1静电场-高斯定理ppt课件

1、C.F.Gauss德国数学家德国数学家物理学家物理学家高斯高斯(1777-1855)3 高斯定理高斯定理一一.电力线电力线用一族空间曲线形象描述场强分布用一族空间曲线形象描述场强分布通常把这些曲线称为电场线通常把这些曲线称为电场线(electric field line)或电力线或电力线 (electric line of force)1.规定规定 方向：力线上每一点的切线方向；方向：力线上每一点的切线方向；大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场强方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目强方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目，等于该点场强的量值。，等于

2、该点场强的量值。dSE大小：E 方向：电场线的画法如下:2.电力线的性质电力线的性质1)电力线起始于正电荷电力线起始于正电荷(或无穷远处或无穷远处)，终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；2)两条电场线不会相交；两条电场线不会相交；3)电力线不会形成闭合曲线。电力线不会形成闭合曲线。 之所以具有这些基本性质，之所以具有这些基本性质， 由静电场的基本性质和场的单值性决定的。由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。可用静电场的基本性质方程加以证明。点电荷的电场线正电荷负电荷+E一对等量异号电荷的电场线+E一对等量正点电荷的电场线+

3、E一对异号不等量点电荷的电场线q2q+E带电平行板电容器的电场线+E习题：一个带负电荷的质点，在电场力作用下从习题：一个带负电荷的质点，在电场力作用下从点出发经点运动到点，其运动轨道如图所示。点出发经点运动到点，其运动轨道如图所示。已知质点运动的速率是增加的，下面关于点场强方已知质点运动的速率是增加的，下面关于点场强方向的四个图示中正确的是：向的四个图示中正确的是：（）（）（C）（D）EEEE答案：（答案：（ ）EddSdSdsEdS Edsd若面积元不垂直电场强度，若面积元不垂直电场强度，电场强度与电力线条数、面积元的电场强度与电力线条数、面积元的关系怎样？关系怎样？由图可知由图可知 经过经

4、过dsds和和电力线条数相同电力线条数相同 EdsdEdsnsd cosEdsdE dS匀强电场匀强电场二二.电通量电通量 (electric flux)藉助电力线认识电通量藉助电力线认识电通量通过任一面的电力线条数通过任一面的电力线条数dE dSSSdSdsEdSE匀强电场匀强电场dE dS通过任意面积元的电通量通过任意面积元的电通量通过任意曲面的电通量怎么计算？通过任意曲面的电通量怎么计算？S把曲面分成许多个面积元把曲面分成许多个面积元每一面元处视为匀强电场每一面元处视为匀强电场dSE通过闭合面的电通量通过闭合面的电通量SEdS 讨论讨论SdEd正与负正与负取决于面元的法取决于面元的法线方

5、向的选取线方向的选取SdSE如前图如前图 知知sdE0若如红箭头所示若如红箭头所示 那那么么Eds 0sdE0电力线穿入电力线穿入电力线穿出电力线穿出三三.静电场的高斯定理静电场的高斯定理 Gauss theorem1.表述表述在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和等于这闭合面所包围的电量的代数和 。EdSqSii内00除以除以高斯定理高斯定理2r4qdS cos00+s0从点电荷特例引出此定理从点电荷特例引出此定理E.dSs=+rqdSEr=24qdS+s0=q+0讨论：讨论： 1. 假设方向相方向相dS的方向与的方向与E

6、为负值，那么为负值，那么q反反, 上式积分值为负值。上式积分值为负值。 上式中的上式中的 q 应理解为代数值。应理解为代数值。 2. 此式的意义是通过闭合曲面的电场线条数等于面内的电荷数除以真空中的介电常数。 q+qE.dS =sq0 3. 若电荷在面外，则此积分值为 0。由于有几条电场线进入面内必然有同样数目的电场线从面内出来。 4. 若封闭面不是球面，则积分值不变。 5. 若面内有若干个电荷，则积分值为： 高斯定理: 在静电场中，通过任意封闭曲面电场强度矢量的通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真空介电常数。E.dS =qis0 若空间电荷若空间电荷 连续分布，则积分值为：连续分布，则

