9导体和电介质中的静电场(精)

1、9-1 一块很大的带电金属薄板，其电荷 面密度为0 ,离金属板为d处有一质量为m、 电荷量为的点电荷从静止释放，计算电荷 的加速度及落到板上时的速度和时间。 （忽略重力和 F 对金属板上电荷分布的影 响） 八 2om t=JL=巨曲作。矶=迤Pd a d 2om O q 一、。q解: F=qE=q=ma 7 9292有一块很大的带电金属板及一小球, 已知小球的质量为m=l.OxlO-3g,带有电 荷量q=2.0 xl0 C,小球悬挂在一丝线的 下端，平衡时悬线与金属板面间的夹角为 300,如图所示。试计算带电金属板上的电 解: TcosO =mg Tsin0 = qE 荷面密度C7 o c 2

2、Q=5.0 xl0-9(C/m2) mg m 且 9-3证明在静电平衡时，导体表面某面 元厶S所受的静电力为： 面元外侧场强可视为面元 S在外侧所产 生的场强和导体其余部分电荷所产生的场 强E之和，即：E = E； + EAS 面元 S还将在内侧所产生场强Els 证：在导体表面取面元AS 面元元外内侧 在静电平衡时，内侧的合场强（导体内 部）应为零。 E内=E + s = E _ s =0 Ej = E、s = E F=aA SEX = a4s 9-4 一质量为m、面积为S的均质薄金 属盘，放置在一无限大导体平板上，平板 水平放置，最初盘和平板都不带电，然后逐 渐使它们带电。问电荷面密度增加到

3、何值 时，金属盘将离开平板。tot 使金属板离开的条件为: 9-5在一无限大接地导体平板附近有一 点电荷q,它离板面的距离为do求导体表 面上各点的感应电荷面密度（7 o 解: mg=qE 解：因为导体是一等势面。可以设想若在 左侧对称位置上放置一带电量为的点电荷, 那么由这两个点电荷所形成的电场在板上仍 然为一等势面，即用去代替板上的感应电 荷，所产生的场是是一样的。 o =召EM =COS0 =- 一cos昭 d=r cosO E衰面= 2 cos0 COS f E-dS =EScosl80 s q 2K d2 9-6半径为厂、厂2（厂1厂2）的两个同心导 体球壳互相绝缘，现把+q的电荷量

4、给予内 球，求： （1） 外球的电荷量及电势； （2） 把外球接地后再重新绝缘，外球的 电荷量及电势； （3） 然后葩内球接地，内球的电荷量及 外球的电势的改变（设内球离地球很远）。 解：（1）由于静电感应，外球内表面电量为 q,外表面电量为+q 外球的电势为：6=4 2 4硯q （2）外球内表面电量仍为 f 外表面电量为零 外球的电势为：磅=0 设内球电量为印,内球电势为零 g 卫录. 外球的电势改变为: A r7 TT TT gq =伍-2 q) q 一 4矶厂： 9-7点电荷q=4.0 xl0-i C,处在导体球 壳的中心，壳葩内外半径分别为J?1=2.0cm 和尺2=3. Ocm ,

5、fffW 求： (1) 导体球壳的电势； (2) 离球心r = 1.0cm处的电势； (3) 把点电荷移开球心1.0cm后导体 球壳的电势。nn 怎 解：4T07?2=9-Ox 109x 3.0 x10-2 = 120(V) (2)由静电感应和电势叠加原理 4=歳仔违+匍 =90 x 10X4X10-IOXT2 - +10: =300(V) (3) 因不影响导体壳外表面电荷，所以电势 与(1)相同。 9-8有直径为16cm及10cm的非常薄的两 个铜制球壳，同心放置时，内球的电势为 2700V,外球带有电荷量为8.0 xl0-9C,现 把内球和外球接触，两球的电势各变化多少?4.0 xl010

6、 电势为q,电量为的 =l.Ox log 两球接触后，内球电荷 6 全部移至外球 壳，两球为等势体。 r r Qi 狀=2.03X103(V) Ac =2.7xl03 - 2.03xl03 = 6.7xlO2(V) 解: 设电量50 xl0-2TO0i 8X)2L1Qi = RJnn 怎 外球电势不变。 9-9半径为7?x= 1.0cm的导体球，带有电荷 q产l0 xl(poC,球外有一个内、外半径分别 分尺2=3.0cm、/?3=4.0Cm的同心导体球壳, 壳上带有电荷Q = llx 10loC,试计算： (1) 两球的电势E和 (2) 用导线把球和壳联接在一起后4和 匕分别是多少？ (3)

