数学中考-圆、圆柱、圆锥

1、圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转360°形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱(circular cylinder)，即以AG矩形的一条边为轴，旋转360°所得的几何体就是圆柱。定义 1、以矩形的 一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转360°形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱(circular cylinder)，即AG矩形的一条边为轴，旋转360°所得的几何体就是圆柱。其中AG叫做圆柱的轴，AG的长度叫做圆柱的高，无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线 。DA和D'G旋转形成的两个圆叫做圆柱的底面，DD'旋转形成的曲面叫做

2、圆柱的侧面。2、在同一个平面内有一条定直线和一条动线，当这个平面绕着这条定直线旋转一周时，这条动线所成的面叫做旋转面，这条定直线叫做旋转面的轴，这条动线叫做旋转面的母线。如果母线是和轴平行的一条直线，那么所生成的旋转面叫做圆柱面。如果用垂直于轴的两个平面去截圆柱面，那么两个截面和圆柱面所围成的几何体叫做直圆柱，简称圆柱。分类 直体 直圆柱也叫正圆柱、圆柱，就是底面和顶面是同样半径（r）的圆，并且两圆圆心的连线和顶面、底面的互相垂直，并且我们可以得知，圆柱侧面展开图是长方形1  。直圆柱 高：h底面半径：r底面直径：d D=2r侧面积：S=总表面积：T= 体积：V= 底面积：A;B 斜

3、体 所谓的圆柱就是顶面和底面是同样半径(r)的圆，两圆圆心的连线和顶面、底面不互相垂直，并且我们可以得知，圆柱侧面展开图是平行四边形形。斜圆柱 S= T= V=Ah=Bh=圆柱的底面是两个完全相等的圆，圆锥只有一个底面是个圆。两个底面之间的距离叫做圆柱的高。圆柱有无数条高，且高的长度都相等。圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有一条高。圆柱和圆锥的侧面是曲面。但圆柱的侧面展开图是正方形或长方形（沿高剪），而圆锥的侧面展开图是一个扇形。体积圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积求圆柱的体积跟求长方体、正方体一样，都是底面积×高：设一个圆柱底面半径为r，高为h，则体积V=r*

4、rh如S为底面积，高为h，体积为V：V=Sh，也可以是V=r*rh面积计算圆柱的侧面积=底面的周长×高。2  S侧=Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高）圆柱的底面积=r*r;圆柱的表面积圆柱的表面积=侧面积+两个底面积（s表=s侧+2s底）S表=2r*r+2rh 或 ，s侧=dh，s底=r²组成名称圆柱的两个完全相同的圆面叫做底面（又分上底和下底）；圆柱有一个曲面，叫做侧面；两个底面的对应点之间的距离叫做高（高有无数条）。特征：1、圆柱的底面都是圆，并且大小一样。2、圆柱两个面之间的垂直距离叫做高，把圆柱的侧面打开，得到一个长方形，这个长方形的长就是圆柱的底周

5、长。 与圆锥的关系等底等高的圆锥积是圆柱体积的三分之一。体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。等底等高间圆柱与圆锥之间的侧面积之比关系为 S圆柱侧/S圆锥侧=【（360²-n²）】/180 其中n为圆锥展开后的圆周角度数。圆锥圆锥是一种几何图形，有两种定义。解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥

6、的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。（边是指直角三角形两个旋转边）定义 圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。注意：圆锥不是特殊的圆柱。组成圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；1  圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就

7、是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。测量 高 （l：母线长，r：底面半径）底面周长 （r：底面半径， ：侧面展开图圆心角弧度，l：母线长）表面积 一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。全面积（S）=S侧+S底 其中，S侧= （r：底面半径，l：圆锥母线， ：侧面展开图圆心角弧度）体积 圆锥 一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积。一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。根据圆柱体积公式V=Sh（V=r2h），得出圆锥

8、体积公式： ，其中S是圆柱的底面积，h是圆柱的高，r是圆柱的底面半径。圆锥证明：把圆锥沿高分成k分 每份高 ，第 n份半径： ，第 n份底面积： 第 n份体积：，总体积: 总体积: 当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积， 越接近于0 V圆柱 ， V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的 绘制方法 体展开图 圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的底面）组成。(如右图） 在绘制指定圆锥的展开图时，一般知道a（母线长）和d（底面直径）弧AB=O的周长 弧AB=d弧AB=2a(1/360°) 2a(1/360°)=d2a(1/360°)=d将a,d带入2a(1/3

9、60°)=d得到1的值。这样绘制展开图的所有所需数据都求出来了。根据数据即可画出圆锥的展开图。母线长等于底面圆直径的圆锥，展开的扇形就是半圆。所有圆锥展开的扇形角度等于（底面直径÷母线）×180度。三视图 圆锥三视图是观测者从三个不同位置观察而画出的图形。其主视图和侧视图均为等腰三角形，俯视图是一个圆和圆心。应用 生活中沙堆、漏斗、帽子、陀螺、斗笠、铅笔头、钻头、铅锤等都可以近似地看作圆锥。圆锥在日常生活中也是不可或缺的。圆当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。圆是一种几何图形

10、。根据定义，通常用圆规来画圆。 同圆内圆的半径长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。圆是轴对称、中心对称图形。对称轴是直径所在的直线。 同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是概念性的图形。目录1 相关概念 2 字母表示 3 计算公式 4 位置关系 5 圆的性质 6 相关定理 7 圆的方程 8 关于圆的习题 9 绘制圆 10 圆的历史 相关概念 圆 1 在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆1  （circle）。这个定点叫做圆的圆心。圆形一周的长度，就是圆的周长

