（整理版）高二数学第三章第3节几何概型理知识精讲人教新课标A必修

1、高二数学 第三章第3节几何概型 理 知识精讲人教新课标a版必修3一、学习目标：1了解几何概型的概念及根本特点2熟练掌握几何概型中概率的计算公式3会进行简单的几何概率计算4能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想二、重点、难点：重点：掌握几何概型中概率的计算公式；并能进行简单的几何概率计算。难点：将实际问题转化为几何概型，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题。三、考点分析：本局部内容是新增的内容，对几何概型的要求仅限于体会几何概型的意义，所以在练习时，侧重于一些简单的试题即可。1区别古典概型与几何概型2理解随机模拟求几何概型的概率1、几何概型的概念： 对于一个随机试验，我们将每个根

2、本领件理解为从某个特定的可以几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的时机都一样；而一个随机事件的发生那么可以理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等用这种方法处理随机试验，称为几何概型。2、几何概型的根本特点：1试验中所有可能出现的结果根本领件有无限多个；2每个根本领件出现的可能性相等。3、几何概型的概率：一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域内为事件，那么事件发生的概率。说明：1的测度不为；2其中“测度的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“测度分别是长度，面积和体积。3区域为“开区域；4区域内

3、随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何局部的可能性大小只与该局部的测度成正比而与其形状位置无关。4、模拟计算几何概型的步骤：1构造图形作图；2模拟投点，计算落在阴影局部的点的频率；3利用算出相应的量。知识点一：几何概型的根本概念例1：判断以下试验中事件a发生的概率是古典概型，还是几何概型。1抛掷两颗骰子，求出现两个“4点的概率；2如以下图，图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向b区域时，甲获胜，否那么乙获胜，在两种情况下分别求甲获胜的概率。思路分析：1题意分析：此题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型那么是在试验中出现无限多

4、个结果，且与事件的区域长度有关。2解题思路：根据古典概型和几何概型的概念进行分析解决。解答过程：1抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×636种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；2游戏中指针指向b区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在b区域，概率可以用b区域的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型。解题后的思考：几何概型和古典概型是两类不同的概率模型，各有各的特点。想要区别两者，关键是要掌握它们的特征中的异同点。知识点二：几何概型的三种根本类型例2：在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求小于的概率。思路分析：1题意分析：此题考查了测度为长度的几何概型的概

5、率的计算问题。2解题思路：点随机地落在线段上，故线段为区域。当点位于以下图中线段内时，故线段即为区域。解答过程：解：在上截取。于是。答：小于的概率为。解题后的思考：在对几何问题中的概率求解时，我们首先要分析其是否为几何概型，然后看试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积，然后结合几何概型的概率公式进行运算。例3：取一个边长为的正方形及其内切圆如以下图，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。思路分析：1题意分析：此题考查的是测度为面积的几何概型的概率求解问题2解题思路：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任意一点的时机都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比

6、。解答过程：解：记“豆子落入圆内为事件，那么有。答：豆子落入圆内的概率为。解题后的思考：在对几何问题中的概率求解时，我们首先要分析其是否为几何概型，然后看试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积，然后结合几何概型的概率公式进行运算。例4：在高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出，含有带锈病的种子的概率是多少？思路分析：1题意分析：此题考查的是测度为体积的几何概型的概率求解问题。2解题思路：带锈病的种子在这种子中的分布可以看作是随机的，取得的种子可视作区域，所有种子可视为区域。解答过程：解：取出小麦种子，其中将“含带锈病的种子这一事件记为，那么。答：含有带锈病种子的概率为。解题后的思

7、考：在对几何问题中的概率求解时，我们首先要分析其是否为几何概型，然后看试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积，然后结合几何概型的概率公式进行运算。小结：遇到有关概率的试题，首先分析清楚试题是古典概型还是几何概型，然后把实际问题复原为几何问题，结合相应的概率公式进行求解运算。知识点三：将实际问题转化为几何概型的综合运用例5：如图，在线段上任取一点，试求：1为钝角三角形的概率；2为锐角三角形的概率。思路分析：1题意分析：此题考查了结合平面几何的知识进行几何概型的概率的求解运算。2解题思路：点c落在线段ab上任何一个位置是随机的，是等可能的。那么试验研究的区域就是线段ab，而“为钝角三角形时，点c

8、的区域是什么？这是我们分析问题的关键。先找临界值，为直角三角形时，点c的位置分别在d、e位置，然后分析在哪个区域内是钝角三角形即可。解答过程：解：如图，由平面几何知识：当时，；当时，。1当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形记“为钝角三角形为事件，那么即为钝角三角形的概率为。2当且仅当点在线段上时，为锐角三角形，记“为锐角三角形为事件，那么即为锐角三角形的概率为。解题后的思考：此题考查了在实际问题中，能合理运用几何知识，解决概率问题，同时也考查了我们分类讨论的思想，提高数学思维的严谨性。例6：有一个半径为的圆，现在将一枚半径为的硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内

