那么的值为 a.4 b. 3 c. 2 d. 1答案：c解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。7.(高考湖北卷理科4)将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为，那么a. b. c. d. 答案：cxyofabcd解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为和，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为，所以选c.8.(高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，那么抛物线的方程是 a b c d【

4、答案】b金太阳新课标资源网【解析】：设抛物线方程为，那么准线方程为于是9. (高考四川卷理科10)在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，那么抛物线顶点的坐标为( )a b c d答案：a解析：由的割线的坐标,设直线方程为，那么又10. (高考全国卷理科10)抛物线c：的焦点为f，直线与c交于a，b两点那么=(a) (b) (c) (d) 【答案】d【解析】：，准线方程为，由那么，由抛物线的定义得由余弦定理得 应选d11(高考福建卷理科7)设圆锥曲线r的两个焦点分别为f1，f2，假设曲线r上存在点p满足=4:3:2，那么曲线r的离心率等于

5、a b或2 c2 d【答案】a二、填空题:1.(高考辽宁卷理科13)点2,3在双曲线c：a0，b0上，c的焦距为4，那么它的离心率为_.2.(高考浙江卷理科17)设分别为椭圆的焦点，点在椭圆上，假设;那么点的坐标是 .【答案】 【解析】设直线的反向延长线与椭圆交于点，又，由椭圆的对称性可得，设，又，解之得，点a的坐标为.3. (高考江西卷理科14)假设椭圆的焦点在轴上，过点1，作圆的切线，切点分别为a,b，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，那么椭圆方程是 【答案】【解析】因为一条切线为x=1,且直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即,设点p1，,连结op,那么opa

6、b,因为,所以,又因为直线ab过点(1,0),所以直线ab的方程为,因为点在直线ab上,所以,又因为,所以,故椭圆方程是.解析：由椭圆的的定义知，又因为离心率，因此，所求椭圆方程为：；点评：此题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质。要注意把握.5.(高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域包含边界内，那么圆的半径能取到的最大值为 解析：。 为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆的半径为，那么圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：6. (高考四川卷理科14)双曲线p到左准线的距离是 . 答案：16解析：由双曲线第一定义，|pf1|-|pf2|=&

7、#177;16，因|pf2|=4，故|pf1|=20，|pf1|=-12舍去，设p到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.7. (高考全国卷理科15)f1、f2分别为双曲线c: - =1的左、右焦点，点ac，点m的坐标为(2，0)，am为f1af2的平分线那么|af2| = .【答案】6【解析】：，由角平分线的性质得又 8(高考北京卷理科14)曲线c是平面内与两个定点f1-1，0和f¬21，0的距离的积等于常数的点的轨迹.给出以下三个结论： 曲线c过坐标原点； 曲线c关于坐标原点对称；假设点p在曲线c上，那么fpf的面积大于a。其中，所有正确结论的序号是 。【答案】9(高考上海卷理

8、科3)设为常数，假设点是双曲线的一个焦点，那么 。【答案】16三、解答题:1. (高考山东卷理科22)本小题总分值14分动直线与椭圆c: 交于p、q两不同点，且opq的面积=,其中o为坐标原点.证明和均为定值;设线段pq的中点为m，求的最大值；椭圆c上是否存在点d,e,g，使得?假设存在，判断deg的形状；假设不存在，请说明理由.【解析】i解：1当直线的斜率不存在时，p，q两点关于x轴对称，所以因为在椭圆上，因此又因为所以；由、得此时 2当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，其中即*又所以因为点o到直线的距离为所以，又整理得且符合*式，此时综上所述，结论成立。 ii解法一

9、： 1当直线的斜率存在时，由i知因此 2当直线的斜率存在时，由i知所以 所以，当且仅当时，等号成立.综合12得|om|·|pq|的最大值为解法二：因为 所以即当且仅当时等号成立。因此 |om|·|pq|的最大值为 iii椭圆c上不存在三点d，e，g，使得证明：假设存在，由i得因此d，e，g只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆c上不存在满足条件的三点d，e，g.2.(高考辽宁卷理科20)本小题总分值12分如图，椭圆c1的中心在原点o，长轴左、右端点m，n在x轴上，椭圆c2的短轴为mn，且c1，c2的离心率都为e，直线lmn，l与c

