等比数列知识点总结与典型例题+答案

1、1、等比数列的定义:等比数列知识点总结与典型例题-a-=q(q=0Xn 之2,且nw N* ), q称为公比 an J2、通项公式:n 1a1an = aqqq= ABn(a1 .q=0,A E#0),首项：a1；公比：q推广:_mn _man -amq qan=q = n amanam3、等比中项：A叫做a与b的等差中项，即：A2 = ab(1)如果a,A,b成等比数列，那么注意：同号的两个数才有等比中项，弁且它们的等比中项 有两个(2)数列也是等比数列U an2=anan平4、等比数列的前n项和&公式:(1)当 q=1 时，Sn=nai(2)当 q,1 时，Sa1 1 qn_ a1

2、 - anq1-q 1 -qa1a11 -q 1 -qnnnq A - A B A B A'(A,B,A',B'为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义：对任意的n,者B有an+ = qan或包nqg为常数，an=0)u an为 an等比数列(2)等比中项：an2 =an+an(an书an#0)u an为等比数列(3)通项公式：an=AEn(A.B#0)u凡为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若 且_=q(q#0)(n之2,且nw N*)或an¥=qanU为等比数列 an7、等比数列的性质：(2)对任何m”N*,在等比数列an中，有an =amqn

3、_mo(3)若 m+ n = s+t( m n, § tw N ),贝U an 用=a$ a。特别的，当 m+n=2k时，得2an ，am aktZC . ai Hn a2 3n 1 a3Hn_2 一等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义an + an =d-q(qH0) an递推公式an an 1 +d ； an =am_n *mdn_man =anq ； an =amq通项公式an =a1 +(n -1)dn -1an =aq( a1,q #0)中项A -2(n,k = N ,nkA0)G =i/anan 虫(anan4kM 0) (n,kWN , n k 0 )前n项和nSn

4、 =2 (a1 *an )1 n(n -1)Sn na1 +2dSn="TiaNq =1)a1(1 -qn ) aanq / (q±2)1 -q1 -q重要性质a + a = a + aamana paq*(m, n, p,q = N ,m + n = p + q)a m a n -ap a q(m, n, p, q- N ,m + n= p + q)经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1.等比数列an中,a1a9=64, a3+a7 =20，求 a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于ai和q的二元方程组，解出ai和q,可得前；或注意到下标1+

5、9 = 3 + 7,可以利用性质可求出a3、a7,再求an .总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计 算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目 的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式11 为等比数列，ai=3, a9=768,求a6。【变式2 为等比数列， 0,且3289=16,求a44a45a46的值。【变式3】已知等比数列an,若a1+a2+a3=7, a1a2a3 =8,求an。类型二：等比数列的前 n项和公式例2.设等比数列的前n项和为，若$6=2$,求数列的公比q.举一反三：【变式n求等比数列0”的前6项和【变

6、式2已知：为等比数列，aia2a3=27, 4=13,求&.【变式3】在等比数列an中，a+an=66, a2 an=128 , Sn =126 ,求n和q。类型三：等比数列的性质例 3.等比数列an中1,若 a5 a =9 ,求 10g3 a1 +log3 a2 +. + log3a10.举一反三:【变式11正项等比数列 凡中,若ai , ai00=100;则12+100.【变式2】在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入 32的三个数的乘积为。类型四：等比数列前 n项和公式的性质例4.在等比数列an中,已知Sn=48, S2n =60,求S3no思路点拨：等差数列中也

7、有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k项和，第2个k项和，第3个k项和，,第n 个k项和仍然成等比数列。举一反三：【变式U等比数列an中,公比2, S4=1，则S8.【变式2】已知等比数列an的前n项和为，且S10=10, S20=40，求：$0=?【变式3】等比数列an的项都是正数，若80, 与6560,前n项中最大的 一项为54,求n.【变式4】等比数列中，若ai2=324, a 34=36,贝U a56.【变式5】等比数列an中，若ai23=7456=56,求a789的值。类型五：等差等比数列的综合应用例5.已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32,

8、则成等 差数列.若再将此等差数列的第二项减去 4,则又成等比数列.求原来的三个 数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为,a,;若三数成等比数列，可设此三数为 且，x,。但还y要就问题而言，这里解法二中采用首项 a,公比q来解决问题反而简便。举一反三：【变式11 一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【变式2】已知三个数成等比数列，它们的

