随机变量及其分布学习教案

1、会计学1随机变量随机变量(su j bin lin)及其分布及其分布第一页，共67页。2 从概率的定义我们知道，概率是自变量为集合从概率的定义我们知道，概率是自变量为集合的特殊函数；为了能用变量、函数及微积分等工具的特殊函数；为了能用变量、函数及微积分等工具来研究事件来研究事件(shjin)发生的概率，需要引入概率论中发生的概率，需要引入概率论中的重要概念的重要概念随机变量。随机变量。 2.1 随机变量随机变量(su j bin lin)第1页/共67页第二页，共67页。3定义：设定义：设E是一个随机是一个随机(su j)试验，试验，是其样本空间，是其样本空间，如果对每一个如果对每一个 ，有唯

2、一的实数，有唯一的实数X()与与之对应，则称之对应，则称X是是E的一个随机的一个随机(su j)变量。变量。3引进随机变量引进随机变量(su j bin lin)后，随机事件可后，随机事件可以用随机变量以用随机变量(su j bin lin)在实数轴上某一在实数轴上某一个集合中的取值来表示。个集合中的取值来表示。所以，研究随机事件的概率就转化为研究随机变量所以，研究随机事件的概率就转化为研究随机变量取值的概率。取值的概率。|( )AXI即：事件第2页/共67页第三页，共67页。4012则， ， ，例例2.观察某网站在一段时间内被点击观察某网站在一段时间内被点击(din j)次次数。数。例例3.

3、观察观察(gunch)灯泡的使用灯泡的使用寿命寿命t.|0t t则例例1.从含有从含有2个黑球个黑球(hi qi)，3个白球的盒子中个白球的盒子中任取任取3个球，观察取出球的情况。个球，观察取出球的情况。若令若令X表示取出的表示取出的3个球中黑球的个数个球中黑球的个数012 则， ，第3页/共67页第四页，共67页。5 2.2 随机变量的分布随机变量的分布(fnb)函数函数 对于随机试验而言，仅仅对于随机试验而言，仅仅(jnjn)知道可能出现知道可能出现的随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的可的随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的可能性有多大。能性有多大。 对于随机变量对于随机变量X来

4、说，就是来说，就是X取什么值不重要，取什么值不重要，重要的是重要的是X取这些值的概率有多大。取这些值的概率有多大。 第4页/共67页第五页，共67页。6Rx（1）分布函数的定义域为一切实数；）分布函数的定义域为一切实数；（2）分布函数在）分布函数在x处的取值表示的处的取值表示的是是随机变量随机变量X在在 上的概率。上的概率。,(x定义：定义：设设X是一个随机变量，是一个随机变量， 是一个实是一个实数，函数数，函数 就称为随机变量就称为随机变量X的概率累积分布函数的概率累积分布函数(cdf: cumulative distribution function)，简称分布函数。，简称分布函数。( )

5、()F xP Xx第5页/共67页第六页，共67页。7分布分布(fnb)函数的性质：函数的性质：（1）单调增，即若）单调增，即若 ，则有，则有)()(21xFxF21xx （2）1)(0 xF且且1)(, 0)(FF（3）右连续，即）右连续，即)()0(xFxF具有上述具有上述3条性质的函数条性质的函数 一定是某个随一定是某个随机变量的分布函数机变量的分布函数 。)(xF第6页/共67页第七页，共67页。80,01,013( )1,1221,2xxF xxx例例1、判断以下、判断以下(yxi)函数是否为分布函数：函数是否为分布函数：第7页/共67页第八页，共67页。9 关于分布函数还有一些常用

6、关于分布函数还有一些常用(chn yn)公式：公式： （1）()( )( )P aXbF bF a)()(bFbXP（2）)(1)(bFbXP（3）)0()(bFbXP（4）第8页/共67页第九页，共67页。102.3 离散离散(lsn)型随机变型随机变量量离散离散(lsn)型随机变量：型随机变量： 如果随机变量的取值个数有限，或者可数，如果随机变量的取值个数有限，或者可数，则其取值能按一定的次序一一列举出来，这样则其取值能按一定的次序一一列举出来，这样的随机变量称为离散的随机变量称为离散(lsn)型随机变量。型随机变量。第9页/共67页第十页，共67页。11定义：定义：如果离散型随机变量如果

