【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第九章 第四节 空间的角精练 理（全国版）

1、【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第九章 第四节 空间的角精练 理（全国版）(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1(2008年四川高考题)设直线l平面，过平面外一点A且与l、都成30°角的直线有且只有()A1条B2条C3条 D4条【解析】所求直线在平面内的射影必与直线l平行，这样的直线只有两条，选B.【答案】B2(2008年全国高考题)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A. B.C. D.【解析】由题意知三棱锥A1ABC为正四面体，设

2、棱长为a，则AB1a，棱柱的高A1Oa(即点B1到底面ABC的距离)，故AB1与底面ABC所成角的正弦值为.另解：设，为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为60°，长度均为a，平面ABC的法向量为，·a2，|a，|a.则AB1与底面ABC所成角的正弦值为.【答案】B3(2007年全国)如图所示，正四棱柱，ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.【解析】如图所示，连结CD1、AC，则CD1A1B，则A1B与AD1所成角即为CD1A或其补角设ABa，则AA12a，所以有AD1CD1a，ACa，在AD1C中，由余弦

3、定理得cosAD1C，所以异面直线A1B和AD1所成角的余弦值为.【答案】D4设直线l与直二面角的两个面、所成的角分别为1和2，则()A0<12< B012C0<12 D12>【解析】如图所示，ABC1，BAD2<BAC，12<.当D、C重合时，12，当l为、的交线时，120，012.【答案】B5如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小是()A相等 B互补C相等或互补 D无法确定【解析】如图，l为直二面角，a为另一个二面角，使，a.把平面固定不动，使平面绕a转动时，满足条件，但a的度数不能确定，应选D.【答案】D6如

4、图所示，过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD，若PAAB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A30° B45°C60° D90°【解析】过P作PQAB.则PQ为面ABP与面CDP的交线，APAB，APPQ.又CDAD且CDAP，CDDP，即DPPQ，所以DPA为所求的二面角的平面角显然DPA45°，故选B.【答案】B二、填空题(每小题6分，共18分)7(2008年四川高考)已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该四棱柱的体积等于_【解析】如图，设正四棱柱的底边长为a，高为h，则对角线BD1与底面所成

5、的角为DBD1，由题意得解得a1，h2，VABCDA1B1C1D1a2h2.【答案】28若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则cos _.【解析】为填空题，不妨设正四棱柱为一个正方体而在正方体中与各个面所成角相等的为体对角线，如图所示即图中CA1D.而若令正方体棱长为1，则A1D，A1C，cosCA1D.【答案】9已知点O在二面角AB的棱上，点P在内，且POB45°.若对于内异于O的任意一点Q，都有POQ45°，则二面角AB的大小是_【解析】对于内异于O的点Q，都有POQ45°，PO与面所成的角即为45°，若作PQ于Q点，则POQ45°

6、，QAB.又PQ，即AB的大小为90°.【答案】90°三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10如图所示，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，SBA45°，SBC60°，M为AB的中点求：(1)BC与平面SAB所成的角；(2)SC与平面ABC所成角的正切值【解析】(1)CSSB，CSSA，SC平面SAB，BC在平面SAB上的射影为SB.SBC为BC与平面SAB所成的角又SBC60°，故BC与平面SAB所成的角为60°.(2)连结MC，在RtASB中，SBA45°，SMAB.又ABSC，AB面SMC

7、.面SMC面ABC.过点S作SOMC于点O，SO面ABC，SCM为SC与平面ABC所成的角设SBa，则SMa，在SBC中，SCSBtan 60°a，tanSCM.11如图所示，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，BAP45°，直线CA和平面所成的角为30°.(1)证明BCPQ；(2)求二面角BACP的大小【解析】(1)证明：在平面内过点C作COPQ于点O，连结OB.因为，PQ，所以CO.又因为CACB，所以OAOB.而BAO45°，ABO45°，AOB90°，从而BOPQ.又COPQ，所以PQ平面OBC.因为BC平面OBC，故

8、PQBC.(2)由(1)知，BOPQ，又，PQ，BO，所以BO.过点O作OHAC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC.故BHO是二面角BACP的平面角由(1)知，CO，所以CAO是CA和平面所成的角，则CAO30°.不妨设AC2，则AO，OHAOsin 30°.在RtOAB中，ABOBAO45°，所以BOAO.于是在RtBOH中，tan BHO2.故二面角BACP的大小为arctan 2.12(2008年重庆高考题)如图所示，在ABC中，B90°，AC，D、E两点分别在AB、AC上，使2，DE3.现将ABC沿DE折成直二面角，求：(1)异面直线 AD与BC的距离；(2)二面角AECB的大小(用反三角函数表示)【解析】(1)因，故DEBC，又因B90°，从而ADDE.因ADEB是直二面角，ADDE，故AD底面DBCE，从而ADDB.而DBBC，故DB为异面直线AD与BC的公垂线由2，得.又已知DE3，从而BCDE.AB6.因，故DB2，为所求异面直线AD与BC的距离(2)过D作DFCE，交CE的延长线于F，连接AF.由(1)知，AD底面DBCE，由三垂线定理知AFFC，故AFD为二面角AECB的平面角在底面DBCE中，DEFBCE，DB2，EC·，因此sinBCE