9、积为27,它们的平方和为91, 求这三个数。【变式31有四个数，其中前三个数成等差数列， 后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求这 四个数.类型六：等比数列的判断与证明例6.已知数列的前n项和满足：5(1)(n ),求出数列的通项公式, 并判断是何种数列？思路点拨：由数列的前n项和可求数列的通项公式，通过通项公式判断类型.举一反三：【变式11已知数列,其中23n,且数歹U 1为等比数歹U,求常数p【答案】2或3;【证明】设数列、的公比分别为p, q ,且p中q【变式3】判断正误：。为等比数列=a73a4；若b2,则a, b, c为等比数列；。

10、，均为等比数列，则为等比数列；。是公比为q的等比数列，则a；、1工；仍为等比数列； an若a, b, c成等比，则，成等差.ai5类型七：与的关系例7.已知正项数列,其前n项和满足10Sn =a；+5an+6,且a1，a3,成等比数列，求数列的通项.总结升华： 等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是ans （：；1；），尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题1:若数列的前n项和（a中1）,则数列是等比数列; 命题2：若数歹U 的前n项和，则数列既是等差数列，又是等比数列。上 述两个命题中，真命题为 个.经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1 .等比数歹U an ap

11、 a a1a9 = 64 , a3 + a7 = 20 ,求用.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a和q的二元方程组，解出Q和q,可得前；或注意到下标1+9 = 3 + 7,可以利用性质 可求出a3、a7,再求阚1 .解析:法一：设此数列公比为则%=”、6：26a3 a7 = a1q a1q : 20由(2)得:a1q2(1 + q4) =20(3)由(1)得：(aiq4)2 =64 ,aiq4 =8 (4)/4+(4)得：与=3=5, q 82 2q4 -5q2 +2=0,解得 q2 =2 或 q2 =g当 q2=2 时，a1 =2 , 为 = a，q10 = 64 ;、

12、当 q2=；时，a1=32, aLaq1=1.法一*：: a1a9 =a3 a7 =64 , 又 a3 +a7 =20 ,二a3、 a7为方程x2 -20x+64=0的两实数根,. ；a3 =16 或a7 = 4A =4 =a7 = 162a3 a11 = a7.a?2.a1 = 1 ah an =64.a3总结升华:列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计 算量;解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目 的，故较多变形要用除法（除式不为零）举一反三:【变式1】为等比数列，a1=3, a9=768,求a6。【答案】土 96法一：设公比为 q,贝U 76&

13、amp;q q8=256,.±2, /. ae=±96;法二： a521a9= a5=± 48= ±2, a6=±96。【变式2】为等比数列， 0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。【答案】64;29 =a：5 =16,又 0,345=4a44a45a46= a；5 =64。【变式3】已知等比数列aj,若a-a2+a3=7 , aia2a3 =8 , 求an。【答案】m=21或小=23;2 3aa3 a2)砌 a2a3 a2 = 8 ) * * a2 2从而!&十%5解之得ai =1 , a3=4或a1=4, a3 = 1

14、I a a3 =4当 a1=1 时，q=2;当 a=4 时，q =g。故烝=2n，或a。=23。法二：由等比数列的定义知a2 a1q , a3 aq代入已知得a1a1q：q2=7 2 a1 aq a1q =8r , .2._ f2_1(1+q +q ) =7,_ ja(1+q+q ) =7，一 a；q3=8- 即=2(2)将 a =2 代入(1)得 2q2 -5q +2=0, q解得q = 2或q =1 21r A1 =4一、r由(2)得户1 1或1,以下同方法q = 2 q =.J 2类型二：等比数列的前 n项和公式例2.设等比数列的前n项和为，若46=2S9,求数列的公比q.解析：若 1,

15、则有 S3=3a, &=6a1, &=9a1.因a尸0,得46字2s9,显然1与题设矛盾，故q中1.,，3、 一 69、由 S3+S6=2S9 得，31(1-q)+ 31(1-q)=2酬(1-q),1 - q 1 - q 1 - q整理得 q3(2q63-1)=0 ,由 q a2 an4 =a1 1an , 313n =1280,得 2q63-1=0,从而(2q3+1)(q 3-1)=0 ,因 q3* 1 ,故 q3举一反三:【变式11求等比数列1,1,1,中的前6项和。3 9答案3642431 一 31 = 1 , q = , n3364o1-13243【变式2已知：为等比数