7、离散型随机变量X的一切可能取值的一切可能取值为为 ，则称，则称P(X=xk)pk为随机为随机变量变量X的分布律的分布律(列列),也称概率质量函数也称概率质量函数pmf: probability mass function。), 2, 1( ,kxk分布律常常用表格的形式表示：分布律常常用表格的形式表示：X x1 x2 xk P p1 p2 pk 2.3.1离散离散(lsn)型随机变量的分布列型随机变量的分布列第10页/共67页第十一页，共67页。12分布分布(fnb)律的性质律的性质 ：反之，若数列反之，若数列 满足这两条性质，满足这两条性质，则一定是某一离散型随机变量的分布律。则一定是某一离

8、散型随机变量的分布律。 kp（1）0kp（2）1kkp第11页/共67页第十二页，共67页。13例例1.设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为 (), 0 1 3kknnaP XkCkn, ,求正数求正数 a 的值。的值。例例2. 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列的分布列(),1,2,!kpP XkCkk10 p其中，其中， 为已知，求常数为已知，求常数C。第12页/共67页第十三页，共67页。14离散型随机变量离散型随机变量X的的分布函数为分布函数为 ( )()kkxxF xP Xxp例例3. 求随机变量求随机变量(su j bin lin)X的分布函数。的分布函数

9、。 X的分布列为的分布列为 X 0 1 2 3111141226kp第13页/共67页第十四页，共67页。15定义：把试验定义：把试验E在相同的条件下重复进行在相同的条件下重复进行(jnxng)n次，各次试验的结果有限且互不影次，各次试验的结果有限且互不影响，则称这响，则称这n次试验为次试验为n次独立试验。次独立试验。 如 果 试 验 只 有如 果 试 验 只 有 ( z h y u ) 两 个 结 果两 个 结 果（ ），则称为贝努里试验。），则称为贝努里试验。n次独立次独立(dl)的贝努里试验又称为的贝努里试验又称为n重贝努里试重贝努里试验。验。:AA成功，失败第14页/共67页第十五页，

10、共67页。16 2.3.2 常见常见(chn jin)的离散型随机变的离散型随机变量量 （1）(0-1)分布分布(fnb)(两点分布两点分布(fnb)(two-point distribution)1()(1),0,1xxP Xxppx 其中其中 ，则称，则称 X 服从（服从（0-1）分布。）分布。 10 p（0-1）分布(fnb)的随机变量X对应贝努里试验里成功（A事件）的次数。P(A)=p 设随机变量设随机变量X只可能取只可能取0和和1两个数值，它的分两个数值，它的分布律为布律为 第15页/共67页第十六页，共67页。17（2）二项分布）二项分布(Binomial distribution

11、)若随机变量若随机变量X的分布律为的分布律为 其中其中 ，则称，则称X服从参数服从参数(cnsh)为为n,p的二项分布，的二项分布，记为记为 ，当，当 时，就是时，就是(0-1)分布。分布。()(1),0,1,2,kkn knP XkC ppkn10 p1n ( , )XB n p 二项分布随机变量(su j bin lin)X对应n重贝努里试验中成功的次数。P(A)=p第16页/共67页第十七页，共67页。18定理：设定理：设X是是n重贝努里试验中成功（重贝努里试验中成功（A发生）发生） 的次数的次数(csh)，则，则XB(n,p)，其中，其中p=P(A),0,1,2),(1),(kkn k

12、nP XkC ppkn即第17页/共67页第十八页，共67页。19定理定理(dngl)：设：设XB(n, p)，m=(n+1)p,则则,-1,m mmNkmmN当 当设设k为事件为事件A最可能成功最可能成功(chnggng)的次数的次数，称，称P(X=k)为二项分布的中心项。为二项分布的中心项。第18页/共67页第十九页，共67页。200lim,lim(1)!nnkkknknnnnnnpkCppek 设是一常数， 是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数有泊松定理泊松定理(dngl)lim(1)11lim1!11lim1!kkn knnnnkn knn kkknkC ppn nnkknnn

13、nnkknnek 可用泊松分布近似计算二项分布的概率，通常要求05.0,20pn第19页/共67页第二十页，共67页。21例例4.把把3个球任意个球任意(rny)地放到地放到4个盒子中，令个盒子中，令X表表示示 落到第落到第 1个盒中球的个数，求个盒中球的个数，求X的分布列。的分布列。 第20页/共67页第二十一页，共67页。例例5. 5. 甲乙两种名酒各甲乙两种名酒各4 4杯，从中任取杯，从中任取4 4杯，若取杯，若取 出的都是甲种酒称试验成功（出的都是甲种酒称试验成功（A A），），求：求：1.1.试验一次获得成功的概率；试验一次获得成功的概率； 2. 2.某人称能区分这两种酒，让他做了某

