数学分析(华东师大版)上第九章9-4

1、4 定积分的性质一、定积分的性质 本节将讨论定积分的性质, 包括定积分的线性性质、关于积分区间的可加性、积分不等式与积分中值定理, 这些性质为定积分研究和计算提供了新的工具.二、积分中值定理 , ( )d( )d .bbaaa bk f xxkf xx在在上上也也可可积积，且且证证( )d .baJf xx记记 ,fa b由由在在上上可可积积 故故一、定积分的性质10,0,iiiTxx 当当时时, ,对对一一切切1().1niiifxJk 从而从而性质性质1 k 为常数为常数, 则则 k f 若若 f 在在 a, ,b 上可积，上可积，11()()nniiiiiik fxkJkfxJ因此因此

2、, ,kfa b在在可可积积.d)(d)(babaxxfkxxkf且且性质性质2 , , ,f ga b若若在在上上可可积积 , fga b则在上则在上可积可积, 且且( )( )d( )d( )d .bbbaaaf xg xxf xxg xx证证12( )d ,( )d .bbaaJf xx Jg xx 记记于于是是0 0, ,10,1,2, ,iiiTxxin 当当时时，.1kk 11(),2niiifxJ 21().2niiigxJ 从而从而121()()()niiiifgxJJ 1211()()nniiiiiifxJgxJ.22 因此，因此，f g 在在 a, b 上可积上可积, 且且

3、性质性质3, , , fga bf ga b若若在在上上可可积积，则则在在上上证证, , , f ga ba b因因在在上上可可积积， 故故在在上上都都有有界界, ,0, , ,( ),( ).Mxa bf xMg xM即即 0,;2fiiTTxM 存存在在分分割割使使又又存存在在分分.2giiTTxM 割割，使使( )( )d( )d( )d .bbbaaaf xg xxf xxg xx.也可积也可积TTT 令令( TTT表表示示把把与与的的所所有有分分割割点点合合并而成的新分割并而成的新分割 ), 则则sup() ()() (),fgiif x g xf xg xx x sup()()()

4、g xf xf x ()()(),if xg xg xx x .gifiMM 于是于是TigiTifiTifgixMxMx TigiTifixMxM .22 MMMM , ,fa cc b在在与与上上都都可可积积. . 此此时时且且有有( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx0, , ,a cc bTT 与与上上分分割割与与使使得得因此因此 f g 在在 a, b 上可积上可积. .性质性质4 f 在在a, b上可积的充要条件是上可积的充要条件是: :),(bac 证证(充分性充分性)若若 f 在在 a, c 与与 c, b 上可积上可积, ,则则.2,2 TiiTiixx

5、 , , ,TTTa b令令它它是是的的一一个个分分割割. TiiTiiTiixxx (必要性必要性) ,0,fa bT 已已知知在在上上可可积积 则则因此因此, f 在在 a, b 上可积上可积.iiTx 使使在在T上加入分点上加入分点 c 得到新的分割得到新的分割 .T由由3习题第习题第1题题, 知道知道.iiiiTTxx , , ,Ta cc b分割在和上的部分 分别构成对分割在和上的部分 分别构成对,.iiiiiiiiTTxxxx , , cTa cT为为其其中中一一个个分分点点 则则在在的的部部分分构构成成 , , , a cc bTc b对对的的分分割割, ,在在的的部部分分构构成

6、成对对的的因此，因此，f 在在 a, c 与与 c, b上都可积上都可积. .若若 f 在在 a, b 上可积上可积, ,由必要性证明由必要性证明, ,若分割若分割 T 使点使点 , , ,a cc bTT和和的的分分割割, ,记记为为和和则则()()().,iiiiiiTTTfxfxfx 分分割割 且且0,0,0,TTT令令则则即即得得( )d( )d( )d .bcbaacf xxf xxf xx( )d( )d( )d .bcbaacf xxf xxf xx 性质性质5 , ,( ) d0.bafa bf xx若若 在在上上非非负负、 可可积积 则则证证( )d0.baJf xx若若0,

7、0,JT 对对ab若若规规定定时时注注( )d( )d ,baabf xxf xx ab时时,a b c则对的任何大小顺序 恒有则对的任何大小顺序 恒有( )d0,baf xx 因此因此, 0)(1JJxfniii ()0, 0.iifx 这这与与矛矛盾盾推论推论, , ,( )( ),f ga bf xg xx若若在在上上可可积积 且且证证( )( )( )0, , ,F xg xf xxa b设设则则().iiTfxJJ ,1iiixx ,d)(d)(d)(0bababaxxfxxgxxF( )d( )d .bbaaf xxg xx , ,a b则则 若若 f 在在 a, b 上可积上可积

