材料力学 第六章：弯曲变形

1、弯弯 曲曲 变变 形形第第 六六 章章目录第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁目录目录6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题7-1目录目录6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题目录6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-2 6-2 挠曲线的微

2、分方程挠曲线的微分方程1.1.基本概念基本概念挠曲线方程：挠曲线方程：)(xyy 由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠度转角关系为：dxdy tan挠曲线挠曲线yxxy挠度挠度转角转角挠度挠度y y：截面形心：截面形心在在y y方向的位移方向的位移y向上为正向上为正转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正逆时针为正7-2目录2.2.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：z zEIEIM M1 1忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响zEIxMx)

3、()(1 6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程目录由数学知识可知：由数学知识可知：3222)(1 1dxdydxyd 略去高阶小量，得略去高阶小量，得221dxyd 所以所以zEIxMdxyd)(22 2M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) b。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2）弯矩方程）弯矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,AC AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：6-3 6-3 用积分法

4、求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxydEI 1211112)(CxlFbxEIdxdyEI 1113116DxCxlFbEIy AC AC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI 2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdyEI 2223232)(662DxCaxFxlFbEIy CB CB 段：段：lxa26-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAB

5、yB4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数0)(,22 lylx0)0(, 011 yx代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx )()(,2121ayayaxx lFbFblCC661321 021 DD6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIy AC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFb

6、axFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIyCB CB 段：段：lxa26-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，0 dxd )(6,maxalEIlFablxB 令令 得，得，0 dxdy)(39)(,3322max22EIlblFbyblx 6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？6-3 6-3 用

7、积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形)(22xMEIydxydEI 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y y，则有：，则有： )(xMEIyii 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩为为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：i iy)(xMi由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMyEIyEIniinii 7-4目录

8、故故 )( 1 niiyy由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此,1niiniiyy1重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是和。这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形目录例例3 3 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面的挠度截面的挠度y yC C ；B B截面的截面的转角转角 B B1 1）将梁上的载

9、荷分解）将梁上的载荷分解321CCCCyyyy 321BBBByC1yC2yC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的挠度和截面的挠度和B B截截面的转角面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643解解6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形目录3 3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqli

10、BiB6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形目录yC1yC2yC3例例4 4 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成有表可查）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形的情形 为了利用梁全长承受均布载荷的为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集度相同、段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。方

11、向相反的均布载荷。 Cy解解6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形目录Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC ,248128234222lEIqlEIqllyyBBC EIqlC631EIqlC4832 EIqlyyiCiC384414213 3）将结果叠加）将结果叠加 EIqliCiC4873212 2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自的情形，计算各自C C截面的挠度和转角。截面的挠度和转角。 6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形目录讨讨 论论叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？6-4 6-4

12、 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁1.1.基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言, ,多余的约束多余的约束超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变比较变形，列变形协调条件形协调条件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用利用静力平衡条件求其他约束反力。静力平衡条件求其他约束反力。相当

13、系统：相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6目录解解例例6 6 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。1 1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除多余约束，建立相当系统）解除多余约束，建立相当系统0)()(ByFBFBByyy目录 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC3 3）进行变形比较，列出变形协调条件）进行变形比较，列出变形协调条件6-5 6-5 简单超静定

14、梁简单超静定梁4 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32EIaFyByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy475 5）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 )(43),(2FFFaMAyA目录 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAAA AM MA Ay yF F6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁例例7 梁梁A

15、B AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗弯刚度均为两端固定，梁的抗弯刚度均为EIEI，F F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m= 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。梁。变形协调方程为：变形协调方程为：21BByyBBFFFByB1 FByB2物理关系物理关系EIFEIqyBB3484341322423 4263BBFFyEIEI解解目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁FB FByB1yB2kN75. 848420461

16、04023342BF代入得补充方程：代入得补充方程：EIFEIFEIFEIqBB342436234843234确定确定A A 端约束力端约束力04, 0 qFFFBAykN25.7175. 82044 BAFqF0424, 0 BAAFqMM mkN12575. 842204424 BAFqM目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁FB F ByB1yB20, 0 FFFFCBy确定确定C C 端约束力端约束力 kN75.4875. 840 BCFFF042, 0 BCCFFMM kN.m11540275. 8424 FFMBC目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁A A、C C 端

17、约束力已求出端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图最后作梁的剪力图和弯矩图)( )( 25.7175. 875.48 kN SF)(kN25.71 AF)kN(75.48 CF)(mkN125 AM)m(kN115 CM)( 12511594. 15 .17)mkN( M)( 目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状目录6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施2 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式目录6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施2 2）改善结构形式，减少