一元多项式的定义和运算讲解

1、2.1 2.1 一元多项式的定义和运算一元多项式的定义和运算 2.2 2.2 多项式的整除性多项式的整除性2.3 2.3 多项式的最大公因式多项式的最大公因式2.4 2.4 多项式的分解多项式的分解 2.5 2.5 重因式重因式2.6 2.6 多项式函数多项式函数 多项式的根多项式的根2.7 2.7 复数和实数域上多项式复数和实数域上多项式2.8 2.8 有理数域上多项式有理数域上多项式2.9 2.9 多元多项式多元多项式2.10 2.10 对称多项式对称多项式 2.1.4 多项式的运算多项式的运算二、教学目的二、教学目的 掌握一元多项式的定义掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质有关概

2、念和基本运算性质. 三、重点、难点三、重点、难点 一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。 2.1.1 认识多项式认识多项式2.1.2 相等多项式相等多项式2.1.3 多项式的次数多项式的次数2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则多项式加法和乘法的运算规则2.1.6 多项式的运算性质多项式的运算性质多项式多项式令令R R是一个含有数是一个含有数1 1的数环的数环. .R R上一个文字上一个文字x x的多项式或的多项式或一元多项式指的是形式表达式一元多项式指的是形式表达式 nnxaxaxaa2210这里这里n n是非负整数而是非负整数而

3、 niai , , 1 , 0都是都是R R中的数中的数. . 一元多项式常用符号一元多项式常用符号 , ,xgxf来表示来表示. . 注注在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系数为零的项；若是某一个数为零的项；若是某一个i次项的系数是次项的系数是1 ，那那么这个系数可以省略不写。么这个系数可以省略不写。 定义定义若是数环若是数环R上两个一元多项式上两个一元多项式 , f (x) 和和g (x)有完全有完全相同的项相同的项,或者只差一些系数为零的项或者只差一些系数为零的项, 那么那么 f (x) 和和g (x)就说是相等就说是相等 . f (x) =

4、g (x)叫做多项式叫做多项式 nnxannxaxaxaa22100na的最高次项的最高次项,非负整数非负整数n叫做多项式叫做多项式 nnxaxaxaa22100na的次数的次数. 记作记作 xf0注：注：系数全为零的多项式没有次数系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做这个多项式叫做零多项式，记为零多项式，记为 0 . 给定数环给定数环R上两个多项式上两个多项式 nnxaxaxaaxf2210 mmxbxbxbbxg2210且且m n, f (x) 和和g (x) 的加法定义为的加法定义为 nnnxbaxbaxbabaxgxf2221100这里当这里当m 0)次多项式次多项式f (x)都可

5、以分解成都可以分解成F x的不可约多项式的乘积的不可约多项式的乘积.令令f (x)是是F x的一个次数大于零的多项式，并且的一个次数大于零的多项式，并且 ,2121xqxqxqxpxpxpxfsr此处此处 ), 2 , 1, 2 , 1()(sjrixqxpji与例例 在有理数域上分解多项式在有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积为不可约因式的乘积.容易看出容易看出 2223xxxxf（2） 2122223xxxxx一次因式一次因式x + 1自然在有理数域上不可约自然在有理数域上不可约.我们证明，我们证明，二次因式二次因式 也在有理数域上不可约也在有理数域上不可约.不然的话不然的话, 将能写成

6、有理数域上两个次数小于将能写成有理数域上两个次数小于2的因式的因式的乘积，因此将能写成的乘积，因此将能写成 22x22x（3 3） bxaxx 22的形式，这里的形式，这里a和和b是有理数是有理数.把等式（把等式（3）的右端乘开，）的右端乘开，并且比较两端的系数，将得并且比较两端的系数，将得a + b = 0 , ab = - b，由此，由此将得将得 .这与这与a是有理数的假定矛盾是有理数的假定矛盾.这样，（这样，（2）给出多项式的一个不可约因式分解给出多项式的一个不可约因式分解.2a我们还可以如下证明我们还可以如下证明 在有理数域上不可约在有理数域上不可约.如如果（果（3）式成立，那么它也给

