[中学教育]椭圆及其标准方程

1、 数学数学主讲教师：主讲教师：杨厌聊杨厌聊1把一个定点改为两个定点把一个定点改为两个定点F F1 1和和F F2 2, ,把距离把距离为定长改为到为定长改为到两个定点两个定点F F1 1和和F F2 2距离距离的和的和为常数为常数2 2a a（大于（大于 F F1 1F F2 2 2 2c c）PF1F2圆的定义是什么圆的定义是什么?1. 1.一个定点一个定点2.2.距离为定长距离为定长Po那么动点的轨迹为椭圆那么动点的轨迹为椭圆. . 设椭圆的两个焦点分别为设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，它们之间的距离为，它们之间的距离为2c，椭，椭圆上任意一点圆上任意一点 P到到F1，F2 的距离的和

2、为的距离的和为2a(2a2c)PF1F2 把平面内与两个定点把平面内与两个定点F F1 1和和F F2 2距离的和为常数距离的和为常数2 2a a（大于（大于 F F1 1F F2 2 2 2c c）的）的动点的轨迹叫做椭圆动点的轨迹叫做椭圆. . 两个定点两个定点F F1 1，F F2 2椭圆的椭圆的焦点焦点, ,两焦点间两焦点间的距离的距离 F F 1 1F F2 2 椭圆的椭圆的焦距焦距 以以F1，F2所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，建立轴，建立直角坐标系直角坐标系xOy，则，则F1，F2的坐标分别为的坐标分别为(c，0)，(c，0)xyO

3、设椭圆上任意一点设椭圆上任意一点P的坐标为的坐标为(x，y) ，根据椭圆定义知：根据椭圆定义知：PF1PF22a，根据椭圆定义知：根据椭圆定义知：PF1PF22a，aycxycx2)()(2222 即：即： xyOPF1F整理得：整理得：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)2222)(2)(ycxaycx 移项得：移项得： 2222222)()(44)(ycxycxaaycx 两边平方得：两边平方得： 222)(ycxacxa 整理得：整理得： 又因为又因为a2c20，所以可设，所以可设a2c2b2(b0)，于是得：，于是得： )0(12222 babyax为焦点在轴的椭圆的标准方程为焦点

4、在轴的椭圆的标准方程xyOPF1F2)0(12222 babyaxxyOPF1F2)0( 12222 babxay椭椭 圆圆 的的 标标 准准 方方 程程 （1）与方程有关的三个数）与方程有关的三个数a，b，c中中, a为最大，且满足为最大，且满足b2a2c2（2）椭圆的焦点位置可由方程中）椭圆的焦点位置可由方程中x2与与 y2的分母的大小的分母的大小来确定，焦点在大分母的项的分子所对应的坐标轴上来确定，焦点在大分母的项的分子所对应的坐标轴上说说 明：明：)0(12222 babyax)0( 12222 babxay（）在求椭圆的标准方程时，必须注意两点：（）在求椭圆的标准方程时，必须注意两点

5、：一定位：判定焦点位置；一定位：判定焦点位置；二定量：用带定系数法求二定量：用带定系数法求a a2 2 ，b b2 21已知椭圆的方程为已知椭圆的方程为 ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_，焦距等于焦距等于_练练 习习192522 yx543(4，0)，(4，0)82 2如果椭圆如果椭圆 上一点上一点P P到焦点到焦点F F1 1的距离等于的距离等于6 6，则点则点P P到另一个焦点到另一个焦点F F2 2的距离是的距离是 . .13610022yx已知椭圆两个焦点的坐标分别是已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),(-4,0),(4,0),椭圆椭圆上一点上

6、一点P P到两个焦点的距离的和等于到两个焦点的距离的和等于10,10,求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程. . 例例1 已知已知B、C是两个定点，是两个定点，BC=6，且，且ABC的周长等于的周长等于16，求顶点，求顶点A的轨迹方程。的轨迹方程。BACOXy例例2.已知已知x轴上的一定点轴上的一定点A（1,0），），Q为椭圆为椭圆 上的动点，求上的动点，求AQ中点中点M的轨迹方程的轨迹方程.MAQ2-2xOy1422 yx解：设动点解：设动点M的坐标为的坐标为(x,y)，则则Q的坐标为的坐标为(2x-1,2y) 因为因为Q点为椭圆点为椭圆 上的点上的点 1422 yx所以有所以有 1)2(4)

7、12(22yx即即 14)21(22yx所以点所以点M的轨迹方程是的轨迹方程是 14)21(22yx例例3.已知定圆已知定圆Q: ，动圆，动圆M和已知圆和已知圆内切且过点内切且过点P(-3，0)，求圆心，求圆心M的轨迹及其方程的轨迹及其方程 r 8MP PQ QxOy055622xyx 解解: 已知圆可化为已知圆可化为64) 3(22yx圆心圆心Q(3，0)，所以，所以P在定圆内在定圆内 设动圆圆心为设动圆圆心为M(x,y) , 则则 为半径为半径 MP又圆又圆M和圆和圆Q内切，所以内切，所以8MQMP 即即|MP|+|MQ|=8，故，故M的轨迹是以的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且为焦点的椭圆