7、 若外球接地，E和q为多少？ 解：(1)内球电势为 TT 1 f Ql Ql Q1+Q1 =3.3xlO2(V) 外球电势 =9.0 x1lxlO10 1x1010 12x10】。 4xl0-2 丿 nn 怎 =2.7xlO2(V)U2 = Qi+0 环圧=90 xl09x 12x10 (2) 联接后 S=4=|=2.7X102(V) (3) 外球接地 u；=o 内球电势 5=歳炭卸=60(V) 9-10两块无限大带电平板导体如图排列, 其电荷面密度总是大小相等而符号相反； (2)背向的两面上(图中的1和4),其电 荷面密度总是大小相等且符号相同。 1B2 3B4证明中的2和3), 厂 6 亠

8、2： g。go go go g O g o g o g。一 U a1s4aas = g1 O3s4J4S=q2 解：设两个板四个面的电荷面密度分别为 静电平衡时，导体内部任意一点的场强为零 O 1 O 2 。3 。4 =0 绪口录 解得: 2S 200cm2 3 4 5 6, A、E 间相距4.0mm, A、C 间 相距2.0mm, E和C两板都接地。如果使A 解：设&板带电为q=qi+q2, E、C两板的感 应电荷分别为q】良q2。 UUR = U厂 Uc EB JAB = Eg dAC 7 7 Ql _ EAE _ AC _ 丄 q? EAC dAB 2 q 严 1.0 xl0-7

9、(C) q2= 2.0 xl07(C) q-Qi= -1 .Ox 107(C) q；= -$2= 2.0 x 107(C) 9-11 三平行金属板A、E、 C面积均为 板带(1) B. C结JR mm 4mm 9-12两个半径相同的金属球，其中一 个是实心的，另一个是空心的，电容是否相 同？如果把地球看作半径为6400km的球形 导体，试计算其电容。 解：两导体的电容相同 地球的电容为: =7. lx 104(F)C= 47竝 R = 600 x10结JR 9-13如图所示，证明A、E间的总电容等 于C?的条件是C2=0.618C1O 9-14 如图，ClO/zF, C2=5.0/F, C3=

10、5.0/FO (1) 求右、E间的电容： (2) 在A、E间加上100V的电压， 求C?上 的电荷量和电压； (3) 如果q被击穿， 问Q上的电荷量和电 压各是多少？ 证: C2 + 3 2 龙? 解: C,12 = C1+C2 = 100+50= 15(“F) %為毒也75(F) C3 5 如4讦 G2+G%=5+15X1 =25(V) Q2=C2=5.0X10-6X25 = 1.25xlO-4(C)(1) HR q=/ = 100(V) Q3=C3tA=5.0 xl0-6xl00 =5.0 xl0-4(C) 9-15 如图，CC2=C2.0JLIF9 C3=C5=C6=4.0Z/F O (

11、1)(1) 求A、E间的电容； (2)(2) 如A、间的电压为200V,求每块 板上的电荷量； (3)(3) 求出每一电容器中贮藏的能量。 1 =丄+丄亠丄=丄+丄 1 7.0 C(r2 c13 C4-2.0 6.0+2.0=6.0 Cq =086“F 丄=丄+丄=丄斗丄 cb c6 4.0 4.0 Cb=20F 解: CAB = q+ q =286F QS = Q6 = CbUAH= 2.0 x10-x200 =4.0 xl04(C) Q2 = Q4 = Qia = C(lUAB= 0.86x10-6x200 = 1.72xlO-6(C) 9-16 一块相对电客率名=5的扁平电介质， 垂直放

12、置于D = lC/m7 8 9的均匀电场中，已知 电介质的体积为0Im%并且是均匀极化， 求： （1） 电介质里的电极化强度； （2） 电介质总的电偶极矩。 9-17 一扁平的电介质板广5垂直放在 一均匀电场里，如果电介质表面上的极化 电荷面密度为O =0.5C/m2,求： （1） 电介质里的电极化强度和电位移; （2） 介质板外的电位移； （3） 介质板里和板外的场强。 Q - 9O13 _ 20 i 7X i n-4 解. nrv 8 = (5-l)y = 0.8(C/m2) 9 Z P = 0.8x0.l = 0.08(C.m) 解： P = & =0.5(C/m2) D=T=4

