（整理版）直线与圆的方程中的六种数学思想方法

1、直线与圆的方程中的六种数学思想方法例1 设k，a是实数，要使关于x的方程 |2x-1|=k(x-a)+a 对于k的一切值都有解，求实数a的取值范围 解 在平面直角坐标系中分别画出 l1：y=|2x-1|和l2：y=k(x-a)+a的图象(如图)，其中l2是过点m(a，a)且斜率为k 的直线系，l1是折线y=2x-1(x)和y=-2x+1(x<)由图形的直观性可知要使原方程对于k的一切值都有解的几何意义是直线l2绕点m(a，a)旋转时都与折线l1相交，点m必须位于过c(，0)的两条射线上或射线的上方 a1 例2 定点a(1，1)， b(3，3)，动点p在x轴上，假设apb取得最大值，那么点

2、p的坐标是( )a.这样的点p不存在 b(，o) c(，o) d(，o) 分析 由a、b两点坐标及位置特点，可以看出，动点p在x轴正半轴上的某个位置可能使么apb取最大值，此题假设设p(x，o)，用到角公式表示出tanapb，再求使之取得最大值时的p点坐标显然较繁而利用平面几何中的圆外角小于圆周角，设过ab且与x轴正半轴相切的圆与x轴的切点为p，(如图)那么p点即为所求的点，而|op|2=|oa|·|ob|=·=6 |0p|=，点p(，0)， 应选d 例3 求与点p(4，3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程解 (1)假设截距ao，可设直线方程为： +=1 即x+

3、y-a=0 由：=5可得：a=7士3 (2)假设截距a=o，由于op所在的直线方程为 y=x，且|op|=5 所求直线方程为y=-x 综上，所求直线方程为 x-y-7-5=0或x+y-7+5=0或4x+3y=o 对含有参数的数学问题求解时要注意运用分类讨论的数学思想，正确、严密地求解 例4 讨论直线l：3x+4y+m=0与圆c：x2+y2-2x=o的位置关系 分析 先求得圆c的圆心c(1，o)和半径 r=1，再得圆心c到直线l的距离d=，最后按d<r、d=r、d>r三种情况讨论直线与圆相交、相切、相离时m的取值范围 解 当d=<1，即-8<m<2时，直线与圆相交；

4、 当d=1，即m=-8或m=2时，直线与圆相切； 当d=>1，即m<-8或m>2时，直线与圆相离 例5 直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论a为何值，直线总过第一象限(2)为使这直线不过第二象限，求a的范围解 (1)将方程整理得为a(3x-y)+(-x+2y-1)=o对任意实数a，恒过直线3x-y=o与x-2y+1=0的交点(，)， 直线系恒过第一象限内的定点(，)；(2)当a=2时，直线为x=不过第二象限；当a2时，直线方程化为：y=x-，不过第二象限的充要条件为 或 a>2，总之，a2时直线不过第二象限 例6 过点p(2，1)作直线l，与x轴、y轴正

5、半轴分别交于a、b两点，| pa|·| pb|的最小值及此时l的方程 分析 此题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法 解 设直线ab的倾斜角为(<<), 那么直线ab的参数方程为 令x=o，那么得b点所对应的参数t=-， 令y=o，那么得a点所对应的参数t=- |pa|·|pb|=|-|·|-|= 当a=时|pa|·|pb|有最小值4，此时直线l的方程为 即 的思想：根据给定条件求直线和圆方程时，待定系数法和代点法是常用的方法 例7 直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过一定点p(6，-2)，求直线的方程

6、 解法一 设直线l的方程为+=1 直线l过点(6，-2)， -=1 又a=b+1代入整理得b2-3b+2=o，解之b1=1，b2=2，a1=2，a2=3代入得所求的直线方程为x+2y-2=o或2x+3y-6=o解法二 设所求直线l的斜率为k，又直线l过定点p(6，-2)，于是直线l的方程是y+2=k·(x-6)，即+=1.依题意知+6k+2=1,k=-或k=-.直线l的方程是y+2=-(x-6)或y+2=-(x-6)，即x+2y-2=o或2x+3y-6=o 例8 abc中，a点坐标为(1，2)， ab边和ac边上的中线方程分别为5x-3y-3=o和7x-3y-5=o，求bc边所在直线

7、方程 分析 欲求bc边的方程，没有直接的条件，可设b(x1，y1)，c(x2，y2)，然后用两点式得方程解 设c(x1,y1)，ab中点坐标为(，)那么 解得：x1=3，y1=4，c(3，4) 说明 此题由代点法，结合解方程组比直接由方程求交点要简单得多，同理可求得 b(-1，-4)，由两点式得直线bc方程为2x-y-2=0 5.化归的思想. 利用转化的思想可把较繁的问题简单化 例9 求函数y=+的最小值分析 此函数的定义域为r，如果从代数的角度考虑，确实比拟复杂；如果借助于两点间的距离公式，转化为几何问题，那么是非常的容易解 y=+=+ 令a(o，1)，b(2，2)，p(x，o)，那么问题转化为：在x轴上求一点p(x，o)，使得|pa|+|pb|取得最小值 a关于x轴的对称点为a(o，-1)， (|pa|+|pb|)min=|ab|= 6.函数、方程、不等式思想 例10 两条平行直线分别过点p(-2，-2)，q(1，3)，它们之间的距离为d，如果这条直线各自绕点p、q旋转并互相保持平行 (1)求d的变化范围 (2)用d表示这两条直线的斜率 (3)当d取最大值时，求这两条直线的方程 解 当过p、q的两条直线的斜率为o时， d=5；当这两直线斜率不存在，即与x轴垂直时， d=3 设l1：y+2=k(x+2)；l2：y-3=k(x-1) (1)由平行线间的距离公式得d=即(d2-