（整理版）课时作业(五十六)

1、课时作业(五十六)(第二次作业)1如右图所示，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，e、f分别是cc1、ad的中点，那么异面直线oe和fd1所成的角的余弦值等于()a.b.c. d.答案b解析此题考查空间向量的运算设正方体的边长为2，建立如右图所示的坐标系，o(1,1,0)，e(0,2,1)，f(1,0,0)，d1(0,0,2)，(1,0,2)，(1,1,1)cos，.2.以等腰rtabc的斜边bc上的高ad为折痕，将abc折起(如图)，使折起后的abc恰好为等边三角形m为高ad的中点，那么直线ab与cm所成角的余弦值为()a. b.c. d答案c解析设直角边a

2、bac2，那么bc2.取bd中点n，连接mn，那么mnab，所以nmc即为所求mnab1，mcnc，在ncm中，由余弦定理可得cosnmc.3正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是正方形add1a1和abcd的中心，g是cc1的中点，设gf、c1e与ab所成的角分别为、，那么等于()a120° b60°c75° d90°答案d解析建立如图坐标系，设正方体棱长为2.b(2,0,0)，a(2,2,0)，g(0,0,1)，f(1,1,0)，c1(0,0,2)，e(1,2,1)那么(0,2,0)，(1,1，1)，(1,2，1)cos，cos，.cos，c

3、os，sin，90°，应选d.4如下图，点p在正方体abcdabcd的对角线bd上，pda60°.(1)求dp与cc所成角的大小；(2)求dp与平面aadd所成角的大小解析如下图，以d为原点，da为长度建立空间直角坐标系dxyz.那么(1,0,0)，(0,0,1)连接bd，bd.在平面bbdd中，延长dp交bd于h.设(m，m,1)(m>0)，由，60°，由·|cos，可得2m.解得m，所以(，1)(1)因为cos，所以，45°，即dp与cc所成的角为45°.(2)abcdabcd为正方体，cd平面ad.为平面ad的一个法向量，

4、(0，1,0)又(，1)，cos，.dp与平面aadd所成角为30°.5.长方体abcda1b1c1d1，ab2，aa11，直线bd与平面aa1b1b所成的角为30°，ae垂直bd于点e，f为a1b1的中点(1)求异面直线ae与bf所成角的余弦值；(2)求平面bdf与平面aa1b所成二面角(锐角)的余弦值解析(1)分别以ab，ad，aa1为x，y，z轴建系ad平面abb1a1，bd与平面aa1b1b夹角为30°，dba30°.aebd，e(，0)，b(2,0,0)，f(1,0,1)(，0)，(1,0,1)，cos·.ae与bf所成角的余弦值为.

5、(2)(1,0,1)，(2，0)，平面bdf法向量a(1，1)，平面aa1b法向量b(0,1,0)，cosa，b.平面bdf与平面aa1b所成二面角的余弦值为.6(·石家庄质检)四棱锥abcde的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形(1)假设正视图是等边三角形，f为ac的中点，当点m在棱ad上移动时，是否总有bfcm，请说明理由；(2)假设平面abc与平面ade所成的锐二面角为45°.求直线ad与平面abe所成角的正弦值解析(1)由俯视图可知平面abc平面ebcd.又bc2，o为bc中点，be1，cd2.abc为等边三角形，f为ac中点，bfac.又平面abc平面ebc

6、d，且dcbc，dc平面abc，dcbf.又accdc，bf平面acd.bfcm.(2)以o为原点，为x轴，为z轴建系b(1,0,0)，c(1,0,0)，e(1,1,0)，d(1,2,0)设a(0,0，a), 由题意可知平面abc的法向量为(0,1,0)设平面ade法向量n(x，y，z)(2,1,0)，(1，1，a)，令x1，y2，z.n(1，2，)|cos|，解得a.由线面角向量知识，可得sin.7(·全国新课标理)如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab60°，ab2ad，pd底面abcd.(1)证明：pabd；(2)假设pdad，求二面角apbc的余

