（整理版）高二数学圆锥曲线章节复习人教（文）

1、高二数学高二数学圆锥曲线章节复习圆锥曲线章节复习人教版人教版文文【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容：圆锥曲线章节复习二. 重点、难点：1. 重点： 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质2. 难点：直线和圆锥曲线的位置关系、最值问题、几何性质的应用三. 知识结构：【典型例题典型例题】例 1 ), 0，试讨论当的值变化时，方程1cossin22yx表示曲线的形状。解：解：1当0时，方程为12y，即1y，表示两条平行于x轴的直线。2当)4, 0(时，0sincos，方程可化为1cos1sin122yx，表示焦点在x轴上的椭圆。3当4时，方程为222 yx，表示圆心在原点，半径为42

2、的圆。4当)2,4(时，0cossin，方程1cossin22yx表示焦点在y轴上的椭圆。5当2时，方程化为12x，表示两条平行于y轴的直线。6当),2(时，0sin，0cos，方程1cossin22yx表示焦点在x轴上的双曲线。例 2 双曲线的中心在原点，焦点1f、2f在坐标轴上，一条渐近线方程为xy ，且过点4，10 。1求双曲线方程；2假设点 m3，m在此双曲线上，求1mf2mf；3求21mff的面积。解：解：1由题意知，双曲线的方程是标准方程 双曲线的一条渐近线方程为xy 设双曲线方程为22yx把点4，10代入双曲线方程得22)10(4，6 所求双曲线方程为622 yx2由1知双曲线方

3、程为622 yx 双曲线的焦点为)0 , 32(1f、)0 , 32(2f m 点在双曲线上 6322 m，32m 22221)32() 3(), 332(), 332(mmmmfmf 0333 021mfmf 21mfmf 21mff为直角三角形 31224)()332(221mmf31224)()332(222mmf 6312243122421212121mfmfsmff例 3 抛物线)0(42aaxy的焦点为 a，以 b0 , 4a为圆心，ab长为半径，在x轴上方的半圆交抛物线于不同的两点 m、n，p 是 mn 的中点。1求anam 的值；2是否存在这样的a值，使am、ap、an成等差数

4、列？解：解：如下列图，a0 , a 4ab 圆的方程为16)4(22yax与axy42联立得08)4(222aaxax 0)8(4)4(422aaa 解得10 a)4(221axx aaxx8221设),(),(2211yxnyxm 那么axam1，axan2 8282221aaaxxanam2设 p00, yx ，那么2102xxx，2102yyy )(22210axaxy aaxaxy210aaaaxxxx8228222121 )8228,4(2aaaaap假设am、anap、成等差数列，那么4ap 16)8228()24(22aaaaa解得1a，这与10 a矛盾故不存在a，使anapam

5、、成等差数列例 4 双曲线1222yx与点 p1，2 ，过 p 点作直线l与双曲线交于 a、b 两点，假设p 为 ab 的中点。1求直线 ab 的方程；2假设 q1，1 ，证明：不存在以 q 为中点的弦。方法一：方法一：1解：解：设过 p1，2点的直线为) 1(2xky，代入双曲线方程得0)64()42()2(2222kkxkkxk由线段 ab 中点为 p1，2 22422221kkkxx解得1k，又1k时，使016 从而直线 ab 方程为01 yx2证明：证明：按同样方法求得2k，而2k使0，所以直线 cd 不存在方法二：方法二：设 a11, yx 、b22, yx ，122121yx ，1

6、22222yx 得：0)(21)(21212121yyyyxxxx 21212121)(2yyxxxxyy1422写出直线方程12xy，即1 xy，检验与双曲线有交点例 5 双曲线12222byax0a，0b的左、右两个焦点分别为 f1、f2，p 是它左支上一点，p 到左准线的距离为d，双曲线的一条渐近线为xy3，问是否存在点 p，使d、1pf、2pf成等比数列？假设存在，求出 p 的坐标；假设不存在，请说明理由。解：解：假设存在点 p00, yx满足题中条件 双曲线的一条渐近线为xy3 3ab，ab3 223ab ，23222acaac， 即2e由2112dpfpfpf，得122pfpf 双

