胡赵云--解决问题之提出分析与解决

1、浙江省衢州市实验学校浙江省衢州市实验学校北师大版初中数学教材编写组北师大版初中数学教材编写组胡赵云胡赵云问题解决之提出、分析与解决问题解决之提出、分析与解决关于应用题教学，你有什么想法？关于应用题教学，你有什么想法？你的学生解应用题有哪些困难？你的学生解应用题有哪些困难？你教学解应用题有哪些成功的经验？你教学解应用题有哪些成功的经验？你是怎样理解问题解决的？你是怎样理解问题解决的？你希望我们交流什么样的话题？你希望我们交流什么样的话题？前言前言感叹题目又看错了感叹题目又看错了 / 读不懂题意读不懂题意我关于这个问题的回忆我关于这个问题的回忆 2. 看到一种教学现象：看到一种教学现象：4. 想起

2、自己过去教列方程解应用题想起自己过去教列方程解应用题1. 听过一节北师大版的数学课听过一节北师大版的数学课 题目多，做得多，讲得多，听得多题目多，做得多，讲得多，听得多3. 发现一种现象（造成一种后果）发现一种现象（造成一种后果） 初步学会从数学的角度提出问题、理初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。解决问题，发展应用意识。 形成解决问题的一些基本策略，体验形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与解决问题策略的多样性，发展实践能力与创造精神。创造精神。5.课标课标（实验稿）提出

3、：（实验稿）提出：解决问题解决问题 问题解决问题解决1.1 问题解决不是新问题问题解决不是新问题一、背景与发展一、背景与发展标准标准（2011年版）年版）美国美国“问题解决问题解决”的起始的起始u1980.4，美国数学教师理事会公布了指导，美国数学教师理事会公布了指导80年代学校数年代学校数学教育的纲领性文件学教育的纲领性文件行动的议事日程行动的议事日程指出：指出： 8080年代的数学大纲，应当在各年级都介绍数学的应用，把学生引进年代的数学大纲，应当在各年级都介绍数学的应用，把学生引进问题解决中去。问题解决中去。 数学课程应当围绕问题解决来组织。数学课程应当围绕问题解决来组织。 数学教师应当创

4、造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境。数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境。 问题解决作为学校数学教育的核心。问题解决作为学校数学教育的核心。u1980.8,“问题解决问题解决”被列入第四届国际数学教育大会被列入第四届国际数学教育大会（ICME-4）的议程）的议程.u1984年年,第五届国际数学教育大会（第五届国际数学教育大会（ICME-5），），“问题问题解决解决”成为大会最主要的议题之一成为大会最主要的议题之一.美国美国“问题解决问题解决”的起始的起始u1988年，美国数学指导委员会（年，美国数学指导委员会（NCSM）认为）认为: “学习数学的主要目的在于问题解决学习数学

5、的主要目的在于问题解决”。u1989年，美国全国数学教师理事会制定了年，美国全国数学教师理事会制定了学校学校数学课程和评估的标准数学课程和评估的标准明确明确: 把把“具有数学地解决问题的能力具有数学地解决问题的能力”置于使所有学置于使所有学生有较高的数学素养的目标中的中心地位。生有较高的数学素养的目标中的中心地位。美国美国“问题解决问题解决”的起始的起始问题是数学的心脏问题是数学的心脏1.2 数学教育中要解决什么样的问题解决？数学教育中要解决什么样的问题解决？o问题：问题：可接受性、障碍性、探究性、生活性可接受性、障碍性、探究性、生活性 常规性，经典的问题常规性，经典的问题o解决结果：解决结果

