相似三角形中证明技巧

1、相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到 成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等 量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，AABC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD = AE , DE延长线与BDCE BFBC延长线相交于 F,求证： 一CF证明：过点C作CG/FD交AB于G小结：本题关键在于 AD=AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相 等的方法：相似、成比例。例2. 如图， ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取 BD=CE

2、, DE , BC的延长线相 交于点F,证明：AB - DF=AC - EF。A分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。欲证AB DF =AC EF,需证&ACEF ,而这四条线段所在的两个三角形显然DF不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过E作EM/AB ,交BC于点 M ,则 EMC ABC （两角对应相等，两三 角形相似）。EMABAEC 即 EM AC = AB EC,二卷=EM同理可得.EMF . DBF .EFDF又QBD=EC，噌噜EMBD 'EM为中间比），BD.AB DF

3、 = AC EFAB EFD 作 DN/EC 交 BC 于 NAC DF 方法二：如图，过则有，BDN、BAC,:BD = DN ,即BD AC = AB QN (比例的基本性质) AB ACAB BD AC - DN-同理AECF ADNF,三=EF ,而BD = EC （已知）DN DF,跑二型（EC为中间比），DN DN DN=EF , AB DF = AC EFAC DF二、作垂线3.如图从。ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线 CE和CF,垂足分别为 E、F,求证：AB AE+AD AF = AC2。证明：过B作BM ±AC于M ,过D作DN ±AC于N ，&

4、amp;ABMACE.AM ABAE AC又 aadnsacfAB AE = AC AM (1)AN = ADAF ACAD AF = AC AN(2)(1) + AB AE +AD AF = AC AM + AC AN = AC(AM + AN)又 MDN 三 ABCM AN=CM AB AE AD AF = AC(AM CM) = AC三、作延长线例5. 如图，RtAABC中，CD为斜边 AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交 BC于 F, FG 1AB 于 G,求证：FG 2=CF BF解析：欲证式即FG =CF 由“三点定形”，ABFG与A CFG会相似吗？显然不可 BF FG能。

5、（因为A BFG为Rt A）,但由E为CD的中点，可设法构造一个与 A BFG相似的三不妨延长GF与AC的延长线交于 H贝 u AF 二 FG = FHAE ED ECEG FH 二ED EC又 ED=EC FG=FH 又易证 RtACFHRt A GFBCF = FH FG FH=CF - BFFG BFFG=FHFG2=CF BF四、作中线例 6 如图，&ABC 中，AB，AC, AE±BC 于 E, D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1 ,求AC。解：取BC的中点M ,连AM AB LACAM=CM/1 = /C又 BD=DC，/DBC=/DCB ，/1=/C=

6、/DBCAC2 =CEAC二 一DC BCAC 二 gCBC2 (1)MAC s ADBCDC 2RtAAEC s RtABACBC =BC (2)(1)(2)得，AC =MC又 DC=1MC= - BC2又 EC=11 AC4 AC2= 3.2则这两个三角形相似，取BC中点M ,构造AMAC与小结：利用等腰三角形有公共底角,DBC相似是解题关键练习题BE=AD , DE 交 AB 于、在 ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点,F。求证：EFXBC=ACXDF2、AABC 中，/ACB=901 AC=BC , P 是 AB 上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN，CP

7、,交AC、BC 于 M、N,求证：PA： PB =CM ：CN 。例 1: 已知：如图， ABC 中，AB = AC , BD，AC于D.求证：BC2=2CD AC.证法一（构造2CD）:如图，在 AC截取DE=DC, BDXAC 于 D,BD是线段CE的垂直平分线，BC=BE , .C=/BEC,又 AB = AC, ./ C= Z ABC .ABCEA ACB .BC ACBC AC= _=CE BC ' 2CD BCBC2 = 2CD - AC .证法二（构造2AC）:如图，在 CA的延长线上截取 AE=AC,连结BE, AB =AC, AB = AC=AE ./ EBC=90