11、。【注：圆的第二定义平面内一动点到两定点的距离的比，等于一个常数，则此动点的轨迹是圆。】2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r（radius）。3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d（diameter）。直径所在的直线是圆的对称轴。4 连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）.在同一个圆内最长的弦是直径。直径所在的直线是圆的对称轴，因此，圆的对称轴有无数条。5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）以字母l表示。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，所以半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是用三个字母表示，劣弧用两个字母表示。优弧是所对心周角大于

12、180度的弧，劣弧是所对圆心角小于180度的弧。圆的周长公式 ，圆的面积公式 。（以此类推，半圆的周长公式： ，面积公式： ）6 顶点在圆心上的角叫做圆心角（central angle）。7 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。8 由圆心角的两条半径和圆心角所对应的一段弧围成的图形叫做扇形（sector）。9 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用字母 表示， =3.14159265计算时通常取3.14。我们可以说圆的周长是直径的倍，或大约3.14倍，不能直接说圆的周长是直径的3.14倍！11

13、圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。13 把圆分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽相当于圆的半径。14.能完全重合的两条弧叫做等弧。15.圆只包括外面的一个圈，圆不是一个平面。16能够重合的两个圆叫等圆。字母表示 圆 ；半径r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；圆心O；弧；直径d ；扇形弧长L ； 周长C ； 面积S。计算公式 1.圆的周长 2.圆的面积 3.扇形弧长L=圆心角（弧度制） * r = nr/180（n为圆心角）4.扇形面积S=n r²/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5.圆的直径

14、 d=2r6.半圆的周长 c=r+2r7.圆周长的一半 c=r8.圆锥侧面积 S=rl（l为母线长）9.圆锥底面半径 r=n/360L（L为母线长）（r为底面半径）圆的周长公式推导（此方面涉及到弧微分）设圆的参数方程为 ， 圆在一周内周长的积分代入，可得即 圆的面积计算公式-圆周率 S-面积 C-周长 r-圆半径d-圆直径圆的面积计算公式：S = ×r²=3.1416×r²圆周长计算公式：C = 2××r(圆的面积说白了一点就是:半径乘于半径乘于3.14)已知圆的面积求直径：直径：2(面积÷圆周率)2  扇形的弧长

15、公式角度制计算, l是弧长，n是扇形圆心角，是圆周率，r是底圆半径弧度制计算，l是弧长，|是弧l所对的圆心角的弧度数的绝对值，r是底圆半径扇形面积公式R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，是圆周率，L是扇形对应的弧长。也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n，如下：（L为弧长，R为扇形半径）推导过程:S=r²×L/2r=LR/2(L=·R)位置关系 点和圆位置关系P在圆O外，则 PO>r。P在圆O上，则 PO=r。P在圆O内，则 PO<r。反过来也是如此。平面内，点P(x0,y0)与圆(x-a)²+(y-b)²=r&

16、#178;的位置关系判断一般方法是：如果(x0-a)²+(y0-b)²<r²，则P在圆内。如果(x0-a)²+(y0-b)²=r²，则P在圆上。如果(x0-a)²+(y0-b)²>r²，则P在圆外。直线和圆位置关系直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与O相交，d<r。直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。圆心与切点的连线垂直于切线。AB与O相切，d=r。（d为圆心到直

17、线的距离）平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为（x

18、-a）²+（y-b）²=r²令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交。圆和圆位置关系无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。设两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为P，则结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P<R-r；内切P=R-r；相交R-r<P<R+r。圆的性质

19、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。圆心角计算公式：=(L/2r)×360°=180°L/r

20、=L/r(弧度)。即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。有关外接圆和内切圆的性质和定理一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。R=2S÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。（4

21、）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。（8）周长相等，圆面积比正方形、长方形、三角形的面积大。相关定理 与切线有关的定理垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：（1）经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。切线长定理：

22、从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。切割线定理圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点 ， 则有pC2=pA·pB割线定理与切割线定理相似 两条割线交于p点，割线m交圆于A1 B1两点，割线n交圆于A2 B2两点，则pA1·pB1=pA2·pB2。垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。弦切角定理弦切角等于对应的圆周角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）圆的方程 1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b）2=r2。特别

23、地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x2+y2=r2。2、圆的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有：（1）、当D2+E2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（D2+E2-4F）/2为半径的圆；（2）、当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；（3）、当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。3、圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cos, y=b+r*sin, （其中为参数）圆的端点式：若已知

24、两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的 圆的方程为 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。经过圆 x2+y2=r2上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0*x+b0*y=r2在圆（x2+y2=r2）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r2。4、圆的三点式方程：过不共线的三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)的圆的方程为3  绘制圆 一般情况下可用圆规画出圆形，或用一段绳子，一头固定在地上，一头转，就能转出圆

25、，绳子越长，圆越大。在AutoCAD“绘图”下拉菜单中，列出了6种“圆”的绘制方法，简述如下：圆的历史 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很像圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子圆型的木盘。大约在4

26、000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母表示。它是一个无限不循环小数，=3.1415926535但在实际运用中一般只取它的近似值，即3.14.如果用C表示圆的周长：C=d或C=2r.周髀算经上说"周三

27、径一"，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给九章算术作注时，发现"周三径一"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，= 3927/1250。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示