16、列，318233=27, &=13,求&.恪案】121或£3a2= 27 =32 =3 ,，3、,13 = -q= q = 3m£ q = _ ,则 31 = 1 或 31=91 -q3一 S51 -351 -3二 121 或 S5=9父 11 I35/121解方程组需二6,得:：r或已【变式3】在等比数列3n中，31+3n=66 , 32 金=128, &=126,求：和q。【答案】q=1或2, n=6;2将F1 =64代入& = 土财，得q, an an,公比为 q ,贝u ai = 8 , a§ = 27 21 - q2由 a

17、n = aiqn ,解得 n = 6 ；将对1=2代入0=亘3,得q=2, an =641-q由 an =aiqn 解得 n=6。1, , q =或 2, n = 6 o类型三：等比数列的性质例 3.等比数列an中,若 a5=9，求 log3 a +log3 a2 十十 10g3a10.解析：,an是珞比数列， a1a10= a2 a9 =a3，a8=a4，a7= a5，a6= 955, , log 3 a log 3 a2 ' log 3ao=10g3(a1a2 a3UIa10) = 10g3(a5a6)= 10g3 9= 10举一反三：【变式11正项等比数列 凡中,若a1 , a0

18、0=100;则12+100.【答案】100;: 123+©(a 1 a2 a3 a©)而 a1 a002 a993 . a98=50 . a51原式(a1 a©) 50=50(a 1 &0。)=50 x 100=100。【变式2】在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入 32的三个数的乘积为。【答案】216;:设这个等比数列为an,其公比为8 a1=4327484%="2=aq =3 q ,8129一 ,q =164233= a1q a1qa1q = a1平j 肉* = 216。34法二：设这个等比数列为加入的三项分别为a2, a3

19、, a4,由题意a” a3, a5也成等比数列，小上步36,故a3=6,23 a2 3 日4 3 日3 33 216 o类型四：等比数列前 n项和公式的性质例4.在等比数列%中,已知Sn=48, S2n =60,求S3n。思路点拨：等差数列中也有类似的题目， 我们仍然采用等差数列的解决 办法，即等比数列中前 k项和，第2个k项和，第3个k项和，,第 个k项和仍然成等比数列。解析:法一：令 bi48, b 2260-48=12 , b332n观察bii2+b2i2+2(a 12+),b32122+ 32n(a 12+) 22易知b123成等比数列，4=上=一 =3, b148. S3323+60

20、=63.法二：: S2n #2Sn ,. q #1 ,'"©=48 由已知得 1-q2|01=60 1 -q+得1 +qn =5 ,即qn =144代入得 a =64,1 -q二 S3日(1-武)1 -'q1= 64(1 -) = 63 °4法三：:an为等比数列，S2n-S, S3n -S2n也成等比数列,一 (S2n-Sn)2 =&(S3n 一5加),一 S3n2 _ 2干+S2n=*+60 = 63。举一反三：【变式U等比数列an中,公比2, S4=1，则S8.【答案】17;Sb456784iQ 2 3 4 4 (a 1234)4 S

21、44(14)=1 X(1+24)=17【变式2】已知等比数列a。的前n项和为，且S10=10, So=4O，求：&o=?【答案】130;法一t S10, S2010, S3020 构成等比数列，.二(S2010) 210 (S 302。)即 3O2=1O(S3o-4O), S30=130.法二：.2&0中 S20, q#1,.ca1(1 - q10)a1(1 - q20) 八 Sw =10, S20 =-40 ,1-q1-q10 1 -q 1 . 10 。. a1广；20-=", . q =3, =-51 -q 41 - q二. S30 /()=(-5)(1 -33)

22、 =130. 1 -q80, 与6560,前n项中最大的【变式3】等比数列第的项都是正数，若 一项为54,求n.【答案】: &=巫q=1(否贝产)S2n 6560S2n 2.Sn j(1_qn)=80 (1)1 -q2n82n =a1(1 q )=6560(2),1 -q(2) +(1)得：182, /.81(3).该数列各项为正数，.由(3)知q>1.为递增数列，.二为最大项54. 11=54,a154q, 81a1=54q(4).5422为=q = q 代入(1)得q(1 81) =80(1 -q),81333.4.【变式4】等比数列an中,若312=324, a 34=36