6、：开放性开放性荷兰的弗赖登塔尔认为：荷兰的弗赖登塔尔认为： 如果数学是无用的，它就不会存在。如果数学是无用的，它就不会存在。 不能忘记数学在社会中扮演的角色，从过去、现不能忘记数学在社会中扮演的角色，从过去、现在一直到将来，教数学的教室不可能浮在半空中，而在一直到将来，教数学的教室不可能浮在半空中，而学数学的学生也必然是属于社会的。学数学的学生也必然是属于社会的。 （1）已知）已知 = ，问，问x是多少？是多少？（2） （盎斯为容积单位（盎斯为容积单位,1,1盎斯盎斯29.57cm29.57cm3 3;“;“”表示表示“美分美分”,1,1=0.01=0.01美元）美元）（3）如果一杯）如果一杯

7、7盎斯的汽水卖盎斯的汽水卖25，问一杯，问一杯12盎斯的汽水卖多少钱？盎斯的汽水卖多少钱？（4）三个学生正在筹办一次野餐，他们了解到一杯）三个学生正在筹办一次野餐，他们了解到一杯7盎斯的汽水通常盎斯的汽水通常卖卖25，现在他们想知道一杯，现在他们想知道一杯12盎斯的汽水应该收多少钱？盎斯的汽水应该收多少钱？（5）社区举办慈善性野餐，有位办事人员定出一杯）社区举办慈善性野餐，有位办事人员定出一杯7盎斯的汽水的价盎斯的汽水的价格是格是25，并问你一杯，并问你一杯12盎斯的汽水应卖多少钱？盎斯的汽水应卖多少钱？基尔巴屈克基尔巴屈克(美美)曾列举下列题目曾列举下列题目 -显示显示“问题问题”的不同意义

8、的不同意义 725 12 x（6）如果一杯）如果一杯7盎斯的汽水卖盎斯的汽水卖25，则照比例，则照比例计算时，一杯计算时，一杯12盎斯的汽水的价格不刚好为盎斯的汽水的价格不刚好为整数。一个解决的方式是把一杯整数。一个解决的方式是把一杯7盎斯的汽盎斯的汽水价格提高一些，使得照比例算出来的一杯水价格提高一些，使得照比例算出来的一杯12盎斯的汽水的价格为整数。请你提出解决盎斯的汽水的价格为整数。请你提出解决的方案，在各种可能的解决方案中，提高的的方案，在各种可能的解决方案中，提高的最少数目是多少？最少数目是多少？第（第（1）题是常规计算题；）题是常规计算题；第（第（2）题是图式题）题是图式题没有文字

9、的文字题；没有文字的文字题；第（第（3）题是常见的典型文字题；）题是常见的典型文字题；第（第（4）题是所谓）题是所谓“真实的问题真实的问题”； 在这一问题情境里，学生处于对他们来说是有意义的在这一问题情境里，学生处于对他们来说是有意义的“真实真实”状况里状况里（如筹办一次野餐），在这里，学生被要求针对问题提出解决办法；（如筹办一次野餐），在这里，学生被要求针对问题提出解决办法；第（第（5）题是学生可能在校外会碰到的数学问题；）题是学生可能在校外会碰到的数学问题； 这类问题发生时与学生所处的年级及学习成绩无关。这类问题发生时与学生所处的年级及学习成绩无关。第（第（6）题是非常规问题；）题是非常规

10、问题； 这个问题稍嫌简单，不足以充分显示非常规问题的复杂性及数学品味，这个问题稍嫌简单，不足以充分显示非常规问题的复杂性及数学品味，但它可以导出一个含有两个未知数的不定方程。但它可以导出一个含有两个未知数的不定方程。 泽田利夫泽田利夫(日日)提出例子提出例子-结果的开放性结果的开放性 A，B，C三个做掷石子游戏，结果如图三个做掷石子游戏，结果如图1-2，这，这个游戏是以石子散落的距离小者为胜。请想一想如何个游戏是以石子散落的距离小者为胜。请想一想如何用用“数数”来表示这个来表示这个“散度散度”？1.1.多边形的面积；多边形的面积；2.2.多边形的周长；多边形的周长；3.3.连结两点的最长线段；