7、出）式成立，那么它也给出 的实数域上的实数域上的一个不可约因式分解的一个不可约因式分解.但在实数域上但在实数域上22x22x2222xxx因此由唯一分解定理就得出因此由唯一分解定理就得出2a的矛盾的矛盾. .一一.内容分布内容分布 2.5.1重因式概念重因式概念 2.5.2 没有重因式的判断没有重因式的判断 二二.教学目的教学目的 1.掌握重因式概念掌握重因式概念,多项式的多项式的K阶导数概念阶导数概念. 2.掌握有无重因式判断的充要条件掌握有无重因式判断的充要条件.三三.重点难点重点难点 重因式概念及用一阶导数判断多项式有无重因式重因式概念及用一阶导数判断多项式有无重因式. 根据以上定义不难

8、直接验证，关于和与积的导数公根据以上定义不难直接验证，关于和与积的导数公式仍然成立：式仍然成立：（1） ,xgxfxgxf（2） xgxfxgxfxgxf（3） xfxkfxfkk1F x的多项式的多项式 nnxaxaxaaxf2210的导数或的导数或一阶导数指的是一阶导数指的是F x的多项式的多项式 1212nnxnaxaaxf xf 一阶导数一阶导数 的导数叫做的导数叫做 的二阶导数，记的二阶导数，记作作 ， 的导数叫做的导数叫做 的三阶导数，记的三阶导数，记作作 ，等等，等等. 的的k阶导数也记作阶导数也记作 . xf xf xf xf xf xf xfk)(设设 p (x)是多项式是多

9、项式 f (x)的一个的一个k (k1)重因式重因式. 那么那么 p (x)是是f (x)的导数的一个的导数的一个k - 1重因式重因式.多项式多项式f (x)没有重因式的充分且必要条件是没有重因式的充分且必要条件是f (x)与与它的导数它的导数 互素互素. xf一一. 内容分布内容分布 2.6.1 多项式的根概念多项式的根概念 2.6.2 综合除法综合除法 二二. 教学目的教学目的 1.掌握多项式函数掌握多项式函数 多项式的根的概念多项式的根的概念 2.掌握余式定理及运用综合除法掌握余式定理及运用综合除法 3.熟悉理解拉格朗日插值公式熟悉理解拉格朗日插值公式 三三. 重点、难点重点、难点 综

10、合除法，拉格朗日插值公式综合除法，拉格朗日插值公式 设给定设给定R x的一个多项式的一个多项式 nnxaxaaxf10)(和一个数和一个数c R.那么在的表示式里那么在的表示式里,把把 x用用c来代替来代替,就得到就得到R的一个数的一个数.10nncacaa这个数叫当这个数叫当 x = c 时时f (x)的值的值,并且用并且用f (c)来表示来表示.这样这样, 对于对于R的每一个数的每一个数c, 就有就有R中唯一确定的数中唯一确定的数 f (c)与它对应与它对应. 于是就得到于是就得到R到到R的一个映射的一个映射. 这个这个映射是由多项式映射是由多项式f (x)所确定的所确定的,叫做叫做R上一

11、个多项式上一个多项式函数函数.综合除法综合除法 nnnnnaxaxaxaxaxf122110)(设, 并且设并且设(1) ,)()()(rxqcxxf其中其中bxbxqnn110.)(比较等式比较等式(1)中两端同次项的系数中两端同次项的系数,我们得到我们得到设设 用用x c 除除f (x)所得的余式等于所得的余式等于当当x = c时时f (x)的值的值 f (c) . ,)(RcxRxf定理定理2.6.12.6.1.,121112201100nnnnncbracbbacbbacbbaba由此得出由此得出.,112121210100nnnnnacbracbbacbbacbbab这样这样,欲求系

12、数欲求系数 ,只要把前一系数只要把前一系数 乘以乘以c再加再加上对应系数上对应系数 ,而余式的而余式的 r 也可以按照类似的规律也可以按照类似的规律求出求出. 因此按照下所指出的算法就可以很快地陆续因此按照下所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式求出商式的系数和余式:kb1kbkarbbbbcbcbcbcbaaaaacrnnnnn21012101210|表中的加号通常略去不写表中的加号通常略去不写. 用用x + 3除除 94)(24xxxxf作综合除法作综合除法:6926103178309394101|3所以商式是所以商式是 ,26103)(23xxxxg而余式是而余式是.69)3(