7、曲线的两准线方程为cax2 axcaxpf0201222axcaxpf0202222 点 p 在双曲线的左支上 0201),(exapfexapf代入得)(200exaexa ax230，代入1220220byax，得ay2150 存在点 p 使21pfpfd、成等比数列，点 p 的坐标是aa21523，例 6 如图，直线1l和2l相交于点 m，21ll ，点 n1l，以 a、b 为端点的曲线段 c 上的任一点到2l的距离与到点 n 的距离相等。假设amn为锐角三角形，17am，an=3，且6bn，建立适当的坐标系，求曲线段 c 的方程。解：方法一：解：方法一：以1l为x轴，mn 的中点 o

8、为原点建立如图的直角坐标系。由题意可知，曲线段 c 所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点 n 是该抛物线的焦点，2l是准线。所以可令抛物线的方程为)0(22ppxy，过点 a 作2laq ，1lae ，垂足分别为 q 和 e，由于amn是锐角三角形，那么点 e 必在线段 mn 上。所以，3 anaq 17am 2222aqamqm22 qmae 122aeanen 4enaqenmemnp 抛物线方程为xy82由上述可知，1oe，点 b 到准线2l的距离为 6，那么点 b 的横坐标为 4，又曲线段在x轴上方，故曲线段 c 的方程为)0, 41 (82yxxy方法二：方法二：以1l为

9、x轴，2l为y轴建立如下列图的直角坐标系，其中 m 点为原点，这时焦点 n 在x轴上，顶点o应是线段 mn 的中点。令曲线段 c 所在的抛物线方程为：)0)(22pxxpyo 设),22(),22(222121yppybyppya那么：)3(36)22()2(9)22() 1 (17)22(222222122121221yppyyppyyppy由12得821y 代入1得9)24(2pp pp682 3p 4p 01y 221y代入3得242y 曲线段 c 的方程为)2422)(2(82yxy例 7 设21ff、分别为椭圆 c：12222byax0 ba的左、右两个焦点。1假设椭圆 c 上的点

10、a1，23到21ff、两点的距离之和等于 4，写出椭圆 c 的方程和焦点坐标；2设点 k 是1中所得椭圆上的动点。求线段 f1k 的中点的轨迹方程；3椭圆具有性质：假设 m、n 是椭圆 c 上关于原点对称的两个点，点 p 是椭圆上任意一点，当直线 pm、pn 的斜率都存在，并记为pnpmkk、时，那么pmk与pnk之积是与点p 位置无关的定值。试对双曲线12222byax写出具有类似特性的性质，并加以证明。解：解：1椭圆 c 的焦点在x轴上 椭圆上的点 a 到21ff、两点的距离和是 4，得42 a，即2a又 点 a231，在椭圆上 1)23(21222b，得32b 1222bac 椭圆 c

11、的方程为13422yx，焦点为)0 , 1(1f、)0 , 1 (2f2设椭圆 c 上的动点为 k11, yx ，线段 f1k 的中点 qyx,满足：2,2111yyxx yyxx2, 1211因此13)2(4) 12(22yx 即134)21(22yx为所求的轨迹方程3类似的性质为：假设 m、n 是双曲线12222byax上关于原点对称的两个点，点p 是双曲线上任意一点，当直线 pm、pn 的斜率都存在，并记为pmk、pnk时，那么pmk与pnk之积是与点 p 位置无关的定值。证明如下：设点 m 的坐标为nm, ，那么点 n 的坐标为nm , ，其中12222bnam。又设点 p 的坐标为y

12、x, ，由mxnykpm，pnk=mxny，得2222mxnymxnymxnykkpnpm将22222bxaby，22222bmabn，代入得22abkkpnpm例 8 直线l：1 kxy与双曲线 c：1222 yx的右支交于不同的两点 a、b。1求实数k的取值范围；2是否存在实数k，使得以线段 ab 为直径的圆经过双曲线 c 的右焦点 f？假设存在，求出k的值；假设不存在，说明理由。解：解：1将直线l的方程1 kxy代入双曲线 c 的方程1222 yx后，整理，得022)2(22kxxk，依题意，直线l与双曲线 c 的右支交于不同两点，故0220220)2(8)2(0222222kkkkkk

