1、与直线和圆有关的最值问题-理

1、1 、与直线和圆有关的最值问题- 理解析版 )圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题题型一 有关定直线、定圆的最值问题22例 1 已知 x, y 满足 x + 2y 5 = 0,则（x1） 2+ （y1）2 的最 小值为 破题切入点 直接用几何意义一一距离的平方来解决，另外还可以将x+2y-5 = 0改写成x=5 2y,利用二次函 Q（1,1）数法来解决 解析 方法一 （x 1 ） 2 （ y 1 ） 2 表示点 P （x ， y ） 到点 的距离的平方由已知可知点 P 在直线 l ：， 所以（x 1 ） 2 （y 1 ） 2 的最x + 2y5 = 0上，所以PQ小值为的最小值 为点Q

2、到直线l的距离，即d=|1+2Xl5| 2 5 d2 4.d 5.方法二由 x+2y 5=0,得 x = 5 2y,代入（x1） 2 +（ y 1 ） 并整理可得2 2 2 2 2（5 -2y-1） 2+ （y1） 2 = 4 （y-2） 2+ （y1） 2 l 的方 =5y2 18y + 17 =4令 y=0,可得 A (1k, 0);令 x = 0,可得 B (0,4 -k).4 4 4 OA + OB= (1 -k) + (4 k) =5- (k + k) =5+ (-k+-k) >5+ 4 = 9.4所以，当且仅当一k=k且k<0,即k= 2时，OA + OB 取最 小值.

3、这时l的方程为2x+y-6 = 0.题型三综合性问题(1)圆中有关元素的最值问题例3由直线y=x + 2上的点P向圆C： (x 4) 1 2+ (y +2) 2=1引切线PT (T为切点)，当PT的长最小时，点P 的坐标是k/4rTh3解析当| O"A + OB| = 3 | A"BI时，O, A, B三点为等腰三 角形的 三个顶点，其中OA = OB, /AOB = 120° ,从而破题切入点 将PT的长表示由来，结合圆的几何性质进行转化.解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点 P的距离的关 系， 可知 PT= PC21,故 PT最小时， 即PC最小， 此时PC

4、垂直于 直线y = x+2,则直线PC的方程为y + 2=- (x-4),即 y= y= x+ 2,x + 2,联立方程解得点P的坐标为(0,2).y= x + 2,2与其他知识相结合的范围问题例4已知直线x+y k = 0 (k>0)与圆x2 + y2= 4交于不同 的两3点A, B, O是坐标原点，且有|01十O“B| > 3 |AB| ,那么k的取值范围是.破题切入点 结合图形分类讨论.圆心O到直线x +yk = 0(k>0)的距离为1,此时k= 2;当 k> 2 时，| O"A + OB 3|> 3 |AB| ,又直线与圆x2 + y2 = 4存

5、在两交点，故k<2 2,综 上， k 的取值范围是 2， 2 2) 【总结提高】 (1) 主要类型： 圆外一点与圆上任一点间距离的最值.直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小 值问题两圆相离，两圆上点的距离的最值.已知圆上的动点Q(x ， y) ，求与点 Q 的坐标有关的式子的最 值，如求ax+by, caxx+bdyy等的最值，转化为直线与圆的位置关系解题思路：数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结 合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解.函数法：引入变量构建函数，转化为函

6、数的最值求解(3) 注意事项：准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系；涉及切线段长的最值时，要注意切线， 圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端 点的连 线组成一个直角三角形.1 .若动点 A, B分别在直线l 1: x+y7 = 0和12: x + y 5 = 0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为.解析 依题意知，AB的中点M的集合是与直线1 1: x+y -7 = 0和12： x+y 5=0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为1 : x +y+m = 0,根据平行线间的距离公式得|m27| = |m

7、25|? |m+ 7| = |m + 5|? m= 6,即 1 : x+y 6 = 0,根据点到直 线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为I -261 = 3 2.2 .已知点M是直线3x + 4y-2 = 0上的动点，点N为圆 (x+ 1)+ (y+1) 2=1上的动点，则MN的最小值是 , 解析 圆心(一1, 1)到点M的距离的最小值为点(一1, 1)到直线的距离d =3一=2| = 9,故点N到点M的 距离的最554小值为d-1=.53 .已知P是直线l： 3x-4y+11 =0上的动点，PA, PB 是圆x +y 2x 2y+1=0的两条切线，C是圆心，那么四边形 PACB 面积的最

8、小值是 答案 3解析 如图所示，圆的标准方程为(x1) 3 4 5 (y1) 2=1,圆心为C (1,1)半径为r = 1.1 根 3x 4y据对称性可知四边形PACB面积等于2s*。=2X2PA-r =PA, 故PA最小时，四边形 PACB的面积最 小，由于 PA= PC2- 1, 故PC最小时， PA最小，此时，直线CP垂直于直线l :+ 11= 0,故PC的最小值为圆心 C到直线l :3x 4y+11=03 1 x22AB 42|3 -4+ 11甲2的;2直线l的斜率当/AOB= 2时，S4AOB面积最大.此时O到的距离d设AB方程为y=k ( x 2) ( k<0),即 kx-