11、连结两点的最长线段；4.4.连结各点的线段之和；连结各点的线段之和；5.5.从某一点引向各点的线段之和；从某一点引向各点的线段之和；6.6.覆盖各点的圆的最小半径；覆盖各点的圆的最小半径；7.7.由于坐标的引入而产生的平均差；由于坐标的引入而产生的平均差；8.8.标准差。标准差。下面是学生考虑到的几种比较下面是学生考虑到的几种比较“散度散度”的方法：的方法：1.3 彼彼“问题解决问题解决” 此此“问题解决问题解决” 标准标准(2011年版年版)总体目标：总体目标： 通过义务教育阶段的数学学习，学生能：通过义务教育阶段的数学学习，学生能：1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的获得适应社

12、会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。基本技能、基本思想、基本活动经验。2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。出问题的能力、分析和解决问题的能力。3. 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和

13、实事求是的科学态度。求是的科学态度。标准标准(2011年版年版)具体目标具体目标-问题解决问题解决核心词：模型思想、应用意识、创新意识核心词：模型思想、应用意识、创新意识初步学会从初步学会从数学的角度数学的角度发现问题发现问题和和提出问题提出问题，综合，综合 运用数学知识解决简单的实际问题，增强运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意应用意 识识，提高，提高实践能力实践能力。获得获得分析问题分析问题和和解决问题解决问题的一些基本方法，体验解的一些基本方法，体验解 决问题方法的决问题方法的多样性多样性，发展，发展创新意识创新意识。学会与他人合作、交流。学会与他人合作、交流。初步形成评价与反思的

14、意识。初步形成评价与反思的意识。 二、对问题解决的理解二、对问题解决的理解 问题解决包括从数学角度发现、提出、分析和解决问题解决包括从数学角度发现、提出、分析和解决问题四个方面。应用意识、解决问题的策略、方法和问题四个方面。应用意识、解决问题的策略、方法和途径可以是多种多样的。途径可以是多种多样的。2.1 “问题解决问题解决”与与“解决问题解决问题”是一种教学方式是一种教学方式是一种课程内容展开形式是一种课程内容展开形式是学生应该掌握的学习形式是学生应该掌握的学习形式是学生应该具备的能力是学生应该具备的能力是课程目标是课程目标它们不完全相同它们不完全相同2.2 关于关于“四能四能”的理解的理解

15、o解决老师提出的问题、别人提出的问题固然重要；能够发现新解决老师提出的问题、别人提出的问题固然重要；能够发现新问题，提出新问题更加重要问题，提出新问题更加重要-创新性人才的基本要求创新性人才的基本要求o“发现问题发现问题”，是经过多方面、多角度的数学思维，从表面上，是经过多方面、多角度的数学思维，从表面上看来没有关系的一些现象中找到数量或空间方面的某些联系，看来没有关系的一些现象中找到数量或空间方面的某些联系，或者找到数量或空间方面的某些矛盾，并把这些联系或者矛盾或者找到数量或空间方面的某些矛盾，并把这些联系或者矛盾提炼出来。提炼出来。o“提出问题提出问题”，是在已经发现问题基础上，把找到的联

16、系或者，是在已经发现问题基础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、数学符号集中地以矛盾用数学语言、数学符号集中地以“问题问题”的形态表述出来。的形态表述出来。o分析问题和解决问题分析问题和解决问题-“已知已知”和和“未知未知”都是清楚的都是清楚的，是，是利用已有的概念、性质、定理、公式、模型，采用恰当的思路利用已有的概念、性质、定理、公式、模型，采用恰当的思路和方法得到问题的答案。和方法得到问题的答案。o发现问题和提出问题发现问题和提出问题-“已知已知”和和“未知未知”都是不清楚的都是不清楚的，培养学生的创新意识和创新精神，创新往往始于问题。培养学生的创新意识和创新精神，创新往往始于问题。2.3

