（整理版）相关性和最小二乘估计易错点例析

1、相关性和最小二乘估计易错点例析根据统计数据作出散点图，判定两个变量且有线性相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程，并利用回归方程进行预测和估计，这是一个完整的双变量统计的过程。在这一统计分析过程中，有以下几点易于出错，初学者要特别注意。一、把函数关系当作相关关系例1、以下两变量中具有相关关系的是a正方体的体积与边长；b匀速行驶的车辆的行驶距离与时间；c人的身高与体重；d人的身高与视力错解：选a或b。分析：函数关系的两个变量之间是一种确定的关系，而相关关系的两个变量之间是一种不确定的关系，因此，不能把相关系等同于函数关系。本例中，a和b都是函数关系，d那么无相关关系。正解选c。例2、以下各

2、关系中，不属于相关关系的是a名师出高徒b球的外表积与体积c家庭的支出与收入d人的年龄与体重错解：选a。分析：正解选b，球的外表积与体积之间是函数关系。二、把不相关或非线性相关当作线性相关时的年降雨量？年平均气温年降雨量mn748542507813574701432错解：按照最小二乘法可求出这两个变量之间的线性回归方程，进而计算出估计值；分析：以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，作出相应的散点图如下：可以发现图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有相关关系，没必要用回归直线进行拟合，用最小二乘法公式求得回归直线也是没有意义的。例4某机构曾研究温度对某种细菌的影响，在一定温度下，经x时间，细菌

3、的数量指数为y，数据如下：(1,2) (2,5) (3,10) (4,17) (5,26)(6,37) (7,50) (8,65) (9,82) (10,101)问：关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？错解：判断两个变量是线性相关，按最小二乘法的步骤，求出线性回归方程；分析：事实上我们观察可以发现2121，5221，10321，,17421，,26521，因此，我们可以认为x与y之间的关系是y=x2+1，并非是线性相关关系。防止这类错误的方法很简单，那就是根据已经数据作出散点图，进行曲线拟合，从而判断两个变量是线性相关还是非线性相关或不相关。 三、把估计值当作实际值例5一位母亲记录了她儿子

4、3到9岁的身高，数据如下表：年龄(岁)3456789身高()10由此她用最小二乘法求出了身高y与年龄x的回归直线方程，并预测儿子10岁时的身高，那么以下的表达正确的选项是( )（a） 儿子10岁时的身高一定是145.83（b） 儿子10岁时的身高在145.83以上（c） 她儿子10岁时的身高在145.83左右（d） 她儿子10岁时的身高在145.83以下错解：a分析：显然，年龄与身高之间是一种相关关系，利用最小二乘法求出的回归方程是对两个变量的最正确线性拟合，我们可以利用回归方程对数量变化做出预测，但这只是估计事物开展的一个最可能出现的结果，并非一定出现。实际上，身高并非只由年龄一个因素决定，

5、儿子10岁时的身高比预测值有误差也是正常的，正确答案为c。四、计算失误例6回归直线的回归系数b的估计值是1.23，5，4，那么回归直线的方程是( ) a=1.23x4 b=x+1.23 c=1.23x+0.08 d错解：b分析：回归直线方程为bxa，其中b是回归系数，而一次函数的习惯写法为yaxb，错解把它们混淆了。对回归方程bxa有ab，即ba，因此回归直线一定经过点，。正确答案为c。例7为分析初中升学的数学成绩对高一学生学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了10名学生，他们的入学成绩与期末考试成绩如下表：学生编号12345678910入学成绩63674588817152995876期末成绩65785282928973985675（1） 假设变量与之间具有线性相关关系，求出回归直线的方程；（2） 假设某学生的入学成绩为80分，试估计他的期末成绩错解： 1故所求线性回归直线方程是2某学生入学成绩为80分，代入上式可求得。显然这是不符合实际的。分析：错解求出a、b后，把回归直线方程公式中bxa的a、b位置互换了；事实上，回归方程应为，把这个学生的入学成绩80代入这个方程可出，即这个学生期末成绩的预测分值约为84分。一般地，用最小二乘法求回归