8、° , 又 BD, AC./ EBC= / BDC= / EDB=90 ° ,E=/DBC ,EBCA BDC.BC . CE 即 BC _ 2AC CD BC CD BCBC2 = 2CD - AC .A则 EC= 1 BC .2X / AB=AC , AEXBC, / ACE= / C / AEC= / BDC=90 °ACEA BCD .1 BC ,CE A、2BC ACD BC CDBC. BC2=2CD - AC .证法四（构造1BC）：如图，取BC中点E, 2Be C1 连结 DE ,贝U CE= 一 BC .2证法三（构造1 BC ）:如图，取BC的

9、中点E,连结AE,2 BDXAC , BE=EC=EB , / EDC= / C又AB=AC , .ABC=/C,.ABCA EDC.BC AC 口口 BC AC =J 即-CD EC CD 1BC 2BC2 = 2CD - AC .例2.已知梯形ABCD中，ADBC, 腰AB上的一点，连结CEAB E CBC = 3AD , E 是A_Df/(1)如果 CE _L AB ,(2)设bce和四边形 一 /wAB = CD, BE=3AE,求/B 的/8（-AECD的面积分别为S和S2）且2s =3Q，出求史的值 AE（1）设 AE =k，则 BE = 3k解法1 如图，延长BA、CD交十度Q

10、AD/BC , BC=3AD, AF=2k, E为BF的中点又 CE_LBFBC=CF ，又 CF,FABF = 3AF' =BF -&BCF为等边三角形 故ZB=60S解法2 如图作DFAB分别交CE、CB于点G、F则CE _LDF ,得平行四边形 ABFD 同解法1可证得ACDF为等边三角形 故.B =/1 =60解法3 如图作AFEC交CD于G ,交BC的延长线于F作GIAB,分别交CE、BC于点H、I则CE _GI ,得矩形AEHGQ AF/CE，BC = B| =3，又 BC=3AD ，CF = AD,故 G 为CD、AF 的中点以下同解法1可得ACGI是等边三角形故

11、.B =/1 =60解法4 如图,作AFCD，交BC于F，作FG/CE ,交AB于G，得 平行四边形 AFCD，且FG _L AB读者可自行证得 AABF是等边三角形，故 /B=60。解法5 如图延长CE、DA交于点F ,作AG/CD ,分别交BC、CE于点G、H ,得平行四边形 AGCD可证得A为FD的中点，则AH =2k ,故21 =60口得AABG为等边三角形，故 B =60°解法6 如图（补形法），读者可自行证明ACDF是等边三角形，得.b =/F -60（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积 法等）设 Sbce =3S,则S四边形AECD =2S解法1 （补形

12、法）如图补成平行四边形 ABCF ,连结 AC ,则DF =2AD设 SAcd = x，则 S&ce = 2S 一 x，Scdf = 2x由 Sabc =S&cf 得，3s + 2s x= x + 2x，x = 5 sSace=2s 一 x = 3 s4BE SbceAE S ace3s34S解法2（补形法）如图，延长 BA、CD交于点F , SFAD =-S ABC 9_ S fad S fad 8 S 梯形 ABCD 5s二 S猷d = s-5-S西ec =- s + 2s = s ' 又 Sbc = 3s888设 BE=8m,则 EF=7m, BF=15m, AF

13、 =5m.AE =2m 一 =更=4 AE解法3 （补形法）如图连结AC ,作DF / AC交BA延长线于点F连结FC则 AFADs AABC,故 AB=3AF（1）S acd二S&CF，S 四边形 AECD = SECBE _ S, BECS.BCE_ 3S四边形AECD 2故2BE=3EF =3（AE+AF）=3AE+3AF（2）由（1）、（2）两式得 BE =4AE 即 BE =4解法4 （割补法）如图连结A与CD的中点F并延长交BC延长线于点G ,如图, 过E、A分别作高hi、h2，则CG = AD且S四边形AECD =s四边形 AECG，, SBG =S 梯形 ABCD =5

14、s1 人c c 1 BC hi.3 _ S占bc _ 2 又 BC _ 3bSABG Z BG h2' BG 42.坦=4, .匪=4,故比=4h25 AB 5 AE说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作 辅助线，构造相似三角形.AF -1 AD例3.如图4-1,已知平行四边 ABCD中，E是AB的中点，3 ，连E、F交AC于G.求AG : AC的值.解法1: 延长FE交CB的延长线于 H,四边形ABCD是平行四边形，ZH=Z AFE, / DAB= / HBE又 AE=EB, AAEFA BEH ,即AF=BH图4TAD/BCAFAD 3,AF -