13、 fr定理定理2.6.22.6.2 数数c是多项式是多项式f (x)的根的充分且必要条件是的根的充分且必要条件是f (x)能能x c 能整除能整除.定理定理2.6.32.6.3 设设f (x)是是R x中一个中一个n0次多项式次多项式. 那么那么f (x)在在R中中至多有至多有n个不同的根个不同的根.令令f (x)是是R x的一个多项式而的一个多项式而c的的R的一个数的一个数. 若是若是当当x = c时时f (x)的值的值f (c) = 0 , 那么那么c 叫做叫做f (x)在数环在数环R中的一个根中的一个根. 证证如果如果f (x)是零次多项式是零次多项式,那么那么f (x)是是R中一个不等

14、于中一个不等于零的数零的数, 所以没有根所以没有根. 因此定理对于因此定理对于n = 0成立成立.于是于是我们可以对我们可以对n作数学归纳法来证明这一定理作数学归纳法来证明这一定理.设设cR是是f (x)的一个根的一个根.那么那么 f (x) = (x c) g (x)这里这里g (x) R x是一个是一个n 1次多项式次多项式.如果如果dR是是f (x)另一个根另一个根, dc那么那么 0 = f (d) = (d c) g (d)因为因为d c0 , 所以所以g (d) = 0. 因为因为g (x)的次数是的次数是 n 1 ,由归纳法假设由归纳法假设, g (x)在在R内至多有内至多有n

15、1个不同个不同的根的根.因此因此f (x)在在R中至多有中至多有n个不同的根个不同的根. 令令 u (x) = f (x) g (x)若若f (x)g (x), 换一句话说换一句话说, u (x) 0 ,那么那么u (x)是一个是一个次数不超过次数不超过n的多项式的多项式,并且并且R中有中有n + 1个或更多的个或更多的根根. 这与定理这与定理2.6.3矛盾矛盾.证证设设f (x)与与g (x)是是R x的两个多项式的两个多项式,它们的次数都它们的次数都不大于不大于n.若是以若是以R中中n + 1个或更多的不同的数来代个或更多的不同的数来代替替x时时,每次所得每次所得f (x)与与g (x)的

16、值都相等的值都相等,那么那么 f (x) = g (x) . 定理定理2.6.42.6.4证证 设设f (x) = g (x) 那么它们有完全相同的项那么它们有完全相同的项, 因而对因而对R的任何的任何c都有都有f (c) = g (c)这就是说这就是说, f (x) 和和g (x)所所确定的函数相等确定的函数相等.反过来设反过来设f (x) 和和g (x)所确定的函数相等所确定的函数相等.令令 u (x) = f (x) g (x)那么对那么对R的任何的任何c都有都有u (c) = f (c) g (c) = 0这就是这就是说说, R中的每一个数都是多项式中的每一个数都是多项式u (x)的根

17、的根. 但但R有无有无穷多个数穷多个数, 因此因此u (x)有无穷多个根有无穷多个根.根据定理根据定理2.6.3只只有零多项式才有这个性质有零多项式才有这个性质.因此有因此有 u (x) = f (x) g (x) = 0 , f (x) = g (x) . R x的两个多项式的两个多项式f (x)与与g (x)相等相等,当且仅当它们当且仅当它们所定义的所定义的R上的多项式函数相等上的多项式函数相等.)()()()()()()(1111111111niniiiiiiniiiaaaaaaaaaxaxaxaxbxf这个公式叫做拉格朗日这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式插值公式.给了一

18、个数环给了一个数环R里里n + 1个互不相同的数个互不相同的数 以及任意以及任意n + 1个不全为个不全为0的数的数 后后,至多存在至多存在R x的一个次数不超过的一个次数不超过n的多项式的多项式f (x)能使能使 如果如果R还是一个数域还是一个数域, 那么这那么这样一个多项式是存在的样一个多项式是存在的, 因为容易看出因为容易看出,由以下公式由以下公式给出的多项式给出的多项式f (x)就具有上述性质就具有上述性质:121,naaa121,nbbb. 1, 2 , 1,)(nibafii121,naaa121,nbbb. 1, 2 , 1,)(nibafii拉格朗日拉格朗日(Lagrange)