23、,则356.【答案】4;令 b1121(1) , b2341q2(1 ) 3561q4(1),易知：b1, b 2, b 3成等比数列，b3匹36-4,即356=4.匕324【变式5】等比数列an中,若3123=7456=56,求3789的值。【答案】448;. 是等比数列，.二(3 456) = (3 123)q3, . q3=8,.二 3789=(3456)q 3=56X 8=448.类型五：等差等比数列的综合应用例5.已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32,则成等 差数列.若再将此等差数列的第二项减去 4,则又成等比数列.求原来的三个 数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组

24、的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，弁将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为,.则，3, 32成等比数列，,4,成等比数列.2.32 =(3 -d)(3 +d +32)(1)2.l(3-4) =(3-d)(3+d),2由(2)得 d-(3)8由(1)得 322+32d(4)(3)代(4)消3,解得d=8或8.3当 d =8 时，3=26；当 8 时 1039，原来三个数为2,生，当或2,10,50.999法二：设原来三个数为3, , 2,则3, 2-32成等差数列，3, 4,2-32成等比数列 2 .2aq =a + aq -32(1)v 22Jaq -4) =a(aq

25、-32).(2)由(2)得a=3,代入(1)解得5或13 q -4当5时2;当13时a=29 -原来三个数为2, 10, 50或2,里当. 999总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为,a,；若三数成等比数列，可设此三数为x,。但还y要就问题而言，这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。举一反三：【变式11 一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【答案】为2, 6, 18或2,一也更；99 9设所求的等比数列为a, 2；则 2(

26、4) 2,且(4) 2(2+32);解得2, 3或a=2, 5;9故所求的等比数列为2, 6, 18或2, 一丝,50.99 9【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27,它们的平方和为91, 求这三个数。【答案】1、3、9 或一1、3、- 9 或 9、3、1 或一9、3、一 1设这三个数分别为 -,a,aq ,q由已知得a _ _ cr一 a aq = 27q2当 a2 a2q2 :91 q2a =3I2 12a2( +q2 +1) = 91 q得 9q482q2+9=0 ,所以 q2 =9：q2=1 ,9 '即4=±3或4=土13故所求二个数为：1、3、9或一1、3、

27、 9或9、3、1或一9、3、一1【变式31有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，弁且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.【答案】0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1 ;设四个数分别是,12,16.；2y = x+12-y.(1)一、(12-y)2 =y(16-x).(2)由(1)得 312,代入(2)得 144-24 2(16-312) 144-24 23y2+28y, 4y2-52144=0, .y2-1336=0, . 4 或 9, 二 0 或 15, 四个数为 0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1.类型六：等

28、比数列的判断与证明例6.已知数列的前n项和满足：5(1)(n ),求出数列的通项公式， 弁判断是何种数列？思路点拨：由数列的前n项和可求数列的通项公式，通过通项公式判断类型.解析：-. 5(1), . .1=6, . .51 (n ), a11=5 -1=4,当 n>2 时，1=(51)-(5 1-1)=55 1=51(5-1)=4 X 51而 1 时，4X 51=4X 511=4i, nG 时，4X 51由上述通项公式，可知为首项为4,公比为5的等比数列.举一反三：【变式11已知数列,其中23n,且数歹U 1为等比数歹U,求常数p。【答案】2或3;1是等比数列，对任意 n NH n&g

29、t;2,有(1)2222222CiC3 =(abi)(apbq)=apbq4b1(pq ) Ci C3 -C22 =a1b1(p-q)2,又,: p 中q, a 10, b 10, C1 c3 -C22 #0 即 C1 C3 #C；数列不是等比数列.【变式3】判断正误：(1)为等比数列=a73a4；(2)若b2,则a, b, c为等比数列;(3) , 均为等比数列，则为等比数列；(4)是公比为q的等比数列，则a2、1工I仍为等比数列； an=(21)( 1)/23n, /.(2 1+31)(23 n) 2=(2 2+32)(2 1+31) (23 n)(2 1+31) 即(2) 2(3) 3n2=(2