15、1BC 3,AF即1CH4AD / CH , / AGF= / CGH, / AFG= / BHE ,AG : GC=AF : CH , AFGACGH. .AG :解法2:GC=1 : 4, AG : AC=1 : 5.如图42,延长EF与CD的延长线交于由平行四边形ABCD可知,AB/DC即 AB / MC ,图4 2AF: FD=AE : MD , AG: GC=AE : MC.AF=3AD,. AF:FD=1:2,AE =1 AB =1 DC22AE : MC=1 : 4,即AE: MD=1 : 2.AG : GC=1 : 4,AG : AC=1 : 5困4 5例4、如图4-5, B为

16、AC的中点，E为BD的中点，则 AF : AE=解析：取CF的中点G,连接BG. B为AC的中点，BG: AF=1 : 2,且 BG / AF,又 E为 BD 的中点，F为DG的中点.EF: BG=1 : 2.故 EF: AF=1 : 4, AF: AE=4 : 3.例5、如图4-7,已知平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点， OE交BC于F,若AB=a, BC=b , BE=c，求BF的长.ftf4T解法1:过O点作OM / CB交AB于M , O 是 AC 中点，OM/CB,1 MB = %M是AB的中点，即2 ,OMBC =1bOM是4ABC的中位线，

17、22 ,且 OM / BC, / EFB= / EOM , / EBF= / EMO .BF _ BE BEFA MOE , OM - EM ,BF =bcBF1b 即2解法2:如图4-8,延长EO与AD交于点G,则可得 AOGA COF,AG=FC=b-BF ,BF = BEBF / AG，.二 AG AE .即BF _ cb-BF a +c,BF _ c b a 2cBF_ bca 2c.解法3:延长EO与CD的延长线相交于解得BF 二bca 2c.图4 SN,则4 BEF与 CNF的对应边成比例，即AB = BD例6已知在 ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证： AC CD .分析1

18、比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生.此题中 AD为乙ABC内角A的 平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助 线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关 系，去探求问题的解决.证法1:如图4 9,过C点作CE / AD ,交BA的延长线于zE .在 BCE中，:BD = BADA/CE, . DC AE又 CE/ AD ,/1=/3, / 2=Z4,且 AD 平分/ BAC ,-/ 1 = Z 2,于是/ 3=Z 4,BD _ ABAC

19、=AE .代入式得 DC - AC .分析2由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点 D作平行线. 证法2:如图4 10,过D作DE / AC交AB于E,则/ 2=73.- /1 = /2,/1 = /3.于是EA=ED .BE = BD AB = BE = BE AB = BD 文;EA - DC , . AC - ED EA , . AC - CD .分析3欲证式子左边为 AB: AC,而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将 AB转移到与AC平行的位置.证法3:如图4-11,过B作BE / AC ,交AD的延长线于E,则/ 2=/E./ 1 = 7 2,/ 1 = Z E, AB

20、=BE .BD = BE AB = BD 又.DC _ AC , . AC - CD .分析4 由于AD是/ BAC的平分线，故可过 D分别作AB、AC 的平行线，构造相似三角形求证.证法4如图412,过D点作DE / AC交AB于E, DF / AB交AC于F .易证四边形AEDF是菱形.则 DE=DF .BD = BE = BE由BDEsdfc,得 DC DF DE .BE = AB AB = BD 又 DE AC , AC DC .一、如何证明三角形相似图 4-104 HB例1、如图：点G在平行四边形 ABCD的边DC的延长线上，AG 交 BC、BD 于点 E、F,则 AGDs s 。例