9、y- 2k=0. | 2k| = 2PC21= 22-1= 3.故四边形PACB面积 的最小值为3.4 . (2013 江西改编)过点(2, 0)引直线l与曲线y =相交于A、B两点，O为坐标原点， 当4AOB的面积 取最大值时，3 长安0答案 34 1 1 解析-/Saaob = 2OA - OB - sin / AOB = 2sin Z AOB<2.5 =2. 由d =k2+1= 2，仔 L 3 .5 .过点P (1,1)的直线，将圆形区域 (x, y) | x2+y2<4 分为两 部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为.答案x + y 2 = 0解析由题意知，当圆

10、心与P的连线和过点P的直线垂直 时，符合条件.圆心O与P点连线的斜率k= 1,所 以直线OP垂直于x + y-2= 0.y>0,6 .已知 Q= x, y2)直线 y=mx+ 2m和yV 4 x2曲线y= 4 x2有两个不同的交点， 它们围成的平面区域 为M,向区域上随机投一点A,点A落在区域M内 的概率为P(M),兀一2若P(M)C兀-2, 1 ,则实数m的取值范围是.答案0,12 兀解析 画出图形，不难发现直线恒过定点 (一2,0),圆是 上半圆，直线过(一2,0) , (0,2)时，向区域Q上随机投 一点A,此时P(M)一2兀点A落在区域M内的概率为P(M),当直线与x轴重合时，P

11、(M) =1 ,故直线的斜率范围是 0,1.7.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x + y 8x+15 = 0,若直线 y= kx-2上至少存在一点， 使得以该点为 圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则 k的最大值是.答案43解析 可转化为圆C的圆心到直线y= kx 2的距离不大于2.圆C的标准方程为（x 4）2 + y2=1,圆心为（4,0）.由题意知 （ 4,0 ）|4k 2|k2 1到kx y 2 = 0的距离应不大于42，22故 k 的最大值是 38 直线l 过点 （ 0 ， 4 ） ，从直线 l 上的一点 P 作圆 C ：-2y=0的切线PA, PB （A, B为切点），若四边

12、形PACB 面积的 最小值为2 ，则直线l 的斜率 k 为 答案±2解析 易知圆的半径为 1 ，因为四边形 PACB 的最小面积是2,此时切线段长为2,圆心（0,1）到直线y=kx 4 的距离为 %整理，得3k2 4k&0,解得0& k<3. 6i + k2= 5,解得 k= ± 2.9.若直线ax + by = 1过点A （ b, a）,则以坐标原点O 为圆心， OA 长为半径的圆的面积的最小值是 答案兀解析:直线ax + by = 1过点A （ b, a）,1 /. ab + ab=1.= ab = 2.又 OA= a2+ b2,.以。为圆心，OA

13、为半径的圆的面积为S=兀OA= （a+ b） 兀上ab ,书出，面积的最小值为冗.10 .与直线 x y 4 = 0 和圆 A： x2+y2 + 2x 2y=0 者B 相切的半径最小的圆C的方程是答案(x-1) 2+ (y + 1) 2=2解析 易知所求圆C的圆心在直线y= x上，故设其坐 标为C (c, c),又其直径为圆A的圆心A ( -1,1)到直线x-y-4 =0的距离减去圆A的半径，即即圆C到直线x- y 4=0的距离等于故育区笑4| =啦? c=3或c=1 结合图形当c = 3时圆C在直线x y 4 = 0下方，不符合题意，故所求圆的方程为 (x-1) 2+ (y+1) 2 = 2

14、.11 .已知点P (x, y)是圆(x + 2) 2 + y2=1上任意一点.(1)求点P到直线3x + 4y+12 = 0的距离的最大值和最小值；y-2(2)求x的最大值和最小值.x 1解(1) 为d =圆心C ( 2,0)到直线3x + 4y+ 12 = 0的距离所以点= 6+1|3 X 232 + 42P到直线+ 4X 0+ 12| =6. 53x + 4y+12 = 0的距离的最大值为 d + r61最小值为d r = 5 1=5.y 2(2)设 k = x -2i )则直线kx yk + 2 = 0与圆(x +2)2+y2= 1有公共点，3代2|3-3 '2+i<31

15、+ - 333, kmin=* kVmin 一kmax44 3 34.y -2即一x 1 12+ (2014 ,苏川3H抛)已知圆M的方程 为x2曲y最则t为y，6最小值维标原点。为圆心的圆。 与圆 M 相切(1) 求圆 。 的方程；圆。与x轴交于E, F两点，圆。内的动点D使得DE, DO , DF成等比数列，求 D“E - D-F的取值范围.解(1)圆M的方程可整理为(x-1) 2+(y1)2 = 8,故圆 心 M(1,1),半径 R = 2 2.圆。的圆心为 0(0,0) 5 = 2<2 2 , 所以点。在圆M内，故圆。只能内切于圆M.设喷|小M。半因为圆。内切于圆M,所以MO =

16、 Rr,即2 = 2 2 r)解得r = 2,所以圆。的方程为x2+y2=2.径为r，(2) 不妨设E(m,0) ， F(n, 0) ，且m<n. 故 E( 2， 0) ， F( 2， 0)设 D(x ， y) ，由 DE ， D。 ， DF 成等比数列，得 DEXDF= D。2,即 x+ 2 2 + y2X x 2 2+y2= x2 + y2, 整理得x2 y2 = 1.而 D E= ( 2 x, y) ,D F=( 2 x, 一y),所以 D E , D F = (一 2 x) ( 2 一 x) + ( y) ( y) = x2 + y2 2 = 2y2 1.由于点所以x2 y2<2 ， 得 y2<12，D在圆O内，故有2 2