17、 问题解决问题解决应用题应用题o传统的应用题有题型o应用题重在分析解决问题o应用题往往是“烧中”o应用题的解往往是确定的唯一的 标准标准所提到的所提到的“问题问题”不限于纯粹的数学题，不限于纯粹的数学题，特别是不同于那些仅仅通过特别是不同于那些仅仅通过“识别题，回忆解法，模识别题，回忆解法，模仿例题仿例题”等非思维性活动就能解决的等非思维性活动就能解决的“题题”。这里所。这里所说的问题既可以是纯粹的数学题，也可以是以非数学说的问题既可以是纯粹的数学题，也可以是以非数学形式呈现的问题，但无论什么类型的问题，其核心都形式呈现的问题，但无论什么类型的问题，其核心都是需要学生通过是需要学生通过“观察、

18、思考、猜测、交流、推理观察、思考、猜测、交流、推理”等有思维成分的活动才能够解决的。等有思维成分的活动才能够解决的。课标解读课标解读P181P181三、问题解决如何落实三、问题解决如何落实创设适当的情境（见案例八上、八下）创设适当的情境（见案例八上、八下）采用探究式的教学方法采用探究式的教学方法-教给探索的方法教给探索的方法关注问题的特征关注问题的特征o不是数学习题不是数学习题专门为复习与训练。专门为复习与训练。o不是依靠记忆题型和套用程式可解决的问题。不是依靠记忆题型和套用程式可解决的问题。o有较高思维含量，具有普遍性，典型性，规律性和新颖性。有较高思维含量，具有普遍性，典型性，规律性和新颖

19、性。o与生活、生产实际相联系与生活、生产实际相联系。3.1 发现和提出问题的落实发现和提出问题的落实 培养从数学角度出发的问题意识培养从数学角度出发的问题意识3.2 解决问题的策略、方法和途径的多样性解决问题的策略、方法和途径的多样性教学上，鼓励学生思考与交流。教学上，鼓励学生思考与交流。关注问题解决的过程。关注问题解决的过程。关注问题解决的评价与反思。关注问题解决的评价与反思。策略、方法、途径的多样性。策略、方法、途径的多样性。 方程、不等式、函数、算术、列表、图象。方程、不等式、函数、算术、列表、图象。 案例：案例：20112011年的中考题。年的中考题。基本策略基本策略-义务教育义务教育

20、算术算术 估算估算 反例反例方程方程 枚举枚举 旋转旋转不等式不等式 特殊点特殊点 函数函数 列表列表统计统计 图象图象1.通过制表，分类组织和分析数据。通过制表，分类组织和分析数据。 2.通过试误，修正，接近问题的解决。通过试误，修正，接近问题的解决。3.构造、寻找和使用一个模型。构造、寻找和使用一个模型。4.画一个简图帮助解答。画一个简图帮助解答。5.解决一个或几个相关的简单问题。解决一个或几个相关的简单问题。6.寻找一个反例。寻找一个反例。关于关于“基本策略基本策略”汪文贤汪文贤： 7.估计和猜测答案。估计和猜测答案。8.通过尝试通过尝试错误错误修正，逼近问题。修正，逼近问题。9.通过数

21、形结合或转换。通过数形结合或转换。10.进行比较和类比。进行比较和类比。11.考虑问题的逆否命题。考虑问题的逆否命题。12.排除不可能的选择。排除不可能的选择。13.试着用多种方法解决问题。试着用多种方法解决问题。14.对问题作推广研究。对问题作推广研究。 1.枚举法；枚举法； 2.模式识别；模式识别；3.问题转化；问题转化； 4.中途点法；中途点法； 5.以退求进；以退求进； 6.推进到一般；推进到一般； 7.从整体看问题；从整体看问题； 8.正难则反正难则反戴再平戴再平数学习题的解题策略数学习题的解题策略四、积累解决问题的经验四、积累解决问题的经验4.1 丰富生活体验丰富生活体验 案例案例