10、1交于两点，与c2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为a，b，c，d.i设，求与的比值；ii当e变化时，是否存在直线l，使得boan，并说明理由解：i因为c1，c2的离心率相同，故依题意可设设直线，分别与c1，c2的方程联立，求得 4分当表示a，b的纵坐标，可知 6分 iit=0时的l不符合题意.时，bo/an当且仅当bo的斜率kbo与an的斜率kan相等，即解得因为所以当时，不存在直线l，使得bo/an；当时，存在直线l使得bo/an.2.(高考安徽卷理科21)本小题总分值13分设，点的坐标为1,1，点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。 【】

11、：此题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点轨迹方程等根本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。【解析】：由知q,m,p三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设，那么，即 再设,由，即，解得 将代入式，消去得 又点b在抛物线上，所以，再将式代入得 ，即，即，因为，等式两边同时约去得 这就是所求的点的轨迹方程。【解题指导】：向量与解析几何相结合时，关键是找到表示向量的各点坐标，然后利用相关点代入法或根与系数关系解决问题，此外解析几何中的代数式计算量都是很大的，计算时应细致加耐心。3. (高考全国新课标卷理科20)本小题总分值12分 在平面直角坐标系

12、xoy中，点a(0,-1)，b点在直线y = -3上，m点满足mb/oa， maab = mbba，m点的轨迹为曲线c。求c的方程；p为c上的动点，l为c在p点处得切线，求o点到l距离的最小值。解析; ()设m(x,y),由得b(x,-3),a(0,-1).所以=-x,-1-y, =(0,-3-y), =(x,-2).再由题意可知+ =0, 即-x,-4-2y (x,-2)=0.所以曲线c的方程式为y=x-2.()设p(x,y)为曲线c：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。那么o点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以o点到距离的最小值为2.点

13、评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。4. (高考天津卷理科18)本小题总分值13分在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点为等腰三角形求椭圆的离心率；设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程解：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等根底知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.总分值13分. i解：设 由题意，可得即整理得舍，或所以解:由知,可得椭圆方程为.直线方程为,a,b两点的坐标满足方程组,消去y并整理,得,解得,得方

14、程组的解,不妨设,设点的坐标为,那么,.由得,于是,由，即,化简得,将代入,得,所以,因此,点的轨迹方程是.5.(高考浙江卷理科21)此题总分值15分抛物线:，圆:的圆心为点m求点m到抛物线的准线的距离；点p是抛物线上一点异于原点，过点p作圆的两条切线，交抛物线于a，b两点，假设过m，p两点的直线垂直于ab，求直线的方程【解析】由得准线方程为，由得m，点m到抛物线的准线的距离为设点 ， 由题意得设过点的圆的切线方程为即 那么即设，的斜率为那么是上述方程的两个不相等的根，将代入得由于是方程的根故，所以，由得解得点的坐标为直线的方程为.6. (高考江西卷理科20)本小题总分值13分是双曲线e：上一

15、点，m，n分别是双曲线e的左、右顶点，直线pm，pn的斜率之积为1求双曲线的离心率；2过双曲线e的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于a，b两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足，求的值解：1双曲线e：，在双曲线上，m，n分别为双曲线e的左右顶点，所以，直线pm，pn斜率之积为而，比拟得2设过右焦点且斜率为1的直线l：，交双曲线e于a，b两点，那么不妨设，又，点c在双曲线e上：*1又 联立直线l和双曲线e方程消去y得：由韦达定理得：，代入1式得：7. (高考湖南卷理科21) 本小题总分值13分如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.求，的方程；设与轴的交点为，过坐标原点的直

16、线与相交于点，直线，分别与相交于点，.()证明： ;()记,的面积分别为，问：是否存在直线，使得？请说明理由.解：由题意知，从而，又，解得，故，的方程分别为，由题意知，直线的斜率存在，设为，那么直线的方程为由得设，那么是上述方程的两个实根，于是又点，所以故即ii设直线的斜率为，那么直线的方程为，由解得或，那么点的坐标为又直线的斜率为 ，同理可得点b的坐标为.于是由得，解得或，那么点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标于是因此由题意知，解得或又由点的坐标可知，所以故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和评析：本大题主要考查抛物线、椭圆的标准方程的求法以及直线与抛物线、椭圆的位置关系，

17、突出解析几何的根本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.8. (高考广东卷理科19)设圆c与两圆中的一个内切，另一个外切.1求c的圆心轨迹l的方程.2点且p为l上动点，求的最大值及此时点p的坐标.【解析】1解：设c的圆心的坐标为，由题设条件知化简得l的方程为 2解：过m，f的直线方程为，将其代入l的方程得解得因t1在线段mf外，t2在线段mf内，故，假设p不在直线mf上，在中有故只在t1点取得最大值2。9. (高考湖北卷理科20)本小题总分值13分平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上a1、a2两点所在所面的曲线c可以是圆、椭圆或双曲线.()求曲线c的方程，并讨论