13、 = 0*67(c/m2) D，= )=0.67(C/m2) 尸_卫 0.67 8.85x1012x4 = 1.89xl010(V/m) F _ D 0.67 8.85x1012 =7.57xl010(V/m)9-18平板电容器极板间的距离为d保持 极板上的电荷不变，把相对电容率为名厚度 为5 (尺），通过其中心的平 面把它一分为二，其中一半是空气，另一半 充满相对电客率为名的电介质。试证明其电 容等于用相对电容率为込 的电介质充满 2 全部电容器的电容。 4碣 9-22 一个可变电容器，由于某种原因使 所有动片相对定片都产生了一个相对位移， 使得两个相邻的极板间隔之比为1： 2,问 电容器的

14、电容与原来的相比改变了多少？ C=2C0= 2 QS 解：设原来相邻动片与定片之间的距离 为d,相对面积为S。 设定将共有伍-1）单元。 每个单元相当于两个相同的 电容器并联，其电容为： C=2C =2 穿 a 变化后每个单元的电容为： 每个单元电容的改变为： AC=C-C = 4d 整个电容器电容的改变为： m第 9-23两块相互平行的大金属板，板面积 均为S,间距为d用电源使两板分别维持在电 势卩和零电势，现将第三块相同面积而厚度 可略的金属板插在两板的正中间， 已知该 板上原带有电荷量q,求该板的电势。4d 解：未插入带电导体片时，AE间场强都为 插入带电导体片后，右E间场强变为 F_q

15、 9-24 一平板电容器（极板面积为S间距为 d）中充满两种介质（如图），设两种介质在 极板间的面积比（SX/S2）=3,试计算其电容。 如两电介质尺寸相同，电容又如何？ 解：设第一种介质所占面积为S第二 种介质所占面积为&S。 一込/（S-SJ 5 =帀 2 = 两个电容器并联 c= C1+C2 =（6-印 Si%S2 L 線 当 =oS 时 d （3 遥）S 一 4d C （4吃）S C=2d 9-25平板电容器（极板面积为S间距为 d）中间有两层厚度各为久和&（d产必+久）、 电容率各为&和乞的电介质，试计算其电容。 如,则电容又如何？ 解：相当于两个电容器串联

16、结1R 口录 9-26 一平行板电容器的电容为lOOpF, 极板的面积为100CH12,极板间充满相对电 容率为5.4的云母电介质，当极板上电势差 为50V时，求： （1） 云母中的场强E； （2） 电容器极板上的自由电荷； （3） 云母介质面上的极化面电荷； G= HR (1) c/s P ALT LUC LUC d = S = QrS = 50 x100 x1012 _ 5.4x8.85xl012xl00 xl0-4 = l.lxlO4(V/m) Q = C l/=100 x 1012x50 =5.0 x 10 9(C) F=(l-古)b Q = b S =( 1-吉)bS=(i一吉)Q

17、= (1-54)X5X 10-9 =4.1 x 10-9(C)輪1C卫老 解：E= L4xl06x8.85x 1012x lOOx IO10 11 =7.2 (2) Q =( 1-吉Q = (1-2 )x8.9xl0-7 =7.7xlO*7(C) 9-28在一平行板电容器的两板上带有等 值异号的电荷，两板间的距离为5.0mm, 充以名=3的介质，介质中的电场强度为 1.0 xl06V/m,求： 10 介质中的极化强度； 1111 介质面上的极化电荷面密度; (5) 平行板上自由电荷及介质面上极化电 荷所产生的那一部分电场强度。 = ES 8.9xl0-7 解： D =隔E =3.Ox8.85x

18、l012xl.0 xl06 =2.7xlO5(C/m12 13 14 15) (2) cr=D= 2.7xlO-5(C/m2) (3) (4) P= =( 1-i )CT= (1-y ) x2.7xlO-s = 1.8xlO-5(C/m2) T 9 7x IO 5 Eo=8.85x 10-12 =3.0 xl06(V/m) (6) E= Eo-E =3.Ox 106-1.0 x 106 =2.0 xl06(V/m) 9-29两板相距为50mm的平板电容器, 板上带有等值异号的电荷，电荷的面密度为 20/C / 两板间平行于板面放置两片电 介质，一为20mm厚，相对电客率为3,另 一为30mm厚