22、打折促销打折促销4.2 学会审题学会审题耐心、静心读完题耐心、静心读完题已知、未知。已知、未知。 数量关系数量关系表征。表征。 等量关系等量关系用不同的方式表示同一个量。用不同的方式表示同一个量。关健词关健词 案例案例1 她需要什么的帮助？她需要什么的帮助？ 有这样一道题目：有这样一道题目：XX牌牌52型拖拉机，一天耕地型拖拉机，一天耕地150公亩，公亩，问问12天耕地多少公亩？天耕地多少公亩？ 一位学生是这样解的：一位学生是这样解的：5215012=93600。 (会乘法计算，不理解乘法的意义）会乘法计算，不理解乘法的意义） 因为是新接的四年级班，对孩子不熟悉，所以老师就找因为是新接的四年级

23、班，对孩子不熟悉，所以老师就找她问话：她问话：“告诉我，你为什么这么列式？告诉我，你为什么这么列式？” “老师，我错了老师，我错了”。 “好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？” “除。除。” “怎么除？怎么除？” “大的除以小的。大的除以小的。” “为什么是除呢？为什么是除呢？” “老师，我又错了。老师，我又错了。” “你说，对的该怎样做呢？你说，对的该怎样做呢？” “应该把它们加起来。应该把它们加起来。” 看来，这位学生是在瞎猜，只要老师重复问一看来，这位学生是在瞎猜，只要老师重复问一句，她就习惯性地说自己错了，接着拿另一种计算句，她就习惯性地说自己错

24、了，接着拿另一种计算方法来搪塞。显然，她没有学会分析，她知道加、方法来搪塞。显然，她没有学会分析，她知道加、减、乘、除肯定有一种是适合这道题目的，这也是减、乘、除肯定有一种是适合这道题目的，这也是在许多数学学习困难的学生中常见的现象。在许多数学学习困难的学生中常见的现象。 于是，老师又对她说：于是，老师又对她说： “我们换一道题目，比如你每天吃两个大饼，我们换一道题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？天吃几个大饼？” 老师认为这道题她应该会做，因为其结构与前老师认为这道题她应该会做，因为其结构与前面的题目一样，都是每份数、份数、与总数的关系，面的题目一样，都是每份数、份数、与总数的关系，

25、引导学生迁移一下就可以了。引导学生迁移一下就可以了。 “老师，我早上不吃大饼的。老师，我早上不吃大饼的。” “那你吃什么？那你吃什么？” “我经常吃粽子我经常吃粽子”。 “好，那你每天吃好，那你每天吃2个粽子，个粽子，5天吃几个粽子？天吃几个粽子？” “老师，我一天根本吃不下两个粽子。老师，我一天根本吃不下两个粽子。” “那你能吃几个粽子？那你能吃几个粽子？” “吃半个就可以了。吃半个就可以了。” “好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？天吃几个粽子？” “两个半。两个半。” “怎么算出来的怎么算出来的?” “2天一个，天一个，5天两个

26、半。天两个半。” 这位学生的问题在哪里这位学生的问题在哪里? -俞正强：不让一个学生落后俞正强：不让一个学生落后从四个数学准备性从四个数学准备性学习案例谈学生群体学习质量的提高，人民教育，学习案例谈学生群体学习质量的提高，人民教育，20072007，7 74.3 教给学生分析应用题的方法教给学生分析应用题的方法o 列表法列表法o 图象法图象法o 分析法分析法o 数量关系法数量关系法 案例：案例：怎样分析解决问题怎样分析解决问题4.4 一题多解并不难。一题多解并不难。 案例案例多个方程多个方程4.5 引导学生自编应用题。引导学生自编应用题。 案例案例 小学小学五、让解决问题融于平时课堂五、让解决