7、弦值解析(1)因为dab60°，ab2ad，由余弦定理，得bdad.从而bd2ad2ab2，故bdad.又pd底面abcd，可得bdpd.所以bd平面pad.故pabd.(2)如图，以d为坐标原点，ad的长为长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz，那么a(1,0,0)，b(0，0)，c(1，0)，p(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0)设平面pab的法向量n(x，y，z)，那么即因此可取n(，1，)设平面pbc的法向量为m，那么可取m(0，1，)，那么cosm，n.故二面角apbc的余弦值为.8(·浙江)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱abcda1b

8、1c1d1中，adbc，adab，ab，ad2，bc4，aa12，e是dd1的中点，f是平面b1c1e与直线aa1的交点(1)证明：efa1d1；ba1平面b1c1ef；(2)求bc1与平面b1c1ef所成的角的正弦值解析(1)证明：因为c1b1a1d1，c1b1平面add1a1，所以c1b1平面a1d1da.又因为平面b1c1ef平面a1d1daef，所以c1b1ef，所以a1d1ef.因为bb1平面a1b1c1d1，所以bb1b1c1.又因为b1c1b1a1，所以b1c1平面abb1a1.所以b1c1ba1.在矩形abb1a1中，f是aa1的中点，tana1b1ftanaa1b，即a1b1

9、faa1b，故ba1b1f.所以ba1平面b1c1ef.(2)设ba1与b1f交点为h，连接c1h.由(1)知ba1平面b1c1ef，所以bc1h是bc1与面b1c1ef所成的角在矩形aa1b1b中，ab，aa12，得bh.在直角bhc1中，bc12，bh，得sinbc1h.所以bc1与平面b1c1ef所成角的正弦值是.9(·江西)在三棱柱abca1b1c1中，abacaa1，bc4，点a1在底面abc的投影是线段bc的中点o.(1)证明在侧棱aa1上存在一点e，使得oe平面bb1c1c，并求出ae的长；(2)求平面a1b1c与平面bb1c1c夹角的余弦值解析(1)证明：连接ao，在

10、aoa1中，作oeaa1于点e.因为aa1bb1，得oebb1.因为a1o平面abc，所以a1obc.因为abac，oboc，得aobc.所以bc平面aa1o，所以bcoe.所以oe平面bb1c1c.又ao1，aa1，得ae.(2)如图，分别以oa，ob，oa1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，那么a(1,0,0)，b(0,2,0)，c(0，2,0)，a1(0,0,2)由，得点e的坐标是(，0，)由(1)得平面bb1c1c的法向量(，0，)设平面a1b1c的法向量n(x，y，z)，由得令y1，得x2，z1，即n(2,1，1)所以cos，n.即平面bb1c1c与平面a1b1c的夹角的余

11、弦值是.1(·石家庄质检)如图，在多面体abcdef中，abcd为菱形，abc60°，ec平面abcd，fa平面abcd，g为bf的中点，假设eg平面abcd.(1)求证：eg平面abf；(2)假设afab，求二面角befd的余弦值解析(1)取ab的中点m，连接gm，mc，g为bf的中点，gmfa.又ec平面abcd，fa平面abcd，ceaf，cegm.平面cegm平面abcdcm，eg平面abcd，egcm.在正三角形abc中，cmab，又afcm，egab，egaf.eg平面abf.(2)连接ac，bd，且交点为o.以o为原点，为x轴，为y轴建系b(，0,0)，e(0

12、,1,1)，f(0，1,2)，d(，0,0)(0，2,1)，(，1，1)，(，1,1)设平面bef法向量n1(x，y，z)，那么令y1，那么z2，x.n1(，1,2)同理可求平面def法向量n2(，1,2)设所求二面角平面角为，那么cos.2(·福建)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？假设存在，求ap的长；假设不存在，说明理由解析(1)以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设aba，那么a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1

13、,1)，e(，1,0)，b1(a,0,1)故(0,1,1)，(，1，1)，(a,0,1)，(，1,0)·×01×1(1)×10，b1ead1.(2)假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae.此时(0，1，z0)又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n(1，a)要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap.(3)连接a1d，b1c，由长方体abcda1b1c1d1及aa1ad1，得ad1a1d.b1ca1