21、2、已知 ABC中，AB=AC , Z A=36 ° , BD是角平分线，求证： ABCA BCD例3:已知，如图，D为4ABC内一点连结 EQ AD,以BC为边在 ABC外作/CBEW ABD /BCEW BAD求证：4DB曰AABC例4、矩形 ABCD中，BC=3AB , E、F,是BC边的三等分点，连结 AE、AF、AC,问图 中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例£、 ABC中，在 AC上截取AD ,在CB延长线上截取 BE,使AD=BE ,求证:DF AC=BC FE例6已知：如图，在 长线于点DoABC中，/BA

22、C=9。，M是BC的中点，DML BC于点E,交BA的延求证：(1) mA=mdme (2)AE2 二 MEAD" MDFEBCAR、BR、CP、DP各为四角的平分线，求证：SQ/AB, RP / BC例7如图 ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E,交AB于F,求证:AE: ED=2AF FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例8:已知：如图E、F分别是正方形 ABCM边AB和AD上的点，且EB = AF =1。求证：/ AEF=/ FBDAB AD 3例10、已知 A、C、E和B、F、D分别是/ O的两边上的点，且 AB/ED, BC/FE,求

23、证：AF / CD例11、直角三角形 ABC中，/ ACB=90 ° , BCDE是正方形，AE交BC于F, FG / AC 交AB于G,求证：FC=FG 例12、RtAABC锐角C的平分线交 AB于E,交斜边上的高 AD于O,过O引BC的平行 线交AB于F,求证：AE=BF1、判定相似三角形的基本思路 ：1 .找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条 对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应 边所对的角是对应角。2 .记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定 理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判Tffl7E7E

24、 理。2、相似形的应用:1 .证比例式;2 .证等积式；3 .证直线平行；4 .证直线垂直；5 .证面积相等；3、经典例题：例1.如图，在A ABC中，D是BC的中点，E是AC延长 线上任意一点，连接 DE与AB交于F,与过A平行于 BC的直线交于Go求证：虻=醺BF CE变式1:如图，在 AABC中，/A与2B互余,CD _LAB , DE/BC ,交 AC 于点 E,求证：AD:AC=CE:BD.例2:如图：已知梯形 ABCD中，AD/BC , /ABC=90*,且BD_LCD于D。求证： MBD ADCB ； BD2 = AD , BC例3.如图，在 AABC中，/BAC=90，M是BC

25、的中 点，DM _L BC交BA的延长线于 D,交AC于E。求证：MA2=MD*ME例4.已知：在 AABC中，AD是/BAC的平分线, 点E在AD上，点F在AD的延长线上，且ED = ABDF AC求证：BE/FC o例5.如图，在正方形 ABCD中，E, F分别为AB、AC上一点，切 BE=BF , BP_LCE,垂足为 P。求证：PD _ PF.例6.在AABC的中线 AD,BE相交于 G。求证：AAGB的面积等于四边形 CEGD。1.如图，在 AABC中，ACaBC, D是AC边上一点，连接BD .（1）要使 /XCBDCAB ,还需要补充一个条件是 （只要求填一个）(2)若 ACBD

26、CAB,且 AD=2, BC = J3,求 CD 的长.2.如图，在平行四边形 求AQ： QR的值。3 .如图，梯形 ABCD 中，AB/CD ,且 AB = 2CD , E, EF与BD相交于点M .(1)求证：zEDM FBM ;(2)若 DB =9,求 BM .F分别是AB, BC的中点,4 .如图， ABC中AB=BD , AD为中线，点E是BD的中点。求证：（1）AB曰CBE （2）求证：AC=2AE5.如图，点D, E分别在4ABC的边EF / CD . EF 与 AC 交于点 G ,且/ BDE =（1）试问：ABgFG =CFgCA成立吗？说明理由;若BDBC, BA上，四边形

27、CDEF是等腰梯形, A.=FC ,求证： ABC是等腰三角形.&ABCM, R在BC的延长线上，AR交CD于Q 若DQ： CQ= 4 : 3,6、已知：如图，AD是4ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证：FD2 =FB *FC7、已知：如图，四边形 ABCD中，/ A= / BCD=900，过C作对角线BD的垂线 交BD、AD于点E、F。求证：dc2=df.da8、如图，四边形 ABCD是平行四边形，AELBC于E, AFLCD于F.(1)AABE与 ADF相似吗？说明理由.(2) AAEF与AABC相似吗？说说你的理由9、已知：/ A=60°

