（整理版）单元能力测试

1、单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1如果方程x2ky23表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()a(0，)b(0,2)c(1，) d(0,1)答案d解析方程化为1，由>3得0<k<1，应选d.2两点a(3,2)和b(1,4)到直线mxy30的距离相等，那么m的值为()a0或 b0或c.或 d.或6答案d解析由解之得m或6，应选d.3抛物线yax2(a0)的焦点坐标是()a(0，) b(0，)c(0，) d(0，)答案c解析因为a0，所以方程可化为x2y，所以焦点坐标为(0，)应选c.4k为任意实数，直线(k1)xky10被圆(x1)2(y

2、1)24截得的弦长为()a8 b4c2 d与k有关的值答案b解析直线(k1)xky10化为k(xy)x10，可知恒过定点(1,1)即圆心，从而弦长为4，故答案选b.5过抛物线yx2准线上任上一点作抛物线的两条切线，假设切点分别为m，n，那么直线mn过定点()a(0,1) b(1,0)c(0，1) d(1,0)答案a解析特殊值法，取准线上一点(0，1)设m(x1，x)，n(x2，x)，那么过m、n的切线方程分别为yxx1(xx1)，yxx2(xx2)将(0，1)代入得xx4，mn的方程为y1，恒过(0,1)点6设f1、f2分别是双曲线x21的左、右焦点假设点p在双曲线上，且·0，那么|

3、等于()a. b2c. d2答案b解析f1(，0)，f2(，0)，2c2，2a2.·0，|2|2|f1f2|24c240()2|2|22·40，|2.7椭圆1(a>b>0)与双曲线1(m>0，n>0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)假设c是a与m的等比中项，n2是m2与c2的等差中项，那么椭圆的离心率等于()a. b.c. d.答案b解析c2am,2n2c2m2，又n2c2m2，m2c2，即mc.c2ac，那么e.8.如图，过抛物线x24py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2(yp)2p2于点a、b、c、d，那么·的值是()a

4、8p2 b4p2c2p2 dp2答案d解析|af|pya，|df|pyb，|·|yaybp2.因为，的方向相同，所以·|·|yaybp2.9抛物线y22px(p>0)与双曲线1有相同的焦点f，点a是两曲线的交点，且afx轴，那么双曲线的离心率为()a. b.1c.1 d.答案c解析由f(，0)，且afx轴，那么a(，p)，把抛物线代入双曲线得yap，a2b2，4a44a2b2b4.又b2c2a2，c46a2c2a40，即e46e210，解得e1.10. 两点m(3,0)，n(3,0)，点p为坐标平面内一动点，且|·|·0，那么动点p(x，

5、y)到点a(3,0)的距离的最小值为()a2 b3c4 d6答案b解析因为m(3,0)，n(3,0)，所以(6,0)，|6，(x3，y)，(x3，y)由|·|·0得66(x3)0，化简整理得y212x，所以点a是抛物线y212x的焦点，所以点p到a的距离的最小值就是原点到a(3,0)的距离，所以d3.11过点p(x，y)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于a、b两点，点q与点p关于y轴对称，o为坐标原点，假设2且·1，那么点p的轨迹方程是()a3x2y21(x>0，y>0)b3x2y21(x>0，y>0)c.x23y21(x>0，y&g

6、t;0)d.x23y21(x>0，y>0)答案d解析设q(x，y)，那么p(x，y)，由2，a(x,0)，b(0,3y)(x,3y)从而由·(x，y)(x,3y)1.得x23y21其中x>0，y>0，应选d.12抛物线yx2上有一定点a(1,1)和两动点p、q，当papq时，点q的横坐标取值范围是()a(，3 b1，)c3,1 d(，31，)答案d解析设p(x1，x)，q(x2，x)kapx11，kpqx2x1由题意得kpa·kpq(x11)(x2x1)1x2x1(1x1x2(，31，)，应选d.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案

7、填在题中横线上)13设双曲线x2y21的两条渐近线与直线x围成的三角形区域(包含边界)为e，p(x，y)为该区域的一个动点，那么目标函数zx2y的最小值为_答案14正方形abcd，那么以a、b为焦点，且过c、d两点的椭圆的离心率为_答案1解析令ab2，那么ac2，椭圆中c1,2a22a1，可得e1.15假设焦点在x轴上的椭圆1上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，那么b的取值范围是_答案b且b0解析设椭圆的两焦点为f1(c,0)，f2(c,0)以f1f2为直径的圆与椭圆有公共点时，在椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直，此时条件满足cb，从而得c2b2a2b2b2b2a2，解得b且b

8、0.16ac，bd为圆o：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为m(1，)，那么四边形abcd的面积的最大值为_答案5解析设圆心o到ac、bd的距离分别为d1、d2，由垂径定理得ac2，bd2.又acbd，ddom23，(s四边形abcd)2(ac·bd)24(4d)(4d)4()24×()225(当且仅当d1d2时等号成立)，s四边形abcd5，即四边形abcd的面积的最大值为5.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题总分值10分)在直角坐标系xoy中，以o为圆心的圆与直线xy4相切(1)求圆o的方程；(2)圆o与x轴相交

