计算方法公式总结

1、计算方法公式总结绪论绝对误差e x x, x为准确值，x为近似值。绝对误差限|e| | xxl , e为正数，称为绝对误差限r x x e 相对误差e-L通常用ex x表示相对误差相对误差限|er|或|e| r有效数字元函数y=f (x)'绝对误差e(y) f (x)e(x)相对误差e(y)即二元函数 y=f (xi,x 2)f (x) e(x)yxf (x)f(x)er(x)f (xi,x2),f (xi,x2).绝对误差e(y)dxidx2x1x2f (xi，x2) xif(xi，x2) x2 / 、相对误差 er(y) ier(xi) -e(x2)xiyx2y机器数系注：i. p

2、 >2,且通常取2、4、6、82 . n为计算机字长3 .指数p称为阶码(指数)，有固定上下限L、U4 .尾数部sO.aazL an ,定位部5,机器数个数1 2(1) n 1(U L 1)机器数误差限,心 1n p,舍入绝对|xfl(x)| - 截断绝对|x fl(x)|舍入相对|x fl(x)|x|截断相对|x fl(x)|x|秦九韶算法方程求根f (x) (x x)mg(x), g(x) 0, x* 为 f(x)=0 的 m 重根。二分法迭代法f (x)0xk 1(xk) k=0、1、2*xk为迭代序列，(x)为迭代函数，lim xkx (x )k局部收敛注：如果知道近似值，可以用

3、近似值代替根应用定理3判断是否局部收敛牛顿迭代法_ _ f (x)f (xk) f (xk)(x xk) 0xk1 xk 4* 0,1,2,L ) f (xk)注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下四个条件注：证明牛顿迭代法大范围收敛性，要构造一个区间e ,M( £ ),其中M( )f；,在这个区间内验证这四个条件。如果知道根的位置，构造e, M(e )时应该包括根，即e +常数线性方程组求解有两种方法：消去法 和迭代法 高斯消去法利用线性代数中初等行变换将 增广矩阵转化为等价上三角矩阵。注意：第一行第一

4、列为0,将第一列不为0的某一行与第一行交换位置，继续初等行变换。a12Laii对角占优矩阵a1na2nMani an2 LannnI aii Ilaij l(ij 11,2，L，n)则称A为三严格对角占优矩阵nlajj 1 i1laij l(j 1,2,L,n)则称A?虺严格对角占优矩阵a。ajj (i1, j n) xRn,x 0,(x, Ax) 0则称A是对称正定的。当A是上面三种情况时，用高斯消去法消元时 akk 0 ,不用换行。追赶法是高斯消元法的一种特例列主元高斯消元法I (k)(k)当1 ask I max I aik I ,即第k次消元把kn行第k列绝对值最大的行(s行)调到第k

5、行，再进行高斯消元。迭代序列构造Ax b x Bx f x(k 1) Bx(k) f第三个等式为迭代序列，B为迭代矩阵。迭代收敛判别1 .充分条件：迭代矩阵范数小于1, PBP 1结论：Ax=b有唯一解x2 .充要条件：迭代矩阵谱半径小干 1, (B) 1Jacobi迭代法A L D U其中L (low)为下三角，U为上三角，D为对角线元素迭代格式：x(k 1) D 1(L U)x(k) D 1b1迭代矩阵JD (L U)收敛性判据：| I J | 0 |D 1 |?|l_DU|0|L D U | 0求出 最大值小于1 (J的谱半径小于1)即迭代格式收敛.Gauss-Seidel 迭代法迭代格

6、式x(k1) D 1( Lx(k1) Ux(k) b)x(k 1)(D L)1Ux(k) (D L) 1b1 ,迭代矩阵：G (D L)1U1.常数矩阵：g (D L) b收敛性判据：| I G | 0 |(D L) 1 |?| (D L) U | 0 | (D L) U | 0求出 最大值小于1 (G的谱半径小于1)即迭代格式收敛.结论：当A是严格对角占优的,则Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收敛 的插值法用插值多项式p (x)代替被插函数f(x)插值多项式：P(x) a。 ax Ln anxn+1个点 P(K) yi(i 0: n)插值区间：a,b,插值点满足axox1 L

7、xn求插值多项式P (x),即求多项式系数的过程为插值法带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为0,有唯一解。即n+1插值条件对应的不超过n次的插值函数P (x)只有一个。P(x) Uy0x°xiXix0y0i0(x)yiii(x)lk(x)n(xi 0i kXi)n (xxi)ni0(Xk K)i k0 (xk xi)Lagrange插值多项式Ln(x)y*(x)k 0k 00xk为 一)ykK插值余项非插值节点上Lagrange插值多项式为被插函数f(x)的近似值Rn(x)f(x) Ln(x)f(n1)(n 1)!xi)(a,b)带导数插值条件的余项估计注：推导过程用罗尔

8、中值定理构造辅助函数(t) R(t) K(x)Wni(t)第二条性质用于可以证明阶数不大于 n的f(x)的插值余项为0.差商和Newton插值法记忆方法：先记分母，最后一个减去第一个，对应的分子第一项是最后一个临 近k元素的差商，第二项是第一个临近 k个元素的差商。牛顿插值多项式通常记作N (x) 分段样条插值分段二次样条插值讨论n为奇偶情况时的三个点余项估计式三次样条插值函数第一类边界条件(端点一阶导数已知)D0等于第一个式子，dn等于第二个式子自然边界条件(端点二阶导数已知 二阶导数和M0 Mn=0曲线拟合最小二乘原理函数关于n个点线性无关注：线性无关的函数为1,x, x'23 .

9、 n,x ,L ,x才是最小二乘多项式注：记住公式即可。数值积分和数值微分Xk 为求积节点， Ak 为求积系数。插值求积公式梯形公式Simpson 公式Cotes公式截断误差代数精度 当f(x)为不超过 m次多项式时上式成立，f (x)为m+1多项式时上式不成立。则称为求积 公式有m次代数精度。梯形公式代数精度为1, Simpson公式代数精度为 3, Cotes公式代数精度为 5截断误差梯形公式Simpson 公式Cotes公式Gauss求积公式求积公式代数精度为 2n+1-1,1上的两点Gauss公式（3次代数精度）11f (x)dx f (-1,1上的三点Gauss公式（5次代数精度）11f(x)dx 9 f“5)9 f 5W5)记住xktk, a A的关系，tk Ak查表即可复化梯形公式 2 阶，复化 Simpson公式 4 阶，复化 Cote 公式 6 阶计算机通过不断把区间二分，所得前后两次积分差值满足精度条件即可1 一“、一给定精度1112nIn1时1 r|I(f) 12n(f)| 好 112n(f) In(f)|因而可以取12n ( f )为 ( f )的近似值。梯形Simpson数值微分数值微分截断误