“双勾函数”的性质及应用

1、百度文库-让每个人平等地提升自我“双勾函数”的性质及应用,X2 5 ,问题引入：求函数y 5的最小值.问题分析：将问题采用分离常数法处理得,X141 XT . x2 4X2 4如果利用均值不等式，即y Jx2 4X2 4等式成立的条件为3Jx2 4, 1,而Jx2 4, 1显然无实数解，所以 “”不成立，因而最小值 X2 4x2 4不是2,遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知 的函数具有相似的性质呢 ？带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质.一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质1 .“双勾函数”的定义k-我们把形如 f(x) x

2、(k为常数，k 0 )的函数称为“双勾函数”.因为函数x一 k一 f(x) x (k为常数，k 0)在第一象限的图像如，而该函数为奇函数，其图x像关于原点成中心对称，故此而得名.2 .类比“二次函数”与“双勾函数”的图像二次函数图像“双勾函数”图像3 .类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质(1) “二次函数”的性质当a 0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当x上-时，函数2a24ac by有最小值4a当a 0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着xb的增大而减小.当x-b-时，函数2a2-4ac by有取大值4a(

3、2) “双勾函数”性质的探究当x 0时，在x Jk左侧,y随着x的增大而减小；在 x Jk的右侧，y随着x的增大而增大；当x Jk时，函数y有最小值2次.当x 0时，在xJk的左侧，y随着x的增大而增大；在xJk的右侧，y随着x的增大而减小.当 xJk时，函数y有最大值 2jk.综上知，函数f(x)在(，Jk和衣，)上单调递增，在衣,0)和(0,次上单 调递减.下面对“双勾函数”的性质作一证明.证明：定义法.设x1 , x2 R,且x1 x2，则a k(xi x2)(xix2 k)k、f(x) f d) xi - x 一 尸(xi x2)(1 ).x1x2x1 x2x1x2以下我们怎样找到增减

4、区间的分界点呢？首先x 0, x 0就是一个分界点，另外我们用相等分界法”，令x1 x2x0,1 与 0可得到xJk,因此又找到两个分界点Jk, Jk.这样就把f(x)的定义域x。分为(，Jk, Jk,0) , (0,Jk, Jk,)四个区间，再讨论它的单调性.设 0x1x2泵，则x1x20,x1x20, 0x1x2k ,x1x2 k 0.k k(xi x2)(xix2 k) f(xi)f(x2)xix2- 0 0 , IP f (xi)f (x2).xix2xi I x2f (x)在(0, Jk上单调递减.同理可得，f (x)在Jk,)上单调递增；在(，«上单调递增；在4,0)上百

5、度文库-让每个人平等地提升自我单调递减.故函数f(x)在(,Jk和Jk,)上单调递增，在Jk,0)和(0, Jk上单调递减.性质启发：由函数趋势，可作出函数 yk ,f(x) x (k 0)的单调性及f (x)在其单调区间的端点处取值的 xf (x)的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质.此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能.4.“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比设 f (x) ax2bx c(a 0),求f (x)在x m, n上的最大值与最小值.分析：将f(x)配方，得对称轴方程b2a当a0时,

6、抛物线开口向上.b2ab2am,m,n必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值；n,此时函数在m, n上具有单调性，故在离对称轴较远端2a(1) “二次函数”的区间最值图4图5点处取得最大值，较近端点处取得最小值.当ab2ab2a0时,m,m,抛物线开口向下.n必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值;n,此时函数在m, n上具有单调性，故在离对称轴上较远端2a点处取得最小值，较近端点处取得最大值.以上，作图可得结论.当a0时,f (m)，f ( x) maxf (n)，2a b2a1(m n)(如图 1) 21上e一(m n)(如图 2)2f (n),2an(如图3),m &

7、lt;< n(如图 4) .f(x)minm百度文库-让每个人平等地提升自我12当a 0时,f(n), -b n(如图 6)2af(x)maxf( ；b), m< ?Wn(如图7);2a2af (m), b- m(如图 8)b 、 1f(m),>(m n)(如图 9)f(x)min2a 2b 1 f(n), - -(m n)(如图 10)2a 2图6图10(2) “双勾函数”的区间最值k设f(x) x (k 0),求f(x)在x m, n上的最大值与最小值. x分析：当x 0时，其图像为第一象限部分.若人 m, n,则函数必在界点 x 4处取得最小值，最大值需比较两个端点处的

8、函数值；若灰 m, n,此时函数在m, n上具有单调性，故在离直线x 尿较远端点处取 得最大值，较近端点处取得最小值.当x 0时，其图像为第三象限部分.若 灰 m, n,则函数必在界点 xJk处取得最大值，最小值需比较两个端点处的函数值；若灰 m, n,此时函数在m, n上具有单调性，故在离直线 x 4较远端点 处取得最小值，较近端点处取得最大值.以上，作图可得结论.当x 0时，f (m), . k n(如图 11),f (x)max max f (m), f (n),尿m,n(如图 12), f (n), . k m(如图 13).f (n)，Vk n(如图 11),当x 0时,f (x)m