14、d，ad1b1c.又由(1)知b1ead1，且b1cb1eb1，ad1平面dcb1a1.是平面a1b1e的一个法向量，此时(0,1,1)设与n所成的角为，那么cos.二面角ab1ea1的大小为30°，|cos|cos30°，即，解得a2，即ab的长为2.3(·浙江)如图，在四棱锥pabcd中，底面是边长为2的菱形，bad120°，且pa平面abcd，pa2，m，n分别为pb，pd的中点(1)证明：mn平面abcd；(2)过点a作aqpc，垂足为点q，求二面角amnq的平面角的余弦值解析(1)证明：因为m，n分别是pb，pd的中点，所以mn是pbd的中位线

15、所以mnbd.又因为mn平面abcd，所以mn平面abcd.(2)方法一连接ac交bd于o，以o为原点，oc，od所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系oxyz，如下图在菱形abcd中，bad120°，得acab2，bdab6.又因为pa平面abcd，所以paac.在直角pac中，ac2，pa2，aqpc，得qc2，pq4.由此知各点坐标如下，a(，0,0)，b(0，3,0)，c(，0,0)，d(0,3,0)，p(，0,2)，m(，)，n(，)，q(，0，)设m(x，y，z)为平面amn的法向量由(，)，(，)，知取z1，得m(2，0，1)设n(x，y，z)为平面qmn的法向量由(，

16、)，(，)，知取z5，得n(2，0,5)于是cosm，n.所以二面角amnq的平面角的余弦值为.方法二在菱形abcd中，bad120°，得acabbccdda，bdab.又因为pa平面abcd，所以paab，paac，paad.所以pbpcpd.所以pbcpdc.而m，n分别是pb，pd的中点，所以mqnq，且am pbpdan.取线段mn的中点e，连接ae，eq，那么aemn，qemn.所以aeq为二面角amnq的平面角由ab2，pa2，故在amn中，aman3，mnbd3，得ae.在直角pac中，aqpc，得aq2，qc2，pq4.在pbc中，cosbpc，得mq.在等腰mqn中

17、，mqnq，mn3，得qe.在aeq中，ae，qe，aq2，得cosaeq.所以二面角amnq的平面角的余弦值为.4.如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，paab，abc60°，bca90°，点d，e分别在棱pb，pc上，且debc.(1)求证：bc平面pac；(2)当d为pb的中点时，求ad与平面pac所成的角的余弦值；(3)是否存在点e使得二面角adep为直二面角？并说明理由解析方法一(1)pa底面abc，pabc.又bca90°，acbc，bc平面pac.(2)d为pb的中点，debc，debc.又由(1)知，bc平面pac，de平面pac，垂足为点e

18、.dae是ad与平面pac所成的角pa底面abc，paab.又paab，abp为等腰直角三角形adab.在rtabc中，abc60°.bcab.rtade中，sindae.cosdae.(3)debc，又由(1)知，bc平面pac，de平面pac.又ae平面pac，pe平面pac，deae，depe.aep为二面角adep的平面角pa底面abc，paac，pac90°.在棱pc上存在一点e，使得aepc.这时，aep90°.故存在点e使得二面角adep是直二面角方法二如图，以a为原点建立空间直角坐标系axyz.设paa，由可得a(0,0,0)，b(a，a,0)，c

19、(0，a,0)，p(0,0，a)(1)(0,0，a)，(a,0,0)，·0，bcap.又bca90°，bcac.bc平面pac.(2)d为pb的中点，debc，e为pc的中点d(a，a，a)，e(0，a，a)又由(1)知，bc平面pac，de平面pac，垂足为点e.dae是ad与平面pac所成的角(a，a，a)，(0，a，a)，cosdae.(3)同方法一5等腰直角三角形rbc，其中rbc90°，rbbca、d分别是rb、rc的中点，现将rad沿着边ad折起到pad位置，使paab.(1)求证：bcpb；(2)求二面角acdp的余弦值解析(1)点a、d分别是rb、rc的中点，adbc且adbc.padradrbc90°.paad.又paab，daaba，pa面abcd，pabc.bcab，paaba，bc平面pab.pb平面pab，bcpb.(2)方法一取rd的中点f，连接af、pf.raad1，afrc.又由(1)知pa面abcd，而rc平面abcd，parc.afpaa，rc平面paf.afp是二面角acdp的平面角在rtrad中，afrd.在rtpaf中，pf.cosafp.二