27、问题融于平时课堂5.1 少解习题少解习题 多做问题多做问题 教好第一次教好第一次5.2 充分地发展数学思想充分地发展数学思想重点重点:模型思想模型思想代数：代数式、方程、不等式、函数代数：代数式、方程、不等式、函数几何：基本图形几何：基本图形统计：池塘中的鱼统计：池塘中的鱼 案例：案例：统计的教学统计的教学、中考题中考题5.3 让课堂充满问题解决让课堂充满问题解决问题意识问题意识以问题解决的方式组织教学以问题解决的方式组织教学 案例：案例：勾股定理勾股定理5.4 解决问题的主要方式解决问题的主要方式类比类比模仿模仿-多题一解多题一解开普勒开普勒： 我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老

28、我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的。视的。类比：发现具有性质类比：发现具有性质ABC的事件都具有性质的事件都具有性质D，设想所有，设想所有 具有性质具有性质ABC的事件都具有性质的事件都具有性质D 。类比：由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在类比：由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在 其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。案例：案例： 糖水加糖变甜了糖水加糖变甜了 用用“糖水加糖变甜了（糖水未饱和）糖水加糖变甜了（

29、糖水未饱和）”的现实情境中提炼出一个数学命的现实情境中提炼出一个数学命题：真分数不等式题：真分数不等式 ba0，m0 。从下述情景又能提炼出。从下述情景又能提炼出一个什么数学命题呢？一个什么数学命题呢？（1）将）将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同。小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同。（2）将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定）将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡。比淡的浓而又比浓的淡。（3）取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一）取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一

30、个浓度，这两个浓度哪个大呢？个浓度，这两个浓度哪个大呢？（4）有）有4杯浓度不等的糖水杯浓度不等的糖水a,b,c,d,若若 a比比b浓，浓，c比比d浓，那么浓，那么a与与c混合是混合是不是比不是比b与与d混合浓？混合浓？aba+mb+m请阅读下面的事实：某校高中一年级有两个班，请阅读下面的事实：某校高中一年级有两个班，教导处工作人员统计期末数学考试成绩时，计算出每教导处工作人员统计期末数学考试成绩时，计算出每一个班中男生及格率都比女生的及格率高（计算没有一个班中男生及格率都比女生的及格率高（计算没有错误），于是得出全年级男生及格率比女生及格率高错误），于是得出全年级男生及格率比女生及格率高的结

31、论。校长听完他的汇报后，根据同样的成绩表却的结论。校长听完他的汇报后，根据同样的成绩表却得出全年级女生及格率比男生及格率高的相反结论。得出全年级女生及格率比男生及格率高的相反结论。事实证明校长是对，工作人员感到费解。事实证明校长是对，工作人员感到费解。请通过数学方法说服工作人员。请通过数学方法说服工作人员。案例：女生及格率问题案例：女生及格率问题方法方法1：举反例。：举反例。班级班级甲甲 班班乙乙 班班男女人数男女人数男男25人人女女30人人男男29人人女女24人人及格人数及格人数23人人27人人17人人14人人及格率及格率92%90%58.6%58.3%男生及格率男生及格率= 100% 10

32、0% = 女生及格率。女生及格率。23+1725+2927+1430+24 设甲班有男生设甲班有男生a1人，及格人，及格b1人，女生有人，女生有c1人，及格人，及格d1人；乙班有男生人；乙班有男生a2人，及格人，及格b2人，女生有人，女生有c2人，及格人，及格d2人。按统计，每班的及格率有不等式人。按统计，每班的及格率有不等式 ， 而全年级的男女生及格率分别为而全年级的男女生及格率分别为 , .工作人员的推理是，由工作人员的推理是，由a1b10，a2b20，c1d10，c2d20，有，有方法方法2：5.4 解决问题的主要方式解决问题的主要方式类比类比模仿模仿-多题一解多题一解大类比：大类比：