9、axf (n), - Vk n(如图 14),f (瓜),尿 m,n(如图 15), f(m), - >/k m(如图 16).f (X)minf (m), - Vk n(如图 14),min f(m), f(n), Vk m,n(如图 15),f (n), -、. km(如图16).二、实践平台其生产的总成例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时,本y （万元）与年产量 x （吨）之间的函数关系式近似地表示为2xy 30x 4000.问:10（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本;(2)每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大

10、利润？并求出最大利 润.分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解.解：(1)由题意可知，每吨平均成本为S上万元.数，在区间所以当y xx 10400030x 40000) x30,因为函数在区间(0,200上为减函200,)上为增函数.x 200时，函数Sx10400030110(x40000)30有最小值为xc 140000、Sg小 (200 ) 30 10 (万兀)10200所以当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低,最低成本为10万元.(2)设年获得总利润为 Q万元,12(x 230)2 1290,10L 一x2则 Q 16x y 16x - 30x

11、 400010当 x 230 (150,250) , Q最大 1290,故当年产量为230吨时，可获得最大利润1290万元.评注：本题的关键是用年产量 x吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值， 在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程.函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题.例2甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地， 速度不得超过c km/h ,已知汽 车每小时的运输成本 (以元为单位)，由可变部分和固定部分组成； 可变部分与速度v(km/h) 的平方成正比，比例系数为 b,固定部分为a元.(1)

12、把全程运输成本 y (元)表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域.(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶.分析：要计算全程的运输成本 y s(a bv2) (- bv)s(0 v&c),而已知每小vv时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本a一 bv何时取最小值，显vs,. 2、，ay -(a bv )(一 bv)s(0 v < c),所要解决的问题是求vv然要对c的大小进行讨论，讨论的标准也就是c与a-的大小.bs解：(1)依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为士，因此全程运输成本为vs2 ay - (a bv2) (- b

13、v) s,又据题意0 v < c,故所求函数及其定义域分别为：vvay s (- bv) , v (Q c.va(2)设 u f(v) a bv b(v b), vv u在(0, a上是减函数，在b,)上是增函数. ,b a若Ja < c ,结合“双勾函数”的性质知， b当v J?时运输成本y最小. , b若Ja c，函数在(0，c上单调递减，所以当 v c时，全程运输成本最小.评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图 形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并 建立数学模型解决实际问题.例3 (2006安徽

14、高考)已知函数f(x)在R上有定义，对任意实数a 0和任意实数X,都有 f (ax) af (x).(I)证明 f(0)0;(n)证明 f(x)kx, x 。其中k和h均为常数;hx, x 0.(m)当(n)中的k 0,设 g(x)1f(x)f (x)(x 0),讨论 g(x)在(0,的单调性并求最值.分析：承接第(n)问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题.证明：(I)令 x 0,贝U f 0 af 0 , . a 0, f 00.(n)令 xa, - a 0, x 0,贝U fx2 xf x.假设 x 0 时，f (x) kx (kR),则 f x2kx2,而 xf

15、x x kx kx2,.f x2 xf x ,即 f (x) kx 成立.令 x a, a 0, x 0, fx2xf x假设 x 0 时，f (x) hx (h R),则 fx2hx2,而 xf x x hxhx2 ,2kx, x 0 1 f x xf x ,即 f (x) hx成立. f x成立.hx,x 01112(出)当 x 0时，g x f x kx k(x ),f xkxx1 1由 双勾函数 性质知在 (0,上为减函数，在,)上为增函数， kk1 .所以当x忆时，g(x)min 2.评注：数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想” .所以熟悉数学化归的思想，有 意识地运用数学变换的

16、方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧.适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分.本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉.例4 (2001广东高考)设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2 ,画面的宽与高的比为(1),画面的上、下各留 8cm空白，左、右各留5cm空白.怎样确定画面的高与2 3宽尺寸，能使宣传回所用纸张面积最小？如果要求2,3,那么 为何值时，能使宣传3 4画所用纸

17、张面积最小？分析：设定变元x ,寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问题 中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函 数”性质进行求解.解：设画面高为xcm,宽为 xcm,则 x2 4840设纸张面积为S cm2 ,则有S (x 16)( x 10)x2 (1610)x 160,58-)22，10将x0- 代入上式得，S 5000 352/10(15令 1 t(t 0),则 S 5000 3527T0(t -8)(t 0), 函数S在(0, J5上为减函数，在J5,)上为增函数，所以当t J5时，s取最小值，此时|(5 1)，高：x 严 88cm,宽：x5-88 55 cm.83, 4 ），所以函数S在3上为增函数，故当2时，S取最小值，此时评注：函数描述了自然界中