19、(Lagrange)插值公式插值公式由拉格朗日插值公式得由拉格朗日插值公式得. 1) 12)(12() 1)(1( 3) 21)(11() 2)(1( 3) 21)(11 () 2)(1()(2xxxxxxxxxf求次数小于求次数小于3的多项式的多项式f (x) 使使. 3)2(, 3) 1(, 1) 1 (fff例例2 2一一.内容分布内容分布 2.7.1 代数基本定理代数基本定理 2.7.2 实系数多项式分解定理实系数多项式分解定理 二二.教学目的教学目的 1.理解代数基本定理、重根理解代数基本定理、重根 2.掌握实系数多项式的性质掌握实系数多项式的性质 三三.重点、难点重点、难点 代数基

20、本定理代数基本定理,根与系数关系根与系数关系.实系数多项式性质实系数多项式性质. 证证 设设f (x)是一个次多项式是一个次多项式,那么由定理那么由定理2.7.1,它在复它在复数域数域C中有一个根中有一个根 因此在因此在C x中中,1),()()(11xfxxf这里这里 是是C上的一个上的一个n 1 次多项式次多项式.若若n 1 0,那那么在么在C中有一个根中有一个根 因而在因而在C x中中)(1xf,2).()()(221xfxxxf任何任何n (n 0)次多项式在复数域中至少有一个根次多项式在复数域中至少有一个根. 定理定理2.7.1 (2.7.1 (代数基本定理代数基本定理) )任何任何

21、n (n 0)次多项式在复数域中有次多项式在复数域中有n个根个根(重根按重根按重数计算重数计算) .定理定理2.7.22.7.2这样继续下去这样继续下去,最后最后f (x)在在C x中完全分解成中完全分解成n个一个一次因式的乘积次因式的乘积,而在而在f (x) C中有中有n个根个根.复数域复数域C上任一上任一n (n 0)次多项式可以在次多项式可以在C x里分里分解为一次因式的乘积解为一次因式的乘积.复数域上任一次数大于复数域上任一次数大于1的多的多项式都是可约的项式都是可约的.定理定理2.7.32.7.3 若实系数多项式若实系数多项式 f (x)有一个非实的复数根有一个非实的复数根 ,那么那

22、么的共轭数的共轭数 也是也是f (x)的根的根, 并且并且 与与 有同一重数有同一重数.换句话说换句话说,实系数多项式的非实的复数根两两成对实系数多项式的非实的复数根两两成对.证证 .)(110nnnaxaxaxf令由假设由假设 . 0110nnnaxaxa把等式两端都换成它们的共轭数把等式两端都换成它们的共轭数,得得. 0110nnnaxaxa根据共轭数的性质根据共轭数的性质,并且注意到并且注意到 naaa,10和和0都是实数都是实数, 有有 , 0110nnnaaaaa即即也是也是f (x)的一个根的一个根.因此多项式因此多项式f (x)能被多项式能被多项式xxxxxg)()()(2整除整

23、除.由共轭复数的性质知道由共轭复数的性质知道g (x)的系数都是实数的系数都是实数.故故 ),()()(xhxgxf此处此处h (x) 也是一个实系数多项式也是一个实系数多项式.若是若是 是是f (x)的重根的重根,那么它一定是那么它一定是h (x)的根的根,因而根因而根据方才所证明的据方才所证明的, 也是也是h (x)的一个根的一个根.这样也是的这样也是的重根重根.重复应用这个推理方法重复应用这个推理方法,容易看出容易看出, 的重数的重数相同相同.与定理定理2.7.42.7.4 实数域上不可约多项式实数域上不可约多项式, 除一次多项式外除一次多项式外, 只有含非只有含非实共轭复数根的二次多项

24、式实共轭复数根的二次多项式. 定理定理2.7.52.7.5 每一个次数大于每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积数的一次和二次不可约因式的乘积.一一. .内容分布内容分布 2.8.1 本原多项式及高斯引理本原多项式及高斯引理 2.8.2 艾森斯坦差别法艾森斯坦差别法 2.8.3 求整系数多项式在理根求整系数多项式在理根二二. .教学目的教学目的 1.掌握本原多项式概念及高斯引理掌握本原多项式概念及高斯引理 2.熟悉运用艾森斯坦差别法熟悉运用艾森斯坦差别法 3.掌握求整系数多项式的有理根掌握求整系数多项式的有理根 三三. .重点