9、于a，b两点，圆内的动点p满足pa，po，pb成等比数列，求·的取值范围解析(1)依题设，圆o的半径r等于原点o到直线xy4的距离，即ro的方程为x2y24.(2)不妨设a(x1,0)，b(x2,0)，x1<x2.由x24即得a(2,0)，b(2,0)设p(x，y)，由|pa|、|po|、|pb|成等比数列，得·x2y2，即x2y22.·(2x，y)·(2x，y)x24y22(y21)由于点p在圆o内，故由此得y2<1.所以·的取值范围为2,0)18.(本小题总分值12分)如右图所示，等腰三角形abc的底边bc的两端点是椭圆e：1(

10、a>b>0)的两焦点，且ab的中点d在椭圆e上(1)假设abc60°，|ab|4，试求椭圆e的方程；(2)设椭圆离心率为e，求cosabc.解析(1)因为abc60°，且abc为等腰三角形，所以abc是正三角形又因为点b，c是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为2c，那么2c|bc|ab|4，如右图所示，连结cd，由ab中点d在椭圆上，得2a|bd|cd|ab|ab|22，所以a1，从而a242，b2a2c22，故所求椭圆e的方程为1.(2)设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，且|ad|db|m，连结cd，那么|bo|oc|c，|dc|2am，在rtaob中，

11、cosabc.在bcd中，由余弦定理，得cosabc.由式得2m，代入式得cosabc.19(本小题总分值12分)如图，点a，b分别是椭圆1长轴的左、右端点，点f是椭圆的右焦点，点p在椭圆上，且位于x轴上方，papf.(1)求点p的坐标；(2)设m是椭圆长轴ab的一点，m到直线ap的距离等于|mb|，求椭圆上的点到点m的距离d的最小值解析(1)由可得点a(6,0)，f(4,0)，设点p的坐标是(x，y)，那么(x6，y)，(x4，y)，由得，那么2x29x180，x或x6.点p位于x轴上方，x6舍去，只能取x，由于y>0，于是y，点p的坐标是(，)(2)直线ap的方程是xy60.设点m的

12、坐标是(m,0)(6m6)，那么m到直线ap的距离是，于是6m，解得m2，椭圆上的点(x，y)到点m的距离d有d2(x2)2y2x24x420x2(x)215，由于6x6，当x时，d取得最小值.20(本小题总分值12分)设椭圆c：1(a>0)的左、右焦点分别为f1、f2，a是椭圆c上的一点，且·0，坐标原点o到直线af1的距离为|of1|.(1)求椭圆c的方程；(2)设q是椭圆c上的一点，过点q的直线l交x轴于点p(1,0)，交y轴于点m，假设2，求直线l的方程解析(1)由题设知f1(，0)，f2(，0)由于·0，那么有，所以点a的坐标为(，±)，故所在直线

13、方程为y±()所以坐标原点o到直线af1的距离为(a>)，又|of1|，所以，解得a2(a>)，所求椭圆的方程为1.(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l斜率为k，直线l的方程为yk(x1)，那么有m(0，k)设q(x1，y1)，2，(x1，y1k)2(1x1，y1)，又q在椭圆c上，得1，解得k±4.故直线l的方程为y4(x1)或y4(x1)，即4xy40或4xy40.21(本小题总分值12分)椭圆c：1(a>b>0)的长轴长为4.(1)假设以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切，求椭圆的焦点坐标；(2)假设点p是椭圆c上的任意一

14、点，过原点的直线l与椭圆相交于m，n两点，记直线pm，pn的斜率分别为kpm，kpn，当kpm·kpn时，求椭圆的方程解(1)由b，得b.又2a4，a2，a24，b22，c2a2b22，两个焦点坐标为(，0)，(，0)(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点m，n关于坐标原点对称，不妨设m(x0，y0)，n(x0，y0)，p(x，y)，m，n，p在椭圆上，它们满足椭圆方程，即有1，1，两式相减得.由题意它们的斜率存在，那么kpm，kpn，kpm·kpn·，那么，由a2，得by1.22(本小题总分值12分)椭圆1(a>b>0)的左、右焦点为f1、f2，过

15、f1的直线l与椭圆交于a、b两点(1)如果点a在圆x2y2c2(c为椭圆的半焦距)上，且|f1a|c，求椭圆的离心率；(2)假设函数ylogmx(m>0且m1)的图象，无论m为何值时恒过定点(b，a)，求·的取值范围解析(1)点a在圆x2y2c2上，af1f2为一直角三角形，|f1a|c，|f1f2|2c，|f2a|c.由椭圆的定义，知|af1|af2|2a，cc2a.e1.(2)函数ylogmx的图象恒过点(1，)，由条件知还恒过点(b，a)，a，b1，c1.点f1(1,0)，f2(1,0)，假设abx轴，那么a(1，)，b(1，)，(2，)，(2，)，·4.假设ab与x轴不垂直，设直线ab的斜率为