9、的概率。思路分析：1题意分析：此题是以圆为背景，研究几何概型的概率的试题。2解题思路：首先分析试验的所有结果的区域是半径为5的圆的面积，要想使硬币“完全落入圆内那么硬币所在的区域是多少呢？由于硬币的半径为1，所以硬币的中心必须在与圆o同心且半径为4的圆内时才能说硬币完全落入圆内，结合几何概型概率公式求解。解答过程：解：由题意，如图，因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的，所以硬币的中心均匀地分布在半径为的圆内，且只有中心落入与圆同心且半径为的圆内时，硬币才完全落入圆内。记“硬币完全落入圆内为事件，那么答：硬币完全落入圆内的概率为。解题后的思考：此题涉及圆圆相内含时的两圆位置关系。例7：一海豚在水

10、池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率。思路分析：1题意分析：考查实际中几何概型的运用，如何把实际问题，转化为数学问题，是培养我们分析问题解决问题的能力。2解题思路：首先构造出随机事件对应的几何图形。然后分析事件所研究的图形与的整个图形的关系。解答过程：解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如以下图，区域是长30 m、宽20 m的长方形.图中阴影局部表示事件a：“海豚嘴尖离岸边不超过2m，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在以下图中阴影局部的概率。由于区域的面积为30×20600m2，阴

11、影a的面积为30×2026×16184m2pa。解题后的思考：利用几何图形来求随机事件的概率，是我们经常用到的方法。而将实际问题向几何图形的转化是难点。例8：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？用随机模拟方法解决思路分析：1题意分析：此题考查随机试验近似求概率的近似值。2解题思路：在任意位置剪断绳子，那么剪断位置到一端点的距离取遍0，3内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果根本领件对应0，3上的均匀随机数，其中取得的1，2内的随机数就表示剪断位置与端点距离在1，2内，也就是剪得两段的

12、长都不小于1m。这样取得的1，2内的随机数个数与0，3内个数之比就是事件a发生的概率。解题过程：解法1：1利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1rand。2经过伸缩变换，aa1×3。3统计出1，2内随机数的个数n1和0，3内随机数的个数n。4计算频率fna即为概率pa的近似值。解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度0，3这里3和0重合。转动圆盘记下指针指在1，2表示剪断绳子位置在1，2范围内范围内的次数n1及试验总次数n，那么fna即为概率pa的近似值。解题后的思考：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件a及根本领件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法2用

13、转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机器产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内屡次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。小结：1、几何概型是不同于古典概型的又一个最根本、最常见的概率模型，其概率计算原理通俗、简单，对应随机事件及试验结果的几何量可以是长度、面积或体积。2、如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置，将随机事件转化为几何问题，即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率。 高考对这局部内容的考查一般主要侧

14、重于简单的运算问题。理解几何概型，就是将随机事件转化为几何问题，结合长度比或者面积比，体积比进行求解即可。一般以小题的形式出现，分值在5分左右。一、预习新知“正确吗？二、预习点拨探究与反思【反思】？探究任务二：充分条件与必要条件【反思】1如何判定充分条件，必要条件，充要条件？2能否用集合的思想解决这类问题？答题时间：45分钟一、选择题1、点a为周长等于3的圆周上的一个定点，假设在该圆周上随机取一点b，那么劣弧的长度小于1的概率 a. 2/3 b. 1/3 c. 1/4 d. 不能确定2、在线段0，3上任取一点，那么此点坐标大于1的概率是 a. 1/3 b. 2/3 c. 1/2 d. 1/33

15、、某人睡午觉醒来，觉察表停了，他翻开收音机想听电台整点报时，那么他等待的时间小于10分钟的概率是 a. b. c. d. 4、在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油，假假设在海域中任意一点钻探，那么钻到油层面的概率是 a. b. c. d. 二、填空题5、在平面直角坐标系xoy中，设d是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，e是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向d中随机投一点，那么所投的点落在e中的概率是 。6、如下图，在直角坐标系xoy内，射线ot落在120°的终边上，任作一条射线oa，那么射线oa落在xot内的概率为 。7、如下图，在一个边长为5cm

16、的正方形内部画一个边长为3cm的小正方形，向大正方形内随机投点，那么所投的点落入小正方形内的概率为 。8、向面积为9的abc内任投一点p，那么pbc的面积小于3的概率是 。9、地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，那么乘客到达站台立即乘上车的概率是 。10、在区间1，1上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为_。三、解答题11、平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率是多少？一、选择题1、a 解析：设事件m为“劣弧的长度小于1”，那么满足事件m的点b可以在定点a的两侧与定点a构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得pm。2、b 由于点的坐标大于1，那么所在的位置为1到3之间的位置，故有答案b3、a 由于整点报时，故随机试验的区域长度为60分钟，而等待的时间不超过10分钟，由几何概型概率公式那么得到答案a4、c 结合，在哪一点钻都是等可能的，那么所研究的区域为1万平方米，而可以采到石油的区域仅仅是40平方米，由几何概型概率公式得到答案c二、填空题5、解：如图：区域d表示边长为4的正方形abcd的内部含边界，区域e表示圆及其内部，因此6、 本试题为几何概型。因为整个区域为一周3600，而落在xot内的区域度数为1200，故所求的概率为7、 由测度为正方形面积，那我们根据小正方的面积除以大正方形的面积