（整理版）简单几何体的表面积和体积

1、9-2简单几何体的外表积和体积根底稳固强化1.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如下图的平面图形，那么标“的面的方位是()a南 b北 c西 d下答案a解析将所给图形复原为正方体，如下图，最上面为上，最右面为东，那么前面为，可知“的实际方位为南2一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的体积为，那么这个三棱柱的体积是()a96b48c24d16答案b解析正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆是球的大圆设底面正三角形的边长为a，球的半径为r，那么a2r，又r3，r2，a4，于是va2

2、3;2r48.3(·新课标全国，7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为()a6 b9 c12 d18答案b解析由三视图知，该几何体是一个三棱锥，由俯视图知三棱锥的底面是等腰三角形，底边长为6，底边上的高为3，面积s×6×39，由正视图和侧视图可知棱锥的高为3，体积v×9×39.4(文)假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是()a2 b1c. d.答案b解析由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如下图，其体积为v××1×1.(理)(·

3、;潍坊二检)如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，那么该多面体的体积为()a. b. c. d.答案b解析截去一角在正视图中位于左侧上部，在侧视图中位于右侧上部，结合俯视图可知，截去的一角应位于几何体的上部左前方，可画出多面体的形状如图这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积vv长方体v正三棱锥4×4×6×(×2×2)×2.5(文)一空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为()a22 b42c2 d4答案c解析由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为，侧棱

4、长为2的正四棱锥叠放而成故该几何体的体积为v×12×2×()2×2，应选c.点评由三视图想象几何体的形状时，一要注意常见柱、锥、台的三视图结构特征，二要注意方位，三要注意细节此题中正视图与侧视图都不变，假设俯视图中把外部的圆改为正方形，那么几何体就是上部为正四棱锥，下部为正四棱柱的组合体(理)(·湖南文，4)设下列图是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为()a942 b3618c.12 d.18答案d解析由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体其中，v球·()3，v长方体v总18.6.(·山西高考联合模拟)一个

5、几何体是由假设干个相同的正方体组成的，其正视图和侧视图如下图，那么这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为()a12个 b13个 c14个 d18个答案b解析由正视图知该几何体有三列，左右两排都存在2层的情形，中间一排，只有一层，由侧视图知，该几何体有三行，前后两排都存在2层的情形，中间一排只有一层，因此此几何体最多可由13个小正方体组成，你能求出最少可由多少个小正方体构成吗？7圆台的上、下底半径分别为2和4，母线长为4，那么截得此圆台的圆锥侧面展开图的中心角为_答案解析如图，设pdx，那么，x4，×2.8一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一局部，如图(1)所示，截下局部

6、的母线最大长度为2，最小长度为1，那么截下局部的体积是_答案解析根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱，这个圆柱的高是3，体积是所求几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是××12×3.故填.9圆柱内切球的外表积为4，那么圆柱的外表积为_答案6解析设球半径为r(r>0)，那么圆柱的底面半径为r，高为2r，由条件知，4r24，r1.圆柱的外表积s2·r22r·2r6r26.10p在矩形abcd的边dc上，ab2，bc1，f在ab上且dfap，垂足为e，将adp沿ap折起，使点d位于d位置，连接db、dc得四棱锥dabcp.(1)求证：dfa

7、p；(2)假设pd1，且平面dap平面abcp，求四棱锥dabcp的体积解析(1)apde，apef，deefe，ap平面def，apdf.(2)pd1，四边形adpf是边长为1的正方形，dedeef，平面dap平面abcp，deap，de平面abcp，s梯形abcp×(12)×1，vdabcp×de×s梯形abcp.能力拓展提升11.如图，正方体abcda1b1c1d1e，f在棱a1b1上，点q是棱cd的中点，动点p在棱ad上假设ef1，dpx，a1ey(x，y大于零)，那么三棱锥pefq的体积()a与x，y都有关 b与x，y都无关c与x有关，与y无关

8、 d与y有关，与x无关答案c解析设p到平面efq的距离为h，那么vpefq×sefq·h，由于q为cd的中点，点q到直线ef的距离为定值，又ef1，sefq为定值，而p点到平面efq的距离，即p点到平面a1b1cd的距离，显然与x有关与y无关，应选c.12(·陕西文，5)某几何体的三视图如下图，那么它的体积为()a8 b8c82 d.答案a解析由三视图知，原几何体为如下图一正方体挖去一个与正方体等高底面是正方形的内切圆的圆锥，那么其体积为v23×12×28.应选a.13(·东北三校)一个几何体的三视图及局部数据如下图，侧视图为等腰三角

9、形，俯视图为正方形，那么这个几何体的体积等于()a. b. c. d.答案a解析由三视图知，这是一个四棱锥，其底面为正方形，一条侧棱垂直于底面其长度为2，底面正方形对角线长为1，边长为，体积v×()2×2.14(文)一等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的外表积为24，一圆锥与此圆柱一个底面重合，顶点在另一个底面上，那么此圆锥的外表积为_答案4(1)解析设圆柱底半径为r，那么2r22r·2r24，r2，圆锥的底半径为r2，高为4，母线长l2，圆锥的外表积sr2rl444(1).(理)圆锥的高为4，侧面积为15，其内切球的外表积为_答案9解析设圆锥底面半径为r(r>