14、人称能区分这两种酒，让他做了1010次次 试验，结果成功了试验，结果成功了3 3次，试判断此人是否次，试判断此人是否 真的真的(zhn de)(zhn de)有区分这两种酒的能力。有区分这两种酒的能力。第21页/共67页第二十二页，共67页。23（3）泊松分布）泊松分布(fnb)（Poisson distribution）设随机变量设随机变量X可能取的值为一切非负整数，而取可能取的值为一切非负整数，而取值值k的概率为的概率为 ，其中，其中是常数，则称是常数，则称X服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布(fnb)，记为记为 XP( )。(),0,1,2,!kP Xkekk0设设k为最可能成功的

15、次数为最可能成功的次数(csh)，则则称称P(X=k)为泊松分布的中心项。为泊松分布的中心项。1 , ,ZkZ 第22页/共67页第二十三页，共67页。第23页/共67页第二十四页，共67页。tn在长度为t的时间段内，事件(shjin)发生的次数XP( ) 。t则在单位时间段内，事件发生的次数XP( ) 。第24页/共67页第二十五页，共67页。260lim,lim(1)!nnkkknknnnnnnpkCppek 设是一常数， 是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数有泊松定理泊松定理(dngl)结论：1.泊松分布可以看做二项分布当n很大，p很小时的极限分布, ；2.可用泊松分布近似计算二项

16、分布的概率，通常要求05. 0,20pnnp第25页/共67页第二十六页，共67页。（4）超几何分布（）超几何分布（Hypergeometric distribution） 若若X的分布律为的分布律为nNknMNkMCCCkXP )(,012min ,kn M, ,(, )XH N M n记为实例(shl)：不放回摸球问题注：当N很大，n很小时(xiosh)，不放回摸球问题可近似当成有放回摸球问题处理，令p=M/N,1kn kn kkkMN MnnNC CC ppC第26页/共67页第二十七页，共67页。28（5）几何）几何(j h)分布（分布（Geometric distribution）定

17、义：若随机变量定义：若随机变量X的分布律为的分布律为1)(kpqkXP123k , , ，则称，则称X服从几何分布。服从几何分布。X含义：含义： 贝努里试验中首次贝努里试验中首次(shu c)成功事件出现成功事件出现所要进行试验的次数。所要进行试验的次数。( )XG p记为第27页/共67页第二十八页，共67页。29例例1。一射手对某一目标进行射击。一射手对某一目标进行射击(shj)，每一次，每一次 击中的概率为击中的概率为0.8（1） 求一次射击求一次射击(shj)的分布列；的分布列；（2） 求到击中目标为止所需的射击求到击中目标为止所需的射击(shj)次数的次数的 分布列。分布列。第28页

18、/共67页第二十九页，共67页。30（6）负二项分布）负二项分布(fnb)（帕斯卡分布（帕斯卡分布(fnb)） (negative binomial/Pascal distribution)11()(1),1,rrk rkXP XkCppkr rX 定义：若 的分布律为其中，则 服从负二项分布。特别的，当特别的，当r=1时即为几何时即为几何(j h)分布。分布。X含义：含义： 贝努里试验中第贝努里试验中第r次成功事件出现次成功事件出现(chxin)所要进行试验的次数。所要进行试验的次数。( , )XNB r p记为第29页/共67页第三十页，共67页。312.4.1 连续型随机变量连续型随机变

19、量(su j bin lin)的概念的概念 如果随机变量的取值能充满如果随机变量的取值能充满(chngmn)实数轴实数轴上的某个上的某个区间，甚至于整个实数轴。这样的随机变量区间，甚至于整个实数轴。这样的随机变量称为连续型随机变量。称为连续型随机变量。 2-4 连续型随机变量连续型随机变量(su j bin lin)第30页/共67页第三十一页，共67页。32定义：定义：设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为 。若。若存在非负可积函数存在非负可积函数 ，使得对于任一实数，使得对于任一实数 x 有有 则称则称 X 是连续型随机变量，其中函数是连续型随机变量，其中函数 称称为为 X 的

