高数测试题八曲线曲面积分答案

1、高数测试题八（曲线积分与曲面积分部分）一、选择题（每小题 5分，共25分）LQ P1、对于格林公式 Pdx+Qdy = Jf（）dxdy ,下述说法正确的正L二 rX yf（C）A L取逆时针方向，函数P,Q在闭区域D上存在一阶偏导数且B L取顺时针方向，函数P,Q在闭区域D上存在一阶偏导数且C L为D的正向边界，函数 P, Q在闭区域D上存在一阶连续偏导数D L取顺时针方向，函数P,Q在闭区域D上存在一阶连续偏导数2、取定闭曲面工的外侧，如果工所围成的立体的体积是V,那么曲面积分力的是（D ）A IJf xdydz + ydzdx + zdxdyy)dydz (y z)dzdx (z x)d

2、xdy(x y z)(dydz dzdx dxdy)f f -( x + y + z)( dydz + dzdx + dxdy) 33、C为任意一条不通过且不包含原点的正向光滑简单闭曲线，则|- xdy - ydx 与 x2 +4y2B 0 C 2二 D 二4、设工为 x2 + y2 +z2 = a2在 z >h (0 <h <a)部分，则 JJzdS= ( B ) £2 二 aHB 0 d<0ardr2 二a22 22A 0 dZ a -r rdr0 d”.a2 _h2ardr2-a2 .h20 d 0.a2 -r2rdr5、设 A=P(x,y)i'

3、+Q(x,y)j ,(x,y) WD，其中P, Q在区域D内具有连FQ2y续的一阶偏导数，又 L是D中任一曲线，则下列关于曲线积分的论断，其 中不正确的是( C )A 如果f A dl与路径无关，则在区域D内，必有LB 如果JAdl与路径无关，则在区域 D内，必存在单值函数 u(x, y),L使得 du(x, y) =P(x, y)dx Q(x, y)dydl与路径无关;Q FP 1C 如果在区域D内，=,则必有二 x二 yLD 如果对D中的每一条闭曲线 C,恒有A dl =0,则Ad与路径无关二、填空题(每小题 5分，共25分)22设C为依逆时针方向沿椭圆 二 +与=1 一周路径，则a bQ

4、(x - y)dx -(x 一y)dy = 一2二 ab2、设E为球心在原点，半径为 R的球面的外侧，在 . r3|xdydz + ydzdx + zdxdy= 4nR3、设 C 为圆周 x =acost, y =asint (0 <t <2n),则口(x2 y2)ds = 2 二 a34、 设C是由车B面z = Jx2+y2与半球面z= JR2 _x2 _y2围成的空间区域，工是C的整个边界的夕卜侧，贝U xdydz+ ydzdx+zdxdy=(2 -、,2)二 R3,，22、k,； 叫， -、5、 设有力场F =(x+y ) (yi -xj) (y >0),已知质点在此力

5、场内运动时，场力F所作的功与路径的选择无关，则k=二三、计算题1、(8分)计算_(x + y)ds,其中 L 是以 O(0,0), A(1,0),B(0,1)为顶点 的三角形的周界。解:L(x y)ds =oa(x y)dsOB(x y)dsAB(X y)ds111 0xdx0 ydy .0、. 2dx2、(8 分)计算 1fL(x2+y2)dx + (x2 y2)dy ,其中 L 为沿曲线 y = 1- 1-x从点 0(0, 0)到 B(2, 0)一段。解:0< x<11 ： x < 2OA2 2 2 2 2 2 2 2l (x y )dx (x _ y )dy = 0 (

6、x x x -x )dx2222241x (2 -x ) x -(2 -x) dx =33、(8分)计算I = xdy 7dx ,其中c是沿曲线x2=2(y + 2)从点 C x yA (-2 72,2)到点 B (2 & 2)的一段。解：利用格林公式，补充一段BA ,因为一.22二Q 二P y -x f 222Liz J _|N- .x cy (x y )(x, y) #(0,0),作包含(0, 0)的辅助闭曲线 Ci x = cosH, y = sin8 ,日：2冗10得%I C Ci 'BAxy-2dy - -2dx = Jj0dxdy = 0 ,所以x y x y dx

7、dy - ydxxdy - ydxBA二2五 - 2arctan、. 22二 2 .2 ,22 -2dx2c2x 2二0 (cos 日 +sin 6)d6 - j4、(10分)设曲线积分 Lxy2dx+y中(x)dy在全平面上与路径无关，其中邛(x)(3<x <g)具有一阶连续导数，且邛(0)=0 ,计算(1，12)(0 xy dx y (x)dy解：P =xy2,Q =y中(x),由条件知 二三丑，得2y y x()，当y#0；:x；:y时，中 (x) =2xW(x) =x2 +C；中(0) =0;9(x) =x2，取直线段OA : y = x (0 < x < 1)

8、,由 O (0, 0)到 A (1,1)(1,1)2.2.1(0,0) xy dx y (x)dy = OAxy dx y (x)dy =24x y z5、(8分)计算JJ(z+2x + y)dS,其中工为平面一+上+=1在第三32 3 4卦限中的部分44斛：工与成 z =4-2x y,Zx =_2,Zy = 333 22. 61Dxy :0 y 3 -x,0 <x 2 , dS = Ji +zx +zy dxdy = -dxdy4 一44613. 61(z 2x -y)dS = (4 -2x-y) (2x - y) - dxdy =-二3 D3382二Dxy6 (8分)设f(u)具有连续导函数，计算曲面积分I = "x3dydz + f () + y3dzdx+ f () +z3dxdy ,其中工为 牛z zy z222.222222一的锥面 x =y +z与球面 x +y +z =1,x +y +z =4所围成立体表面的外侧。31y31y3P =x3,Qf (上)y3,R