19、，相对电容率为4,求： 13 各介质中的电位移矢量; 1414 各介质中的电场强度； 1515 各介质面上的极化电荷面密度。 (1) 介质(2) 平板上的自由电荷密度; an# 解:(1) D = o-=20/C/m16 17 18 19 (2) D 20 x IO 6 Eg。务=3.0 x8.85x i0 =7.5x 105(V/m) 口 D 20 xl06 b； = =(1-寺)x20 = 13.3(/C/m2) 6 =(1- =(1-寺)x20 =15(/C/m2) 9-30在半径为尺的金属球之外包有一 层均匀介质层（见图），外半径为R设电 介质的相对电容率为名，金属球的电荷量为 求：

20、17 18 19 Q、 介质 电荷面密度（7 解：(1)也DdS=Q D= 42 4兀真严（尺R） U内訂瓦d”+J；瓦dF (R r R) () 9-31半径为尺。的导体球带有电荷Q , 球外有一层均匀电齐质的同心球壳，其内外 半径分别为尺和&，相对电容率为 G （见 图），求： （1） 介质内外的电场强度E和电位移D （2） 介质内的极化强度廨表面上的极化 帑) 如E,r=SfiJR 解:（1） D内=。外=4兀厂彳 Q 内=4兀爲鈿2 （Rv Rd 外=4兀2厂2 （R$ rvRj （厂尺2） (肥 1)Q 4兀 rr 2 m K_ (G-i)Q b 寸-4K rRl (%-l)

21、Q R厂 471 rRl 9-32圆柱形电容器是由半径为凡的导线 和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒内半径为 R2 ,长为/,其间充满了相对电容率为名 的介质（见图）。设导线沿轴线单位长度上 (2) P = 的电荷为入）， 筒 忽略边缘（2）介质表面的极 化电荷面密度CT 。 D 2TIKI = AQ 1 9-33 一块石蜡 （名厂21）平面上方 （空气 的场强下与石蜡平面的交角为巾=45。， 试求石蜡内部场强与平面的交角。 6 广1 2=2.1 解: F= - 2n0rr P = D- 0 E = （名G-l）入 2n rR2 解： tg d 厂 3x(460)2 (460)2 20兀爲F 4兀

22、心3x(4602 20兀爲厂 x2 LW=W-W0 = 9-38电容分别为G和C?的两个电容器， 把它们并联充电到电压U和把它们串联充电 到电压2S在电容器组中，哪种形式储存 的电荷量、能量大些？大多少? 解：并联时 Q并=G+ c2）u W层（c】+ CJ & 串联时 吕U 必曰（2U） 如滴。 结论:电量和能量都是并联时大. 9 39半径为20cm的导体球，外套同心 的导体球壳， 壳的内外半径分别为4.0cm和 5.0cm,球与壳之间是空气，壳外也是空气, 当内球的电荷量为30 x 10M时, (1) 这个系统储藏了多少电能？ (2) 如果用导线把壳与球联在一起，结果 如何?rcf

23、 + 2 IG+C2 A Q = U uo 解：（1）在内壳空气中及壳外空气中场强为 Q 匕=4兀民严 lV=Jf0E2dV Q2 r dV Q2 47rr2dr -32TC% J r4 = 32TC%J r4 _ Q2 严 dr =8兀比& +）&厂2 =炭氏违+豈卜1O-4（J） （2）若用导线将球与壳相连联，电荷将移 到壳外表面。 =8.1xl8兀 940空气电容器充电后切断电源，然 后灌入煤油，问电容器的能量有何变化？如 果在灌油时电容器一直与电源相连，能量又 如何变化? 解:(1)若切断电源再注入煤油，电量不变 c =frC0 一 2 CKC。 (2)若与电源相喩再注

24、入煤油，电压不变 c=c 9-41两个相同的空气电容器，其电容都 是0.90 xl0F,都充电到电压各为900V后 断开电源，把其中之一浸入煤油（名=2）中, 然后把两个电容器并联，求： （1） 侵入煤油过程中损失的静电场能: （2） 并联过程中损失的静电场能。 （2）若并联，切断电源，总电量不变 Q=2C U C =(名+1)C。 A (2couy_j_ 一 26+l)C。一各+1 0 =2%-2-禹 =1 2-TAT1X3.65X10 1 2+ 1 丿 =2.34x10-( J) n n；A 9 42 一平行板电容器有两层介质，印=4, 殆=2，=3.65xlO 厚度为d1=2.0mm, =3.0mm, 祓板面积为S=40cmr两极板间电压为200V。 （1） 每层介质中的电场能量密度； （2） 每层介质中的总电能； （3） 用式告（l/2）qU算电容器的总电能。 解：(1)设介质1中场强为色，介质2中场强为耳