25、、难点重点、难点 艾森斯坦差别法及如何求整系数多项式有理根方法艾森斯坦差别法及如何求整系数多项式有理根方法. 引理引理2.8.12.8.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式.证证 设给了两个本原多项式设给了两个本原多项式,)(10mmiixaxaxaaxf,)(10nnjjxbxbxbbxg并且设并且设.)()(10mnmnjijixcxcxccxgxf)()(xgxf如果如果不是本原多项式不是本原多项式, 那么一定存在一个那么一定存在一个素数素数p , 它能整除所有系数它能整除所有系数.,10nmccc若是一个整系数多项式若是一个整系数多项式f (

26、x)的系数互素的系数互素,那么那么f (x)叫叫作一个本原多项式作一个本原多项式.由于由于f (x)和和g (x)都是本原多项式都是本原多项式,所以所以p不能整除不能整除f (x)的所有系数的所有系数,也不能整除也不能整除g (x)的所有系数的所有系数.令令 各各是是f (x)和和g (x)的第一个不能被的第一个不能被p 整除的系数整除的系数.考察考察f (x)g (x)的系数的系数 有有jiba 和.jic.011110bababababacjijijijijiji这个等式的左端这个等式的左端p整除整除.根据选择根据选择 的条件的条件,所有所有系数系数 都被都被p整除整除.因此乘积因此乘积

27、也也须被须被p整除整除.但但p是一个素数是一个素数,所以所以p必须整除必须整除 . 这与假设矛盾这与假设矛盾.jiba 和0110,bbaaji以及jibajiba 和证证 设设),()()(21xgxgxf这里这里 都是有理数域上的次数小于都是有理数域上的次数小于n的多的多项式项式.)()(21xgxg和若是一个整系数若是一个整系数n (n 0)次多项式次多项式f (x)在有理数域上在有理数域上可约可约, 那么那么f (x)总可以分解成次数都小于总可以分解成次数都小于n的两个整的两个整系数多项式的乘积系数多项式的乘积. 令令 的系数的最大公因数是的系数的最大公因数是 那么那么)(xh.1a)

28、,()(1111xfbaxg这里这里 是一个有理数而是一个有理数而 是一个本原多项式是一个本原多项式.同理同理,11ba)(1xf),()(2222xfbaxg这里这里 是一个有理数而是一个有理数而 是一个本原多项式是一个本原多项式. 于是于是,22ba)(2xf),()()()()(21212121xfxfsrxfxfbbaaxf其中其中r与与s是互素的整数是互素的整数, 并且并且s 0 . 由于由于f (x)是一整是一整系数多项式系数多项式,所以多项式所以多项式 的每一系数与的每一系数与r的的乘积都必须被乘积都必须被s整除整除. 但但r与与s互素互素, 所以所以 的的每一个系数必须被每一个

29、系数必须被s整除整除, 这就是说这就是说, s是多项式是多项式 的系数的一个公因数的系数的一个公因数. 但但 是一个是一个本原多项式本原多项式, 因此因此)()(21xfxf)()(21xfxf)()(21xfxf)()(21xfxf).()()(, 121xfxrfxgs而 显然各与显然各与 有相同的次数有相同的次数,这样这样, f (x)可以分解成次数都小于可以分解成次数都小于n的两个整系数多的两个整系数多项式的乘积项式的乘积.)()(21xfxrf和)()(21xgxg和 是一个整系数多项式是一个整系数多项式. 若若是能够找到一个素数是能够找到一个素数p,使使 nnxaxaaxf10)(设(i) 最高次项系数最高次项系数 不能被不能被p整除整除,na(ii) 其余各项的系数都能被其余各项的系数都能被p整除整除,(iii)常数项常数项 不通被不通被 整除整除,0a2p那么多项式那么多项式f (x)在有理数域上不可约在有理数域上不可约.证证 若是多项式若是多项式f (x)在有理数域上可约在有理数域上可约,那么由定理那么由定理2.8.2, f (x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式可以分解成两个次数较