求极限的方法及例题总结

1、1定义:说明：（1） 一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如:lim(3x 1)5（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而 不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。+ 7T例齐已（血力匕閒川 稠載的跋車极限血 sn(+ J)-sin-十xr 22 极限运算法则定理1已知1im f（x）, limg（x）都存在，极限值分别为A, B,则下面极限都存在，且有（1）lim f（x） g（x） A B（2）lim f （x） g（x） A Blim丄凶-,（此时需B 0成立）（3）g（x

2、）B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要 使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。y/x2x + sin x31imx + sm xx + si n z= ltm-3 lim= 1*3"*2*18.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限lim 3x 12例 1 x 1 x 13x 33limx 1 (x 1)( 3x 12)4.W3x 1)222lim解：原式=x 1(x 1)G3x 12)注：本题也可以用洛比

3、达法则。n1上下同除以3nm：=n1)nlim解:原式3.两个重要极限(1)lim S!nx 0(2)丄lxm0(1x)；lim(1 2)x ex说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身,1 sin 3x ,丁lim 1 lim （1 2x） 2x例如：x 0 3x ，x 0利用两个重要极限求极限1 cos xlim2例 5 x 0 3x2si n2xlimx 012解：原式=注：本题也可以用洛比达法则2lim （1 3sinx）' 例6 x 02 si n2彳 _2 (f)21解：原式=x叫（1 3sinx）6 sin x3 sin xx还应能够熟练运用它们的变形形式,lim (1xx

4、x)lim0(1x 03sin x) 3sinxe； 等等。6 sin xxn 2)n1)limnn)31 3n n 1lim(1nn 1尸3nlim ( 例7 n n原式=。解：4.等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0）。定理3当x 0时，下列函数都是无穷小（即极限是 0）,且相互等价，即有:x sin x tan x arcs in x arctanx ln(1 x)ex 1说明：当上面每个函数中的自变量 x换成g（x）时（g（x）0）,仍有上面的等价3xc I "22关系成立，例如：当x0时，e 13x ； n（ x ） X 0定理4如果函数f（X）

5、, g（x）, f1（x）, g1（x）都是xXo时的无穷小，且f(x)f1(x)g（x）g1（x），则当limx x0f1(x)g1(x)存在时,limf (x)x X0 g （x）也存在且等于lim 竺1|im 竺 lim 止f(x) x x g1(x)，即 X g(x) =x X。g1(x)利用等价无穷小代换(定理4)求极限limxln(1 3：)x 0 arctan(x )2解:lim原式=x 0x 3xxlim 例 10 x 0 x sin xsin x esin x # x sin x.e (e 1)lim 解：原式=x 0 x sinxlimx 0sin x 才e (x si n

6、x) 1 x sin x。注：下面的解法是错误的：l|m (ex 1) (esinx 1) 原式=x 0 x sinx正如下面例题解法错误一样：sin x 1sin xtanx sinx lim0x x3x例11xm02 1tan(x sin )xsin x解:0时，x2 sin丄是无穷小,xtan(x2 sin )与x2 sin 丄 等价xx所以,2 . 1x sinlimx原式=x 0 xlimx 01xsin 0x 。(最后一步用到定理2)x0时，ln(13x)3x arctan(x )x2五、利用无穷小的性质求极限 有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替

7、 换求极限常常行之有效。例1.1 xsi nx 1、 lXm0(2)ex212.sinsin(x limx 0 In x1)5 洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数f(x)和g(x)满足：(1)f (x)和g(x)的极限都是o或都是无穷大；(2) f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为o；.f (x)lim(3) g (x)存在(或是无穷大)；f (x)f (x)f(x) f (x)limlimlimlim则极限g(x)也一定存在，且等于 g (x)，即 g(x) = g(x)。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要 有一条不

8、满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验0 _证所求极限是否为“ 0 ”型或“”型；条件(2)一般都满足，而条件(3) 则在求导完毕后可以知道是否满足。另外， 洛比达法则可以连续使用，但每次使 用之前都需要注意条件。利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时， 也可能用到前面的重要极限、等价无穷 小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。1 cosx lim2例 12 x 0 3x (例 4)lim解：原式=x 0 6x16。(最后一步用到了重要极限)例13x cos一2x 1sinlim 2 解：原式=x 112x sin xlim3例 14 x 0 x

9、1 cosx sinx 1lim2 lim解：原式=x 0 3x =x 0 6x 6。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）sinx xcosxlim2例 15 x 0 x sin xnxsin x xcosxcosx limx 0(cosx3x2xsin x)xsin x lim 厂 x 0 3x例18lim 丄x 0 xln(1 x)原式=x解：错误解法： 正确解法：原式lim也虫xx 0 xln（1丄1lim x 0 2xlim 1xx)limx 0limx 0ln(1xx2x(1 x)x)x应该注意,lim 例19 x洛比达法则并不是总可以用，如下例。x 2sin x3x cosx0li