20、概率密度函数的概率密度函数Probability Density Function，简称为概率密度，简称为概率密度pdf。)(xF)(xfxdttfxF)()()(xf第31页/共67页第三十二页，共67页。33概率密度的性质：概率密度的性质：（1）（2）Rxxf 0)(1)(dxxf反之，对于任何一个满足这两条性质的函数反之，对于任何一个满足这两条性质的函数(hnsh) 则由定义的则由定义的 也一定是某个连续型随机变量的也一定是某个连续型随机变量的分布函数分布函数(hnsh)。)(xf)(xF)()(xfxF（4）若若 在在x处连续，则处连续，则)(xf（3） 是连续函数是连续函数)(xF第

21、32页/共67页第三十三页，共67页。34 对连续型随机变量对连续型随机变量X而言，概率为而言，概率为0的事件的事件未必未必(wib)是不可能事件；概率为是不可能事件；概率为1的事件也的事件也未必未必(wib)是必然事件。是必然事件。 （5）连续型随机变量）连续型随机变量(su j bin lin)X在在一个点上取值的概率恒为一个点上取值的概率恒为0。()( )( , )IP XIf x dxIa b其中或者(a,b或者a,b)或者（6）a,b第33页/共67页第三十四页，共67页。35例例1.设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布的分布(fnb)函数为函数为 111000)(2xxAxxx

22、F求常数求常数(chngsh)A及其概及其概率密度函数率密度函数 。 )(xf例例2. 设连续型随机变量设连续型随机变量(su j bin lin)X的的概率密度函数为概率密度函数为 , x 3.12所以至少要进行所以至少要进行 4 4 次独立次独立(dl)(dl)测量才能满足要求测量才能满足要求. .第53页/共67页第五十四页，共67页。552-5 随机变量函数随机变量函数(hnsh)的分布的分布已知随机变量已知随机变量 X 的分布的分布(fnb)， 是连续函是连续函数，数，求求 的分布的分布(fnb)律、分布律、分布(fnb)函函数或密度函数。数或密度函数。)(xg)(XgY 第54页/

23、共67页第五十五页，共67页。56则则 的分布的分布(fnb)列为：列为：)(XgY g(x1) g(x2) g(xk ) P p1 p2 pk )(XgY 1. X 是离散是离散(lsn)型随机变型随机变量：量：X x1 x2 xk P p1 p2 pk 必要必要(byo)时合并时合并Y取值相同的取值相同的项！项！第55页/共67页第五十六页，共67页。57例例1：设随机变量：设随机变量(su j bin lin) X 的分布列为：的分布列为： X 2 1 0 1 3013516151kp求求 的分布的分布(fnb)列。列。22 XY第56页/共67页第五十七页，共67页。582. X 是连

24、续型随机变量是连续型随机变量(su j bin lin)：已知已知 X 的密度函数为的密度函数为 或分布或分布(fnb)函函数数 ,求随机变量求随机变量 的概率密度函数的概率密度函数 或或概率分布概率分布(fnb)函数函数 。)(xfX)(XgY ( )Yfx( )XFx( )YFx第57页/共67页第五十八页，共67页。592. X 是连续型随机变量是连续型随机变量(su j bin lin)：)()()(yXgPyYPyFYxdxxfyxgX,)()(1)(1)分布分布(fnb)(fnb)函数法函数法 1)YYFy先求 的分布函数 2)YYFyfy对求导得到密度函数关键的一步是设法关键的一

25、步是设法从从 g(X) y 中解出中解出X，从而得到与，从而得到与g(X) y 等价的等价的X的有效密度范围的有效密度范围xXI第58页/共67页第五十九页，共67页。60例例2.设随机变量设随机变量(su j bin lin) X 的概率密度为的概率密度为1,0()0,xfx其 它XYsin，求，求 的的 分布分布(fnb)函数与概率函数与概率 密度函数。密度函数。()sin()0,1,0(), ( )=01()0, ( )=1.XYXYYg XXyg XyIF yyg XyIF y 当时，； 当时， 01 0, arcsinarcsin , ( )(sin() (0arcsin+ (arcsin)2arcsin XYyIyyF yP YXyPXyPyXy当 时，）第59页/共67页第六十页，共67页。0,02arcsin( ),0111YyyF yyy 22,( )10,1100YYdfyF yydyyyy或第60页/共67页第六十一页，共67页。(2)(2)公式公式(gngsh)(gngsh)法法 ( )( ) ,( )0,XyYfh yh yyIfy其它其中其中(qzhng)，2)