7、积分值为： SVdVSdE06.闭合面内、外电荷的贡献闭合面内、外电荷的贡献E都有贡献都有贡献对对对电通量对电通量E dSS的贡献有差别的贡献有差别只有闭合面内的电量对电通量有贡献只有闭合面内的电量对电通量有贡献习题：一点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪一种情况，通过高斯面的电通量发生变化？（将另一点电荷放在高斯面外；（将另一点电荷放在高斯面内；（将球心处的点电荷移动，但还在高斯面内；（将高斯面半径缩小。答案：答案：(B)习题：点电荷 被曲面所包围，从无穷远处引入另一点电荷q到曲面外一点，如下图，则引入前后： (A) 曲面的电通量不变，曲面上各点的场强不变； (B) 曲面的电通量变化，曲面上

8、各点的场强不变； (C) 曲面的电通量变化，曲面上各点的场强变化； (D) 曲面的电通量不变，曲面上各点的场强变化; QqS答案：答案：(D)习题：已知一高斯面所包围的体积内电量代数和为零，则可以肯定：（高斯面上各点场强均为零；（穿过高斯面上每一面元的电通量为零；（穿过整个高斯面上的电通量为零；（以上说法均不对。答案：答案：(C)习题：如下图，一个带电量为q的点电荷位于立方体的角上，则通过侧面abcd的电通量为多少？如果放在中心处，则又是多少？qabcd00,246qq 答答 案案 ：cAabdq习题：一无限长均匀带电的空心圆柱体，习题：一无限长均匀带电的空心圆柱体，内半径为内半径为a,a,外

9、半径为外半径为b,b,电荷体密度为电荷体密度为, ,若作一若作一半径为半径为r(arb)r(arb)，长度为，长度为L L的同轴圆柱形高斯面，的同轴圆柱形高斯面，则其中包含的电量是多少？则其中包含的电量是多少？22()L ra 答答 案案 ：高高斯斯面面EL r四四. 高斯定理在解场方面的应用高斯定理在解场方面的应用利用高斯定理解利用高斯定理解E较为方便较为方便 常见的电量分布的对称性：常见的电量分布的对称性： 球对称球对称 柱对称柱对称 面对称面对称均均匀匀带带电电的的球体球体球面球面(点电荷点电荷)无限长无限长柱体柱体柱面柱面带电线带电线无限大无限大平板平板平面平面Q的分布具有某种对称性的

10、情况下的分布具有某种对称性的情况下对对例例1. 均匀带电球面的电场均匀带电球面的电场R+qr高斯面高斯面E4E =2rq得：得：0RrE2r1024qR0=q0E.dS= E2r4s 例例2. 均匀带电球体的电场。体电荷密度为均匀带电球体的电场。体电荷密度为ER0r高斯面高斯面E2r4=3R430E=R33r20=R33r203R43q.均匀带电球体电场强度分布曲线均匀带电球体电场强度分布曲线REEOR3rR0习题：图中曲线表示一种球对称性静电场的场强大小习题：图中曲线表示一种球对称性静电场的场强大小的分布，的分布，r表示离对称中心的距离，这是什么带电表示离对称中心的距离，这是什么带电体产生的

11、电场？体产生的电场？/r2rEo答案：这是半径为答案：这是半径为R的均匀带电体产的均匀带电体产生的电场。生的电场。习题：如图，求空腔内任一点的场强。解：求空腔内任一点场强，挖去体密度为 的小球，相当于不挖，而在同一位置处，放一体密度为一-的小球产生的场强的迭加。2E1E oo 1r2r0113rE 0223rE 02012133rrEEE oorr 02103)(32E1E oo 1r2r例例3. 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场例例3. 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场ES高斯面高斯面EE= E S+ E S=0例例3. 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大

12、平面的电场E=20=S0E.dS =侧侧E.dS左底左底E.dS右底右底E.dS+ssssS高斯面高斯面E=0=0E高高斯斯面面L rrE =2得：得：0EdS =侧侧EdS.ss下底下底上底上底EdSEdS+.ss=Er2l=l0均匀带电的无限长的直线均匀带电的无限长的直线, 线密度线密度对称性的分析对称性的分析rPEd取合适的高斯面取合适的高斯面lr计算电通量计算电通量SsdE两底面侧面sdEsdErlE2利用高斯定理解出利用高斯定理解出E02lrlErE02sdEsd习题：习题： 设气体放电形成的等离子体在圆柱设气体放电形成的等离子体在圆柱内的电荷体密度为内的电荷体密度为, 试计算其场强