13、解得k的取值范围为22k2设 a、b 两点的坐标分别为）（）、（2211,yxyx，那么由式得2222221221kxxkkxx，假设存在实数k，使得以线段 ab 为直径的圆经过双曲线 c 的右焦点 f0 , c ，那么由 fafb 得0)(2121yycxcx即0) 1)(1()()(2121kxkxcxcx整理得01)() 1(221212cxxckxxk 把式及26c代入式化简得066252kk解得566k或)2, 2(566k舍去可得566k使得以线段 ab 为直径的圆经过双曲线 c 的右焦点。【模拟试题模拟试题】 答题时间：60 分钟一. 选择题1. 椭圆1)6(4)3(22myx的

14、一条准线为7x，那么椭圆的离心率e等于 a. 21 b. 22 c. 23 d. 412. 双曲线1422kyx的离心率)2 , 1 (e，那么k的取值范围是 a. )0 ,( b. )0 ,12( c. )0 , 3( d. )12,60(3. 假设椭圆122nymx)0( mm和双曲线122byax)0( ba有相同的左、右焦点1f、2f，p 是两条曲线的一个交点，那么|21pfpf的值是 a. am b. )(21am c. 22am d. am 4. 双曲线12222byax的焦点为1f、2f，弦 ab 过1f且两端点在双曲线的一支上，假设|2|22abbfaf，那么| ab a. 为

15、定值a2 b. 为定值a3 c. 为定值a4 d. 不为定值5. 设 p 是椭圆14922yx上一点，1f、2f是椭圆的两个焦点，那么21cospff的最小值是 a. 91 b. 1 c. 91 d. 216. 假设点 p 在抛物线xy 2上，点 q 在圆1)3(22yx上，那么| pq的最小值为 a. 13 b. 1210 c. 2 d. 12117. 抛物线xy162上到顶点与焦点距离相等的点的坐标为 a. )2,24( b. )2 ,24( c. )24, 2( d. )24 , 2(8. 将离心率为43的椭圆12222byax)0( ba，绕着它的左焦点按顺时针方向旋转2后，所得新椭圆

16、的一条准线方程为314y，那么新椭圆的另一条准线方程为 a. 314y b. 323y c. 332y d. 350y二. 填空题1. 1f、2f是双曲线12222byax)0, 0(ba的两个焦点，pq 是经过1f且垂直于x轴的双曲线的弦，如果902qpf，那么双曲线的离心率是 。2. 点) 1 , 0(a是椭圆4422yx上的一点，p 是椭圆上的动点，当弦 ap 的长度最大时，那么点 p 的坐标是 。3. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线xy722上，这个正三角形的边长是 。4. 抛物线xy42的弦 ab 垂直于x轴，假设34|ab，那么焦点到 ab 的距离为 。三.

17、解答题1. 中心在原点，一焦点为)50, 0(f的椭圆被直线23: xyl截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。2. 设 ab 是抛物线2xy 上的动弦，且aab |1a为常数 ，求弦 ab 中点 m 到x轴的最近距离，并研究10 a的情况。3. 求抛物线xy642上的点到直线04634 yx的距离的最小值，并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标。【试题答案试题答案】一.1. a 2. b 3. a 4. c 5. a 6. d 7. c 8. d二. 1. 21 2. )31,234( 3. 3144 4. 2三. 1. 解： 椭圆的中心在原点，焦点在y轴上 椭圆的方程为标准方程 50c

18、 5022 ba 椭圆的方程可写成1502222bxby把直线23 xy代入椭圆的方程并整理得xbxb22212)5(1004624bb )5(10122221bbxx 弦的中点的横坐标为21 1)5(101222bb，252b 752a 所求椭圆的方程为1257522xy2. 1解法一：设直线 ab 的方程为bkxy，a、b 两点的坐标分别为),(11yxa，,(2xb)2y 由2xybkxy 得02bkxx kxx21 bxx21 abkkxxkab41|1|22212，化简得)1 (42422kkkab点 m 到x轴的距离为221yyyd22)(21bxxk222kb)1 (42422kkka 1) 1(141222kka 1)1 (1241222kka) 12(41a当且仅当22211kka，即1ak) 1(a时“=成立解法二：设 a、m、b