10、;0)，那么母线长l，由rl15得r·15，解之得r3，l5.设内切球半径为r，作出圆锥的轴截面如图，那么bdbo13，pd532，po4r，odpb，r24(4r)2，r，球的外表积s4r29.15(文)(·安徽省淮南市模拟)如图是以正方形abcd为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形efgh为截面，且abbc，ae1，bfdh2，cg3.(1)证明：截面四边形efgh是菱形；(2)求几何体cefgh的体积解析(1)证明：因为平面abfe平面cdhg，且平面efgh分别交平面abfe、平面cdhg于直线ef、gh，所以efgh.同理，fgeh.因此，四边形efgh

11、为平行四边形因为bdac，而ac为eg在底面abcd上的射影，所以egbd.因为bf綊dh，所以fhbd.因此，fheg.所以四边形efgh是菱形(2)解：连接ce、cf、ch、ca，那么vcefghvvcabfevcadhe，其中v是几何体的体积，ae1，bfdh2，cg3且几何体是以正方形abcd为底面的正四棱柱的一局部，所以该几何体的体积为v()2×24，vcabfe×s四边形abfe×bc×(aebf)×ab×bc×(12)××1.同理，得vcadhe1，所以，vcefghvvcabfevcadh

12、e4112，即几何体cefgh的体积为2.(理)(·江西文)如图在abc中，b，abbc2，p为ab边上一动点，pdbc交ac于点d，现将pda沿pd翻折至pda，使平面pda平面pbcd.(1)当棱锥apbcd的体积最大时，求pa的长；(2)假设点p为ab的中点，e为ac的中点，求证：abde.解析(1)令pax(0<x<2)，那么appdx，bp2x，因为appd且平面apd平面pbcd，故ap平面pbcd.所以vapbcdsh(2x)(2x)x(4xx3)令f(x)(4xx3)，由f (x)(43x2)0，得x.当x(0，)时，f (x)>0，f(x)单调递增

13、；当x(，2)时，f (x)<0，f(x)单调递减所以，当x时，f(x)取得最大值，即当vapbcd最大时，pa.(2)设f为ab的中点，连接pf，fe，那么有ef綊bc，pd綊bc，ef綊pd，四边形efpd为平行四边形，depf.又appb，所以pfab，故deab.16(·新课标全国文，19)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱垂直于底面，acb90°，acbcaa1，d是棱aa1的中点(1)证明：平面bdc1平面bdc；(2)平面bdc1分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比分析(1)证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直；(2

14、)平面bdc1分棱柱成两局部，下面局部badc1c为四棱锥，可直接求体积，上面局部可用间接法求得体积，从而确定两局部体积之比解析(1)由题设知bccc1，bcac，cc1acc，所以bc平面acc1a1.又dc1平面acc1a1，所以dc1bc.由题设知a1dc1adc45°，所以cdc190°，即dc1dc.又dcbcc，所以dc1平面bdc.又dc1平面bdc1，故平面bdc1平面bdc.(2)设棱锥bdacc1的体积为v1，ac1.由题意得，v1××1×1.又三棱柱abca1b1c1的体积v1，所以(vv1)v111.故平面bdc1分此棱

15、柱所得两局部体积的比为11.点评此题考查线面的位置关系及几何体体积的求法求解几何体的体积时，假设遇不规那么的几何体时，经常采用割补法和间接法求其体积1用正方体搭几何体，使它的正视图和俯视图如下图，那么符合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是()a9,13 b7,16 c10,15 d10,16答案d解析由俯视图知底层有七个小正方体，结合正视图知，最左边一列，最多都是三层，最少只有一行是三层，故左边一列最多9个、最少5个；中间一列最多都是二层有6个，最少只有一行二层，共4个；右边一列只一层一行，故最多96116个，最少54110个2一个几何体的三视图如图，该几何体的外表积为()a280 b29

16、2 c360 d372答案c解析由三视图知该几何体是两个长方体的组合体，上面的长方体的外表积为(6×8)×2(8×2)×26×2140.下面的长方体的外表积为(10×8)×2(10×2)×2(8×2)×26×2220.故外表积为140220360.选c.3如图，在多面体abcdefg中，ab、ac、ad两两互相垂直，平面abc平面defg，平面bef平面adgc，abaddg2，acef1，那么该多面体的体积为()a2b4c6d8答案b解析补成长方体abmcdefn并连接cf

17、，易知三棱锥fbcm与三棱锥cfgn的体积相等，故几何体体积等于长方体的体积4.应选b.bce将此几何体分割为两局部，设平面bce与dg的交点为h，那么abcdeh为一个直三棱柱，由条件易证eh綊fg綊bc，平面bef平面chg，且befchg，几何体befchg是一个斜三棱柱，这两个三棱柱的底面都是直角边长为2和1的直角三角形，高都是2，体积为4.2如图(2)，几何体abcdefg也可看作棱长为2的正方体中，取棱an、ek的中点c、f，作平面bcgf将正方体切割成两局部，易证这两局部形状相同，体积相等，vabcdefg×234.4在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥

18、的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()答案b解析球与正三棱锥底面的切点为底面正三角形的中心，故在截面图中，此切点将截面三角形的这一条边(底面正三角形的高)分为12两局部，截面过三棱锥的高和一条侧棱，故截面图中球大圆与侧棱外离且圆心在三角形的高(即棱锥的高)上，这条高应是顶点与底面中心的连线段，应选b.5四棱锥pabcd的底面为正方形，侧面pad为等边三角形，且侧面pad底面abcd，点m在底面正方形abcd内(含边界)运动，且满足mpmc，那么点m在正方形abcd内的轨迹一定是()答案b解析由满足条件mpmc，可知点m应在线段pc的所有中垂线构成的平面内，又点m在正方形abcd内，所以点m的轨迹平面与平面abcd的交线，那么必为直线，故d