（整理版）高中数学探究性试题汇编（三）

1、高中数学探究性试题汇编三探究性试题有助于数学思维的提高。21假设函数对定义域中任一均满足，那么函数的图像关于点对称。1函数的图像关于点对称，求实数的值；2函数在上的图像关于点对称，且当 时，求函数在上的解析式；3在1、2的条件下，假设对实数及，恒有，求实数的取值范围。解：1由题设可得，解得；2当时，；3由1得， 其最小值为， ，当，即时，得， 当，即时，得，由、得。22. 函数，当点在的图像上移动时，点在函数的图像上移动1 假设点p坐标为，点q也在的图像上，求的值；2 求函数的解析式；3 当时，试探求一个函数使得在限定定义域为时有最小值而没有最大值解：1当点坐标为，点的坐标为，2分点也在的图像

2、上，即5分根据函数的单调性求得，请相应给分2设在的图像上那么，即 8分而在的图像上，代入得，为所求11分3；或 等 15分如：当时，在单调递减， 故 ，即有最小值，但没有最大值18分其他答案请相应给分参考思路在探求时，要考虑以下因素：在上必须有意义否那么不能参加与的和运算；由于和都是以为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；为方便起见，可以考虑通过乘积消去；乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧否那么真数会有最小值，对数就有最大值了，考虑到该二次函数的图

3、像与轴已有了一个公共点，故对称轴又应该是轴或在轴的右侧否那么该二次函数的值在上的值不能恒为正数，即假设抛物线与轴的另一个公共点是，那么，且抛物线开口向下23函数是定义在上的奇函数，当时，为常数。 1求函数的解析式； 2当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜测在上的单调递增区间不必证明； 3当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。 解：1时， 那么 函数是定义在上的奇函数，即 ，即 ，又可知 函数的解析式为 ， 2， ，即 时， 。 猜测在上的单调递增区间为。 3时，任取， 在上单调递增，即，即 ， 当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。24 对数列，规定为数列的一阶差分数列，

4、其中。 对自然数，规定为的阶差分数列，其中。 1数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？ 2假设数列首项，且满足，求数列的通项公式。 3对2中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？假设存在，求数列的通项公式；假设不存在，那么请说明理由。 解：1，是首项为4，公差为2的等差数列。 是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。 2，即，即， ，猜测： 证明：当时，； 假设时， 时， 结论也成立 由、可知， 3，即 存在等差数列，使得对一切自然都成立。abmfoyx25如图，过椭圆的左焦点f任作一条与两坐标轴都不垂直的弦ab，假设点m在x轴上，且使得mf为

5、amb的一条内角平分线，那么称点m为该椭圆的“左特征点(1)求椭圆的“左特征点m的坐标； (2)试根据(1)中的结论猜测：椭圆 的“左特征点m是一个怎样的点？并证明你的结论解：设m(m，0)为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，设直线ab的方程为将它代入得：，即设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么，amb被x轴平分， 即，Þ Þ ，于是，即m(，0)(2)解：对于椭圆，b = 1，c = 2，于是猜测：椭圆的“左特征点是椭圆的左准线与x轴的交点证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于m点，过a、b分别作l的垂线，垂足分别为c、d据椭圆第二定义：，即，于是，即，又均为锐角，mf为

6、amb的平分线，故m为椭圆的“左特征点26数列an中，a7=,当n2时，an=.(1) 求a8,a9,a10的值；(2) 是否存在自然数m,当n>m时，an<2;当nm时，an>2?假设存在，求出m的值；假设不存在，说明理由。(3) 当n10时，证明an.解1a8=, a9=, a10=.(2)an-2=,当an-22时，an2, 又a9=-82,故当n8时an2。由an=得an-1=, an-1-2=.当an2时，an-12。又a8=122，当n8时，an2。综上所述，满足条件的m存在，且m=8.(3)an-1+an+1-2an = ( -an)+()=.a10=-3，2。

7、下面证明，当n10时，-3an2，其中当n10时，an2已证，只需证当n10时， an-3。an+3=+3= 当an-1-3，2时，0，即an-3.当n10时，-3an2。因此，当n10时，an-1+an+1-2an 0，即an.27设数列an的首项为1，前n项和为sn，且对任意大于或等于2的自然数n，等式3tsn(2t+3)sn-1=3t成立。(1假设t为正常数，证明数列an成等比数列，并求数列的公比q及前n项和；2对1中求得的q，假设t为变量，令f(t)=q,设函数g(t)=3t3f(t),且设tr，求g(t)的单调区间和极值；3研究g(t)k=0的解的个数.解：(1)由题可知，当n2时，

8、3ts2-(2t+3)s1=3ta2= ,又a1=1,所以 = ,当n2时。由3tsn-(2t+3)sn-1=3t与3tsn-1-(2t+3)sn-2=3t两式相减可得3tan-(2t+3)an-1=0=,由上可知，对于自然数n都有 =式子成立，故an成等比数列，且公比q = 假设t=3时，q=1,此时sn=n假设t>0,t3时，那么sn=.(2)由题可知：q=f(t)=,g(t)=3t3g(t)=2t3+3t2,g'(t)=6t2+6t=6t(t+1)；所以t-，111,000，g(t)+-+g(t)增1减0增当t=-1时，g(t)有极大值1当t=0时，g(t)有极小值0(3)

9、画出y=g(t)及y=k的图象可得：当k>1或k<0时，有一解 当k=1或k=0时，有二解 当0<k<1时，有三解.28、各项均为正数的数列的前项和为,且1求数列的通项；2是否存在正整数，使不等式对所有正整数均成立，并证明你的结论。解：12 22分4分又 6分8分下面用数学归纳证明不等式 该不等式显然成立当n=k+1时不等式也成立综上1、2对任意29平面上一定点c4，0和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为q，且 1问点p在什么曲线上？并求出该曲线的方程； 2设直线与1中的曲线交于不同的两点a、b，是否存在实数k，使 得以线段ab为直径的圆经过点d0，2？假设存在，求出k的值，假设不存在， 说明理由.解：1设p的坐标为，由得2分 化简得 p点在双曲线上，其方程为2设a、b点的坐标分别为、，由 得，ab与双曲线交于两点，>0，即解得9分假设以ab为直径的圆过d0，2，那么adbd，即，解得，故存在k值，所求k值为.