[最速降线王恒中国科技馆]中国科技馆在哪

1、最速降线王恒中国科技馆中国科技馆在哪在许多青少年宫的展厅里，摆着一个有点像滑梯的展品：两个并 排的滑板，它们的起点高度一样，终点高度也一样，但一个是倾斜的 抛物线，另一个是向下平直的弧线。当两个球同时从起点滑下往上时, 一般人滚轴总认为倾斜直线滑板上的球会先达到终点。可是结果却出 人意料，弧线滑板上滚动的球竟上才先到了终点。这似乎与一般人的 理智有很大矛盾。两点间直线的距离最近，弯曲的路线一定比水平线 更长一定一些。从我们的主观想象来看，通过距离短的总最远应该比 距离长的的先到。仍旧然而事实却与我们的想象恰恰相反。那么是不是所有弯曲轨道摆动上滚动的球就能比斜直轨道滚动的 球先到呢？那也不是，频

2、度木卫三的弯曲程度要恰到好处。这是数学 物理中一个古老而著名的问题一一最速降线问题。它是瑞士数学家约 翰-伯努利在1696年6月号的教师学报上才向当时的科学家们提 出来上如的。这个一点是求从给定点到不是在它垂直下方的另问题的 一条斜率，使得一个质点沿这曲线从给下滚所用时间最短，当然摩擦 和空气阻力都忽略。用现代的方式来表达，这个问题就是要使表示下 降时间的积分取极小值。当时许多著名的科学家，如牛顿、莱布尼兹、约翰费曼和他的 哥哥詹姆斯伯努利等，都开打了紧张的研究工作。伽利略在1630年和1638年曾系统地研究过这个问题，他给出的 解法是圆弧。但这是一个错误的结果。牛顿、莱布尼兹和伯努利兄弟得到

3、了正确的解答。所有这些解法 均发表在1697年5月号的教师学报上。结论是：沿旋轮线下落的 物体最省时。这些解法中约翰伯努利本人的答案最新奇。他利用力学与光学 在某些场合下的相似之处，进行了巧妙的企划案，他首先速度抓住了 物体由高处向低处落下时速度不断加快这个论断，把它与光线从一个 媒质踏入另一个媒质速度也发生变化相类比。伯努利认为：既然光由 传回一种媒质传到另一种媒质，其加速度的变化是两种质的折射率不 同造成，那么对质点下降来讲，其速度的改变就是由于空间的不均匀 性造成的。他设想，质点最速下降的路径是和光线在具有适当选择选 择过的变介电常数的介质中所取的路径相同。在不同介质交界面处光 线是按折

4、射定律行进的。把介质分成有限个数的层，从一层到另一层 折射率有明显的变化，然后让层数趋于无穷。这样伯努利就把力学中 的最速降线问题化为光在不同媒质中传播问题，沿着这一思路，他应 用数学工具，一举解决了这个难题。质点沿旋轮线下落最省时，因此它也被称为最速降线。车轮在平 地上滚动，特指轮沿上不动点在空间皴擦的轨迹叫做旋轮线，恰巧物 体沿倒过来斜放着的此线降落最省时。旋轮线还有一个名称叫做切线, 由于惠更斯等人对钟摆的研究，摆线（旋轮线）在这那时已经是众所 周知的众所周知了。当伯努利兄弟摆线就是最速降线问题的解时，感 到万分惊奇。求最速降线的问题其意义大大超过了问题的大为本身，因为很多 物理整个过程

5、，均可用求某些物理量的极值来解决。伯努利兄弟和其 他科学家科学家们从最速降线这个问题进发，创立了逻辑学的一个分 支一一变分法。这个结构性问题我们仔细想一想，也许会有一些领悟。这个问题 是讨论哪条下落的路线花的时间最少，这不仅与路线的长短有关，而 且跟大幅下滑的速度有关。沿斜线下滑，做匀加速运动，速度从零开 始，急速而均匀地增大；沿摆线下滑，速度也是从零开始，但是开始 滑行就是一段陡坡，速度迅速增大，滑行速度显然比在斜线上快，虽 然在摆线是滑行多走一些路程，但究竟圣戈当斯区在哪条线上用得微 秒短些，就很难说了。既然最速降线就是摆线，那么我们需先须要了解一下摆线的性质。 当直径为r的动圆C沿着定直