18、c的形状与m的位置关系；()当m=-1时，对应的曲线为c1：对给定的，对应的曲线为c2，设f1、f2是c2的两个焦点，试问：在c1上，是否存在点n，使得f1nf2的面积，假设存在，求的值；假设不存在，请说明理由.解：本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等根底知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。总分值14分 解：i设动点为m，其坐标为， 当时，由条件可得即，又的坐标满足故依题意，曲线c的方程为当曲线c的方程为是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线c的方程为，c是圆心在原点的圆；当时，曲线c的方程为，c是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线c的方程为，c是焦点在x轴上的双曲线.由知，当

19、时，c1的方程为；当时，c2的两个焦点分别为，.对于给定的，c1上存在点使得的充要条件是由得，由得，当，即，或时，存在点n，使：当，即，或时，不存大满足条件的点n.当时，由，可得令，,那么由，可得，从而，于是由，可得，即，综上可得：当时，在c1上，存在点n，使得，且;当时，在c1上，存在点n，使得，且;当时，在c1上，不存在满足条件的点n.10.(高考陕西卷理科17)本小题总分值12分如图，设是圆珠笔上的动点，点d是在轴上的投影，m为d上一点，且当的在圆上运动时，求点m的轨迹c的方程；求过点3，0且斜率为的直线被c所截线段的长度。【解析】：设m的坐标为，的坐标为 由得在圆上，即c的方程为过点3

20、，0且斜率为 的直线方程为，设直线与c的交点为，将直线方程代入c的方程，得，即。线段ab的长度为注：求ab长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。11.(高考重庆卷理科20)本小题总分值12分，第一问4分，第二问8分如图20，椭圆的中心为原点o，离心率，一条准线的方程为。求该椭圆的标准方程。设动点p满足,其中m,n是椭圆上的点。直线om与on的斜率之积为。问：是否存在两个定点，使得为定值。假设存在，求的坐标；假设不存在，说明理由。解析：由，解得，故椭圆的标准方程为 设，,那么由得，即，因为点m,n在椭圆上，所以故 ，设分别为直线om，on的斜率，由题意知，因此，所以，所以p点是椭

21、圆上的点，设该椭圆的左右焦点为，那么由椭圆的定义，为定值，又因，因此两焦点的坐标分别为12(高考四川卷理科21) (本小题共l2分) 椭圆有两顶点a(-1，0)、b(1，0)，过其焦点f(0，1)的直线l与椭圆交于c、d两点，并与x轴交于点p直线ac与直线bd交于点q (i)当|cd | = 时，求直线l的方程； (ii)当点p异于a、b两点时，求证：为定值. 解析：由可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率.那么，的方程为.13.(高考全国卷理科21)o为坐标原点，f为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过f且斜率为的直线与c交与a、b两点，点p满足()证明：点p在c上；设点p关于点o的对称点为q，证明：a

22、、p、b、q四点在同一圆上.【解析】： ()证明：由，由设，故点p在c上法一：点p，p关于点o的对称点为q，即，同理即， a、p、b、q四点在同一圆上.法二：由有那么的中垂线为：设、的中点为那么的中垂线为：那么的中垂线与的中垂线的交点为到直线的距离为即、四点在同一圆上。nmpaxybcnmpaxybcnmpaxybcnmpaxybcnmpaxybcnmpaxybc14. (高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系中，m、n分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p、a两点，其中p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连接ac，并延长交椭圆于点b，设直线pa的斜率为k1当直线pa平分线段mn，

23、求k的值；2当k=2时，求点p到直线ab的距离d；3对任意k>0，求证：papb【解析】1因为、,所以mn的中点坐标为(-1,),又因为直线pa平分线段mn，所以k的值为(2)因为k=2,所以直线ap的方程为,由得交点p()、a(),因为pcx轴，所以c)，所以直线ac的斜率为1，直线ab的方程为，所以点p到直线ab的距离d=.3法一：由题意设，a、c、b三点共线，又因为点p、b在椭圆上，两式相减得：法二：设,a、c、b三点共线，又因为点a、b在椭圆上,两式相减得：,15(高考北京卷理科19)本小题共14分椭圆.过点m,0作圆的切线i交椭圆g于a，b两点.i求椭圆g的焦点坐标和离心率；ii将表示为m的函数，并求的最大值.解：由得所以所以椭圆g的焦点坐标为离心率为由题意知，.当