28、, BD、CEgAABC 的高。(d) ADE与4ABC相似吗？说明理由。(2)图中共有几对相似三角形？思考：去掉/ A=60°条件以上结论还成立吗？10.M为线段 AB的中点，AE与BD交于C, / DME= Z A=Z B=«，且DM交AC于F, ME交BC于G。(1)写出图中相似三角形；(2)连接 FG,若 口=45° ， AB= 4拒，AF=3、如图， ABC中，三条内角平分线交于 D,过D作AD垂线，分别交 AB、AC于 M、N,请写出图中相似的三角形，并说明其中两对相似的正确性。2、如图，AD为 ABC的高，DEAB, DF± AC,垂足分别

29、为 ZAEF的大小，并说明明理由，3、如图，在 ABC中，点 D、E分别在 BC、AB上，且/ CAD= / ADE= ZB, AC: BC=1 : z2 ,设 EBD、ADC、AABC的周长分别为 ml、m2、m3,求的值，4、如图，已知 ABC中，D为BC中点，AD=AC , DEXBC, DE与AB交于E, EC与AD相交于点F, () ABC与4FCD相似吗？请说明理由;DE的长。6、已知如图，在 PAB中,/APB=120O,M、N是AB上两点，且 PMN是等边三角形。 求证：BM - PA=PN - BP7、已知：如图， D是4ABC的边AC上一点，且CD=2AD , AEBC 于

30、 E,若 BC=13, ABDC 的面积是 39,求 AE 的长。产心、已知：如图，在 ABC中，AB=15 , AC=12 , AD是/ BAC的卢外角平分线且 AD交BC的延长线于点 D, DE / AB交AC的延长 /线于点e。r 7r/,jiFe/9、已知： 如图，四边形 ABCD 中，CBLBA 于 B, DALBA 于 A, BC=2AD , DEXCD 交AB于E,连结CE,求证：DE2=AE?CE10、如图，矩形 ABCD中，E为BC上一点，DFLAE于F.(1) AABE与 AADF相似吗？请说明理由.(2)若AB=6 , AD=12 , BE=8 ,求DF的长.ADBEC1

31、1、如图：三角形 ABC是一快锐角三角形余料，边 BC = 120mm,高AD= 80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在 AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少?12、已知：如图：FGHI为矩形，ADLBC于D, 求：矩形FGNI的周长。FG =5GH 9BC = 36cm,AD = 12cm 。16、如图，/ADCWACB=900,/ 1=/B,AC=5,AB=6,求 AD的长17、如图，正方形 ABCD43正是AD的中点,DM CE,AB=6求 DM的长。18、己知：如图,AD是A ABC的角平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于F.求证:FD2=

32、FB FC.提示：连结AFA19、已知：如图，AABC中，/ACB=9C0,F 为 AB的中点,EFLAB.求证:A CDS A ECF.13、已知：如图，DE / BC,AF ： FB=AG： GE 求证A AF8 A AED14、己知：如图,AB/CD,AF=FB,CE=EB.求证:GC2=GFGD.15、如图，在正方形 ABCD43 ,E是CD的中点,EFAE. 求证:AE2=AD<AF.提示：延长 AE、BC交于G,先证 AAD且AGCE A GCZ A AEF20、已知:如图，AABC中,CE，AB,BFJ_ AC.求证:A AEM A ACB.21、已知：如图,DE/ BC,

33、AD2=AF AR 求证：A AEQ AACDE22、已知：如图，A ABC中，ZACB=9C0,CD± AB,DEL BC,AC=6,DE=4求 CD和 AB 的长23、已知：如图，A ABC中，/ABC=Z C,BD 平分/ ABC求证:AB BC=ACCD.24、25、已知：如图,CE是Rt A ABC的斜边 AB上白高,BG± AP.求证:CE2已知：如图，AABC 中,AD=DB,/ 1=/2.求证：A AB6 A EAD.26、已知：如图，/1=/ 2, Z3=Z4. 求证：A DB曰 A ABC.27、如图，/ B=900, AB=BE=EF=FC=1 。求证

