（整理版）函数应用题中的最值问题选解

1、函数应用题中的最值问题选解函数是高中数学主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富、背景深刻、题型新颖、解法灵活，是历年高考的热点之一有很多应用体涉及到“方案最优化问题，其解决方法一般是建立“目标函数，从而化归为求目标函数的最大值或最小值问题例1 渔场中鱼群的最大养殖量是m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能到达最大养殖量，必须留出适当的空闲量鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率乘积成正比，比例系数为k (k0)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；求鱼群年增长量的最大值；当鱼群的年增长量到达最大值时，求k的取值范围解：因鱼群的年增长量为m吨，实际养殖量为x吨，那么空闲量为(

2、mx)吨，空闲率为= 1依题意，鱼群年增长量为：y = kx(1)，定义域为0xm y = kx(1) =(x)+，当x =时，y=，即鱼群年增长量的最大值为 由于实际养殖量和年增长量之和小于最大养殖量，所以有0x + ym，即0+m，解得2k2，再注意到k0，得0k2评析：此题中专业术语多，如最大养殖量、实际养殖量和年增长量等，很不容易理解清楚，主要问题是抓住涉及数量关系的一句话：“鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率乘积成正比理解并求出空闲率，就可列出函数表达式由于是二次函数，处理时可依据二次函数求最值的方法来求而实际养殖量和年增长量之和小于最大养殖量应是社会常识，在阅读题意中要得到

3、这个隐含条件例2 某厂生产某种零件，每个零件的本钱为40元，出厂单价定为60元该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p =的表达式；当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价本钱)解：设每个零件的实际出厂价恰好降为51元，一次订购两为x个，那么x= 100= 550因此，当一次订购量为550个时，每个

4、零件的实际出厂价恰降为51元当0x100时，p = 60；当100x550时，p = 600.2(x100) = 62；当x550时，p = 51所以p =设销售商的一次订购量为x个时，服装厂获得的利润为l元，那么l = (p40)x =当x = 500时，l = 6000；当x = 1000时，l = 11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元评析：此例主要考查应用分段函数、一元二次函数等知识综合解答实际问题的能力，以函数为主线的联系实际的应用问题正是近几年高考的热点和重点题型分段函数是自变量在不同的取值范围内，其对应

5、法那么也不同的函数分段函数不仅形式独特，而且应用广泛，求分段函数的最值，应先求出函数在各段上的最值，然后加以比拟，其中最大(小)者就是分段函数在整个定义域上的最大(小)值pq16024405881例3 某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有归还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状态良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步归还债务(所有债务均不计利息)该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)之间的关系用右下列图中的一条折线(实线)表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元假设当销售价p为52元/件时，该店正好收

6、支平衡，求该店的职工人数；假设该店只安排40名职工，那么该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？解：设该店的月利润为s元，有职工m名那么s = q(p40)×100600m13200又由图可知：q =所以，s=由，当p = 52时，s = 0，即(2p140)(p40)×100600m13200 = 0，解得m = 50，即此时该店有50名职工假设该店只安排40名职工，那么月利润s=当40p58时，求得p = 55时，s取最大值7800元；当58p81时，求得p = 61时，s取最大值6900元综上，当p = 55时，s有最大值7800元设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有12n