33、代数式类比数代数式类比数 分式类比分数分式类比分数 不等式类比方程不等式类比方程 四边形类比三角形四边形类比三角形5.4 解决问题的主要方式解决问题的主要方式归纳归纳找规律找规律归纳：归纳：在一个集合中，如果观察到的每一个元素都在一个集合中，如果观察到的每一个元素都 具有某一个性质，则猜想这个集合中的所有具有某一个性质，则猜想这个集合中的所有 元素都具有这个性质。元素都具有这个性质。高斯高斯：用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。：用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。 （哥德巴赫猜想、费尔玛大定理）（哥德巴赫猜想、费尔玛大定理）5.4 解决问题的主要方式解决问题的主要方式从特殊，简单开始从特殊，简单

34、开始 例例 如图，已知如图，已知RtABC，C=90，问是否存在这样的，问是否存在这样的直线，使得它同时平分三角形直线，使得它同时平分三角形的周长和面积？的周长和面积？6ACB8105.4 解决问题的主要方式解决问题的主要方式正难则反正难则反 例例 设有甲、乙、丙设有甲、乙、丙3个小组，现对这个小组，现对这3组人员进组人员进行调整。第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出行调整。第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出组调出7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中

35、的一组调出中的一组调出7人给另一组。经人给另一组。经3次调整后，甲组有次调整后，甲组有5人，乙组有人，乙组有13人，丙组有人，丙组有6人。问甲、乙、丙各组原人。问甲、乙、丙各组原来有多少人？来有多少人？5.4 解决问题的真谛解决问题的真谛o怎样解题表怎样解题表(波利亚波利亚)弄清问题弄清问题 第一，第一，你必须你必须弄清问弄清问题题未知是什么未知是什么?已知是什么已知是什么?条件是什么条件是什么?满足条件是否可能满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分或者它是否不充分?或者是多余的或者是多余的?或者是矛盾的或者是矛盾的?画张图，引入适当的符号画张图，

36、引入适当的符号把条件的各个部分分开你能否把它们写下来把条件的各个部分分开你能否把它们写下来?拟定计划拟定计划 第二，第二，找出已知数找出已知数与未知数之与未知数之间的联系间的联系.如果找不出如果找不出直接的联系直接的联系,你可能不得你可能不得不考虑辅助不考虑辅助问题你应问题你应该最终得出该最终得出一个求解的一个求解的计划计划你以前见过它吗你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍你是否见过相同的问题而形式稍有不同有不同?你是否知道与此有关的问题你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能你是否知道一个可能用得上的定理用得上的定理?看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似看着未知数，试想出一

37、个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题未知数的熟悉的问题这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题你能不能利用它问题你能不能利用它?你能利用它的结果吗你能利用它的结果吗?你你能利用它的方法吗能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方你能不能用不同的方法重新叙述它法重新叙述它?回到定义去回到定义去拟定计划 第二，第二，找出已知找出已知数与未知数与未知数之间的数之间的联系联系.如果如果找不出直找不出直接的联系接的联系,你可能不

38、你可能不得不考虑得不考虑辅助问题辅助问题.你应该最你应该最终得出一终得出一个求解的个求解的计划计划如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题你能不能想出一个更容易着手的有关问题关的问题你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题一个更普遍的问题? 一个更特殊的问题一个更特殊的问题?一个类比的问题一个类比的问题? 你能否解决这个问题的一部分你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分这样对于未仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分这样对于未知数能确定到什么程度知数能确定到什么程度?它会怎样变化它会怎样变化?你能不能

39、从已知数据导出某些有用的东西你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想你能不能想出适合于确定未知数的其他数据出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?实现计划实现计划 回顾回顾第三，第三，实行你的实行你的计划计划实现你的求解计划，检验每一步骤实现你的求解计划，检验每一步骤你能否清楚地看出这一步骤是正确的你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的你能否证明这一步骤是正确的?第四，第四，验算所得验算所得到的解到的解你能否检验这个论证你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其他的问题你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?浙江省衢州市实验学校浙江省衢州市实验学校 胡赵云胡赵云有什么话儿，欢迎交流有什