8、，且PQ中点为原点中点为原点.171622yx故动圆圆心故动圆圆心M的轨迹方程是：的轨迹方程是： 例例4 4 过点过点(2,1)(2,1)引直线引直线PQPQ与椭圆与椭圆 相交相交P,QP,Q两点两点, ,若点若点A A恰好是线段恰好是线段PQPQ的中点的中点, ,求直线求直线PQPQ的方程的方程. .191622yxxyO解法一解法一: :例例4 4 过点过点(2,1)(2,1)引直线引直线PQPQ与椭圆与椭圆 相交相交P,QP,Q两点两点, ,若点若点A A恰好是线段恰好是线段PQPQ的中点的中点, ,求直线求直线PQPQ的方程的方程. .191622yxxyO解法二解法二: :例5解：解

9、：.AxyOMB，则，设)()(2211yxByxA12222byax1 yx02)(2222222baaxaxba2222222112babxybaaxxxMMM)(222222babbaaM，中点22OMk2222ab)1(222代入ba0)1(222)12(22bxx得：)1(，两点，、交于与直线已知椭圆22|1)0(12222ABBAyxbabyax，求椭圆方程。的斜率为，的中点为22OMMAB0)1)(12(24812) 1(1|22bAB由弦长公式得：22|AB又232b解得8)1)(12(248 ) 12(222b32 aAxyOMB，满足01223322yx故所求椭圆方程为0)

10、1 (222) 12(22bxx得：解法二：解法二：.AxyOMB，则，设)()(2211yxByxA12222byax1 yx02)(2222222baaxaxba) 1 (222代入ba 0)1 (222) 12(22bxx得：1 yxxy22) 1222(，M221xx222baa22，两点，、交于与直线已知椭圆22|1)0( 12222ABBAyxbabyax，求椭圆方程。的斜率为且的中点22,OMMAB例例5) 1 (0)1)(12(24812) 1(1|22bAB由弦长公式得：22|AB又232b解得8)1)(12(248 ) 12(222b32 aAxyOMB，满足0122332

11、2yx故所求椭圆方程为0)1 (222) 12(22bxx得：例例6nxy41方程为：，于交对称，且直线关于直线、设MlABlBAAB则由已知可设直线 1 0481681322nnxxy消nxymxy414解方程组)(174mnxm1344122yxnxy解方程组解：解：AxyOB.lM。直线对称上有不同的两点关于该，椭圆：直线的取值范围，使得对于，试确定方程为：已知椭圆CmxylmyxC4134220134221nxxxmnmn134)(174在椭圆上、又BA0)4816(13464 1 22nn式的13)16169( 42m1313213132m1342n即mn413AxyOB.lM 1

12、0481681322nnxxmn413一，得出同解法解法解法2)3(3)413(134mmMmymmxmm，在椭圆内在椭圆上、MBA13)3(4)(22mm.1313213132m解得例例6。直线对称上有不同的两点关于该，椭圆：直线的取值范围，使得对于，试确定方程为：已知椭圆CmxylmyxC413422134221nxxxm又AxyOB.lM)()()(002211yxMlAByxByxA，的交点与，设解法解法3AxyOB.lM2134113422222121yxyx则212121214321yyxxxxyy得：由3300 xy4400mxylM又)3(43mmM，解得联立.以下同解法二41

13、4300yx4242341213411342121212122222121mxxyyxxyyyxyx说明：) 0( 12222 babyax) 0( 12222 babxay 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程： 根据已知条件求椭圆的标准方程：根据已知条件求椭圆的标准方程：( (1) )确定焦点所在的位置，选择标准方程的形式；确定焦点所在的位置，选择标准方程的形式；( (2) )求解求解a，b的值，写出椭圆的标准方程的值，写出椭圆的标准方程(3)在涉及到中点和斜率问题时在涉及到中点和斜率问题时,尽量用点差法简化计算过程尽量用点差法简化计算过程.课后练习：课后练习：（1）已知椭圆）已知椭圆 上一点上

14、一点P到椭圆的一个焦点到椭圆的一个焦点 的距离为的距离为3，则，则P到另一个焦点的距离是到另一个焦点的距离是 （ ） A.2 B.3 C.5 D.7 1162522yx1112022yx3131（2）已知椭圆方程为）已知椭圆方程为 ,那么它的焦距是那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.3 D. （3）如果方程）如果方程 表示焦点在表示焦点在y轴上的椭轴上的椭 圆，那么实数圆，那么实数k的取值范围是的取值范围是( ) A.（0，+） B.(0,2)C.(1,+) D.(0,1)222kyx33(5)过点过点P（ ，-2），），Q（-2 ，1）两点的椭圆标）两点的椭圆标 准方程是准方程是_1

15、9622yx (4) 过点过点A（-1，-2）且与椭圆）且与椭圆 的两个焦的两个焦点相同的椭圆标准方程是点相同的椭圆标准方程是_ (0,/2)，方程，方程x2siny2cos1，表示焦点在，表示焦点在y轴轴上的椭圆，则上的椭圆，则_. (参考答案参考答案:/4,/2) 已知椭圆已知椭圆mx2y28与与9x225y2100的焦距相同，则的焦距相同，则m_. (参考答案参考答案: 9或或9/17) 求与椭圆求与椭圆x2/5y2/41有公共焦点，且过点有公共焦点，且过点(3,0)的椭圆的椭圆的标准方程。的标准方程。 (参考答案参考答案: x2/9y2/81) 已知椭圆已知椭圆x22y2a2(a0)的左焦点到直线的左焦点到直线l：xy20的距离为的距离为 ，求椭圆方程