13、分布。试计算其场强分布。rdr 2r ld=dq( )rr= 2ldrrqr0解：先计算高斯面内的电量解：先计算高斯面内的电量rdr2rlE.dS =sq0由高斯定律：由高斯定律：高斯面内的电量为：高斯面内的电量为：2rlq0022/2rErlrlE习题：习题： 设气体放电形成的等离子体在圆柱设气体放电形成的等离子体在圆柱内的电荷分布可用下式表示内的电荷分布可用下式表示式式 r 中是到圆住轴线的距离，中是到圆住轴线的距离， r0是轴线处的电荷是轴线处的电荷体密度，体密度，a 是常量。试计算其场强分布。是常量。试计算其场强分布。 0221rra 2r ld=dq( )rr1+ar20()=2 2

14、ldrr1+ar20()=2 2ldrrqr01+ra20()=la2解：先计算高斯面内的电量解：先计算高斯面内的电量rdrE.dS =sq0.= 2Er l00 la21+ ra2()1.=2Er00a21+ra2()1由高斯定律：由高斯定律：q1+ra20()= la2高斯面内的电量为：高斯面内的电量为：例例5： 金属导体静电平衡时金属导体静电平衡时,体内场强处处为体内场强处处为0。求证求证: 体内处处不带电。体内处处不带电。E dSS0qdViiV0 0证明：证明：在导体内任取体积元在导体内任取体积元dV由高斯定理由高斯定理体积元任取体积元任取证毕证毕习题：如下图，两个无限长的半径分别为

15、习题：如下图，两个无限长的半径分别为R1和和R2的共轴圆柱面，均匀带电，沿轴线方向的共轴圆柱面，均匀带电，沿轴线方向单位长为度上的带电量分别为单位长为度上的带电量分别为1，2，则在外，则在外圆柱外面，距离轴线为圆柱外面，距离轴线为r处的处的P点的电场强度大小点的电场强度大小E为：为：1202Er rP 1 2答案：答案：习题：设电荷体密度沿 x 轴方向按余弦规律 cos x分布在整个空间，试求空间场强分布。yoz平面xESx-xx xd xSddV 解：如下图，由于cosx为偶函数，故其电荷分布关于yoz平面对称，电场强度亦关于yoz平面对称，做面积为，高为2x的长方体或柱体），则利用高斯定理

16、得： VSdVSdE0 xxxSdxES00cos2 00sinxE ixE00sin E 00sin2 xS 习题：一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷 ，若保持电荷 分布不变，在该球体内挖去半径为r的一个小球，球心为O2,两球心间的距离为 O1O2=d,如下图，试求： （在球形空腔内，球心处的电场强度。 （在球体内点处的E解 (1) 由上例可知idEo023 idrEP2032)2(434 1PEid03 （2）xrddO2PO1 1PEid03 idridrEP230203243)2(434 21PPPEEE iddr)4(3230 xrddO2PO1习题：有一带球壳，内外半径分别为习

17、题：有一带球壳，内外半径分别为a和和b,电荷电荷 密度密度 =A/r,在球在球心处有一心处有一 点电荷点电荷Q，证明当，证明当=Q/2a2 时，球壳区域内的场强时，球壳区域内的场强的大小与的大小与r无关。无关。rS 证明：证明： 以以Q为圆心，半径为圆心，半径 r作一球作一球面为高斯面，则利用定面为高斯面，则利用定理与场分理与场分 布具有球对称性的布具有球对称性的特点可得特点可得204(1)SQdVE dSEr 22242()raAdVr drA rar 代代入入（）202002020201242224r)AaQ(ArAaArQE 22QAa 02AE r rdr 24 习题：一个半径为R的球体内，分布着电荷体密度= kr，式中 r 是径向距离，k是常量。求空间的场强分布.kxr0dxE.dS =s10 x24=r24Ekr40=4Ekr20R()r.kxR0dxE.dS =s10 x24=EkR4r240习题： 如下图,一厚度为a的无限大带电平板,其电荷体密度分布为 kx (0 x a)式中k 为正常数,试