8、, ,则则 | | f | |在在 a, b 上上也也性质性质6( )d( ) d .bbaaf xxf xx证证 , ,0,fa b 因因为为在在上上可可积积,T使使得得.()()()() ,fiiTxf xf xf xf x 由由1sup()(),fiiif xf xxxxx 1sup()(),.fiiif xf xx xxx ( )d( )d .bbaaf xxg xx即即可积可积, ,且且, , ffiiiiTxxfa b 故故即即在在上上可可积积. .( )( )( ) ,f xf xf x且且由由于于得得到到( ) d( )d( ) d ,bbbaaaf xxf xxf xx因此证

9、得因此证得( )d( ) d .bbaaf xxf xx 注注1( )( ),( )( ),f xg xf xg x由由但但一般不能推得一般不能推得( )d( )d .bbaaf xxg xx( )( ) , f xg xa b但但若若和和在在上连续，则可得到严格不等式上连续，则可得到严格不等式( )d( )d .bbaaf xxg xx例例1( )( ) , ,( )( ),f xg xa bf xg x设设和和在在上上连连续续000 , , , ,()(),xa bxa bf xg x且且存存在在使使则则( )d( )d .bbaaf xxg xx证证 00( )( )0,()()0,g

10、xf xg xf x且且不不妨妨设设00(,) ,xxxa b 当当时时001( )( )()() .2g xf xg xf x由连续函数的局部保号性质由连续函数的局部保号性质, , 0, 0( , ).xa b由此推得由此推得( )( )dbag xf xx000 ( )( )d ( )( )dxxaxg xf xxg xf xx 0 ( )( )dbxg xf xx 00 ( )( )dxxg xf xx 00()()22g xf x ( )d( )d .bbaaf xxg xx00()()0,g xf x 即即( )d( )d .bbaaf xxg xx此结论此结论, 由本章总练习题由本

11、章总练习题10证明证明., , f ga b由在上可由在上可注注3( )( ), ,f xg xxa b若若积,可得积,可得注注2,fg例例1 1中中条条件件与与的的连连续续性性 可可减减弱弱为为: : , ,( )( ), , ,fga bf xg x xa b和和在在上上可可积积且且000 , ,()(),fgxa bf xg x存存在在和和的的连连续续点点使使( )d( )d .bbaaf xxg xx则则二、积分中值定理定理定理9.7 ( 积分第一中值定理积分第一中值定理 ) , , , ,fa ba b 若若在在上上连连续续 则则存存在在使使( )d( )().baf xxfba 证

12、证 由于由于 f 在在 a, b 上连续，因此存在最大值上连续，因此存在最大值 M 和和()d( )dbbaam bam xf xx( ), , ,mf xM xa b因因此此最小值最小值 m. 由于由于d(),baM xM ba1( )d.bamf xxMba1( )( )d .baff xxba 1( ,),( )( )d ,baxa bf xf xxba 注注1( , )a b 还还可可以以在在内取到内取到, ,事实上若事实上若 由连续函数的介值性定理，由连续函数的介值性定理， ,a b 使使则由连续函数的介值定理则由连续函数的介值定理, 必恒有必恒有即即( )( )d ,( ,).ba

13、f xf ttxa b或或恒恒有有( )( )d ,( ,),baf xf ttxa b111( )d( )ddbbbaaaf xxf ttxbababa1( )d ,;baf xxba矛矛盾盾因此因此11( )d( )d ,.bbaaf xxf xxbaba或或矛矛盾盾注注2 积分第一中值定理的几何意义如下图所示积分第一中值定理的几何意义如下图所示: xyOab( )f ( ) , yf xa b图中在上的曲边梯形的面积,等于图中在上的曲边梯形的面积,等于1( )( )dbaff xxba 定理定理9.8 ( 推广的积分第一中值定理）推广的积分第一中值定理）, , ,( ) , f ga b

14、g xa b若若在在上上连连续续 且且在在上上不不变变号号, , , ,( ) ( )d( )( )d .bbaaa bf x g xxfg xx 则则使使 , ,( )a bf 以以为为底底为为高高的的矩矩形形面面积积. .而而( ) , f xa b可可理理解解为为在在上上所所有有函函数数值值的的平平均均值值, ,这这是是有有限限个个数数的的算算术术平平均均值值的的推推广广. .证证 ( )0, , .,( )g xxa bm Mf x不不妨妨设设若若分分别别是是( )( ) ( )( ), ,.mg xf x g xMg xxa b 0( )d( ) ( )d( )d0.bbbaaamg xxf x g xxMg xx ,a b 此此时时可可任任取取使使得得( ) ( )d0( )( )d.bbaaf x g xxfg xx ( ),g x则则因因非非负负、连连续续 必必定定使使得得( )d0,bag xx若若 , a b在上的下确界与上确界,则在上的下确界与上确界,则( )0, , ,g xxa b( ) ( )d.( )dbabaf x g xxmMg xx( ) ( )d( ),( )dbabaf x g xxfg xx ( ) ( )d( )( )d