10、m该极限是“ 0 ”型，但用洛比达法则后得到：x 3 sinx，此极解：易见：限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下： 2sinx1 -x3 cosxx （分子、分母同时除以x）原式=limx1=3 （利用定理1和定理2）6 连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果X。是函数f（x）的lim f （x） f （Xo）定义去间内的一点，则有x Xo。利用函数的连续性（定理6）求极限1lim x2eX例4 x 21解：因为X。2是函数f（X）2 xx e的一个连续点,1所以原式=22/e7 极限存在准则定理7 （准则1）单调有界数列必有极限四、利用单调有界准则求极限首先常

11、用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例.设 a 0 X1 Ja,X2<a JaJa为，,Xn 1<a Xn (n 1,2,)求极限nim xn定理8 （准则2）已知Xn，yn，Zn为三个数列，且满足:ynXnZn,(n 1,2,3,)(2)lim yn a lim znann则极限lim xnlim xn an一定存在，且极限值也是a ,即"。10.夹逼定理瓚2宦理）代舉款列（）.匕滴星T卿罢怖'Cl) yt屮7 厂宇骂3【翻吏潘定理呦探酗FbtXWd荷罡T甲怦除（l）O<|x-x, |<<5时有limlim A（j） =

12、 么】i mJ存在且存于山网 3求 lim - ?J- 4-T7FIJTIJTJin tin sui K.因为一 <<砂廟丄卄丄Jt»竺】£ ifr s,ny i诉二 1 =rE y sin 5 j s in AO It ni / sm Ifl+lfe 财 w4l務台 界 f科台 z 4n干是由夭4罡瓊可知奥式爭于兰打 |!JT利用极限存在准则求极限例20已知Xl72,Xni J2 Xn , (n 1,2,)求 nim XnxXlim Xn解：易证：数列Xn单调递增，且有界（0< n<2）,由准则1极限n 存在,lim xn a设n。对已知的递推公式

13、a 2 a，解得：a 2或aXn 12 Xn两边求极限，得:1 （不合题意，舍去）lim Xn2所以n. nlim n因为n2 nlimnn211lim (-n111 )例21n21；n22、n2 nn11 1n解：易见：< n2 n n21”n22”n2 n.n21-)nlim所以由准则n2得：9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算, 收到奇效。(sin x-sin sin rj sin x,tsinx-sinsin i)sinx T (flnx-sinsiiix)j lim 1二 lim;(sinx-fiinaiix

14、)xc&sal-cossin R11.泰勒展开法颔4血磁£&在含有仓鬧棊牛区內具有逮宣穴1阶号扱则対任一 ze 瓦/二NAVg）A珀+守（“时仃,学怙巧）3&E耳申&“r竺珂）m气这里彳是介于心环當之间的驀个值.“（»+1）|例心 Sffif&lims-?ln（l + -）*-FJTH：由泰勧公式履JF有：iulj-kl + l）3,5 X 2K= l_L+ij,手是療it=limi-z1（-厶 + °'卜x 2/ x 2x i-liu 片 ao）=y12.利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式

15、的极限问题可以转化为求定积分的问题例乩求凹临珥T7701+玄沪 解；令耳二班恃丁 +产吕_ K 111,二（ T +刁 + . - +） 2科 i+（l）31 + H31+（-）3于是有iim zM斗=arctan 干 I°】" '08.利用复合函数求极限XL瘪 麵覽合西数,/TKm)'-若hm帆用面帝t曹3衣saififi*弔roj hw _h 飘创=y Jim 就hi = /ia 2* 玉1*钢玄求摄礙litn l0+Qd z rV- 'T' - *'ZIb(1+ rp » ：#：由y = l&ift a =：

16、(L +1)* 3EfiF.0cB5 flF-x1lAa + x丄hmQ*z)* h* 汪 xi-e <51 y - In u ftfhm 1仇(1十工厂r=* frO耳齐“1=n Lml I'JtV J = ln = 1 -十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数unlim u 0收敛，贝U n n，故对某些极限lim f(n)n?f （n）可将函数f（n）作为级数n 1的一般项，只须证明此技术收敛，便有 nim f (n)limnn!nn十一、利用幕级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级 数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幕级数，有时为 Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。求 nim(1327等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于 1）（对付的还是数列极限）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）可以使用待定系数法来拆分化简函数9 求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系， 已知 Xn 的极限存 在的情况下， xn 的极限与 xn+1