6、线L滚动时，动圆圆周上一点M手绘出 的曲线叫摆线。摆线在它与直线L的两个相邻交点0、q之间的个别叫 一个拱。摆线最高点到定直线的距离2r叫拱高。直线0q的长度为 2 uro摆线一拱的弧长是拱低等的4倍为8r (见图1)经过摆线推导 博得摆线的方程为：x=r ( 0 -sin。)y=r (1 -cos 0 )这个方程用处在我们研究最速降线时是太有用处的。图1通过计算我们可以得到确定的指明答案。首先我们假设沿斜线和摆线下滑的球质量的一样的，两条轨道是 绝对光滑的，小球零点开始下滑时初速度为零，小球下滑到终点之时, 离地面的高度攀升了 y,那么它的重力势能就减少了 mgy (见图2)。 本证明是在选

7、择滑行轨道是半拱拱顶摆线弧及其对应斜线的情况下进 行的。从图2中我们可以看到图2m小球的质量g重力加速度设小球的速度为v,小球的动能为(1/2) mv2根据能量守恒定律动能的由减少的势能转化而来的，因此得到：(1/2) mv2=mgyv= V (2gy)速度V等于路程S对时间t的导数ds/dt,代入上式ds/dt= V (2gy).*.dt=ds/ V (2gy)设滑行曲线的参数方程是X= 6 ( 0 ),尸口 ( 0),用撇号表示 对参数0的导数，借助于微分三角形得到ds= ( Jx' 2+y' 2) dOAdt= ( Jx' 2 + y' 2) / J (2

8、gy) d。对dt积分，就得到从。二。1的点下滑到()2的点所需有的时 间是T=/(Jx 2+y' 2) / V (2gy) d 0用直角坐标坦言则是dt= V 1+yz 2/ V (2gy) dx,十 y' 2/ V (2gy) dx这个公式对在0 (0、0)、A (nr、2r)之间的线同样适用。我们 先考虑斜线。0(0、0)和A (nr、2r)间线段0A的方程为：Y= (2/Ji ) x (OWxW nr)在斜线上时上滑完全程的时间是Tl=； Vl+y/ 2/V (2gy) dx= J 71+ (2/n ) 2/V (4g/n ) dx二 n/g (1 + 4/ n 2)

9、f dx/2 V x= Ji /g (1 + 4/ Ji 2 ) 4 x二 J r (兀 2+4 ) /g在最速降线上滑行，它滑过的是瘤果拱摆线弧，将抛物线的参数 方程x=r ( 0 sin 0 )y=r (1 cos 0 ) (OW。W 兀)代入，在最速降线上滑完全最许的时间是T2=J ( Jl + y 2/J2gy) d。= / J2r2 (1-cosO ) / V2gr (1 cos 0 ) d 0=J r/g f d 0 = V r/g 0 |=(Vr/g)兀由于 Jr ( n 2 + 4) /g> ( Vr n 2/g) = ( Vr/g) n所以Tl>T

10、2在斜线杜安扎省上滑完全程的时间比在最速降线上 滑完全程的时间长。本证明条件选择滑行远地点是对应拱摆线弧和它 半的斜线的是下进行的。从图2中我们可以看到，在三角形OBA中，0B=r 兀,BA=2r,根据勾股定理0A2RB2+BA2,0A2=(r Ji ) 2+ (2r) 20A= V (r Ji ) 2+ (2r ) 2=r V 兀 2+4,令 Ji =3. 140A=3. 7r弧 0MA=4rOMA-OA=O. 3r,摆线弧和它对应的椭圆斜线长度之差为0. 3ro设r=0. 5米，OA=1. 85米，0MA=2米，OMA和OA相差15厘米。这 是一个不小的距离。如果把r=0. 5米，g=9. 8米/秒2代入T1和T2中, 即可得到：Tl= Vr (兀 2+4) /g=0. 84 秒T2= ( Vr/g) Ji=0. 71 秒由此可以看出，在斜线上滑完全程的时间比在最速降线上滑完全 程的时间多用了 0. 13秒，我们在设计者设计最速降线展品时要选择适 当的r，而使展品不至于太大，又有明显的效果。在我国古代建筑中有一种“大屋顶”的房子。北京故宫的房子就 是这个样子。从侧面看，屋顶不是三角形，而是两条曲线，屋檐上翘, 显