34、：A AEQ A CEA.28、如图，在梯形 ABCD 中，AB ±BC , / BAD=90 ° ,对角线 BD ±DCo() ABD与 DCB相似吗？请说明理由。 (2)如果 AD=4 , BC=9 ,求BD的长。29、已知，如图，在正方形 ABCD中，P是BC上的点，且 BP=3PC, Q是CD的中点，ADQ与 QCP是否相似？为什么？V1cBP C30、已知：如图所示，D是AC上一点，BE/AC , BE=AD , AE分别交BD、BC于点F、G, /1 = /2。则BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由31、如图，CD是RtAABC的斜边 AB上的高，

35、/ BAC的平分线分别交 BC、CD于点 E、F, AC - AE=AF - AB 吗？说明理由。32、如图，AD是欧 ABC 斜边BC上的高，DEDF,且DE 和 DF分别交AB、AC于E、Fo则处=BE吗？说说你的理由。AD BD33、如图已知 ABC中，/ ACB=90 , AC=BC点 E、F在 AB上，/ ECF=45 . (A1 )求证： ACS BEC ()设 ABC的面积为 S,求证:AF - BE=2S.34、如图，在 oABC邛，过点B作BE!CD,垂足为 E,连结AE,F为AE上一点，且ZBFE=/ C. （）求证：ABM EAD （Z2）若 AB=4,Z BAE=30

36、,求 AE 的长；（3）在（1） （2）的条件下，若AD=3,求BF的长.35、将正方形ABC所叠，使顶点A与CDi上的点M重合，折线交AD于E,交BC于F,边AB 折叠后与 BC交于点G, （1）如果 M为CD的中点，求证:DE： DM： EM=3 4 ： 5. （ 2）如果 MCMG勺周为CD上任一点,设AB=2a问4CMG勺周长是否与我 M的位置有关？若有关请把 长用含DM的长x （即DM=X的代数式表示；若无关，请说明理由.第5题图36、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为 10米,20米的梯形空地上种植花木如图，（）他们在AM的 BM刖带上种植太阳花单价为4

37、8元/itf,当 AMD地带种满花后（图中阴影部分）共花了160元请计算种满BMGfe带所需费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择，单价分别为12元/itf和10元/itf,应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金.（3）若梯形ABCM等腰梯形，面积不变（如图）请你设计一37、如图，正方形ABCM边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在BG CD±A若 AEM以 M N、C为顶点的三角形相似，求CM勺长.38、如图已知 ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ/ AB,P 点在 AC上（与 A、C不重合），Q在 BC上.（4）当PQC勺面积与四边形 PABQ

38、勺面积相等时，求CP的长.（/2）当 PQCW周长与 四边形PABQ勺周长相等时，求CP的长.（3）试问：在AB上是否存在一点 血使得PQM等腰直角三角形，若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长.40、如图在 ABC中,AB=AC,ADLBC,DELAC,M为DE的中点，AM与BE相交于N,AD与BE相交于F.DE AD求证：（1） CE=CR （Z2）BC曰 ADM （且）AM与BE互相垂直41、如图，在矩形ABCD43,AB=12 cm, BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动; 点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发

39、，用t （s）表示移动的时 间（04W6），那么（1）当&为何值时，QA斯等腰直角三角形；（2）求四边形QAPC勺面 积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q A、足为顶点的三角形与ABCffi似？42、如图，已知点E是四边形 ABCD勺对角线 BD上一点，且/BACW BDCW DAE. ( 1)求证:BCBE- AD=CD AE; (2)根据图形特点，猜想DE可能等于哪两条线段的比(只需写出图形中已有线段的一组比即可)，并证明你的结论.43、如图，在RtABC中，Z ACB=90 ,CD±AB,M是CD上的点,DHLBM于H,DH的延长线交 AC的延长

40、线于 E.求证：(d) AED CBM ()AE-CM=A CCD.44、如图，等腰三角形AB!=DB- CE.(d )求证：ADBABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点，且满足EAC (Z2 )若/ BAC=40 ,求/ DAE 的度数45、如图，P为正方形 ABCM边BC上的点，BP=3PC,Q是CD中点，()求证：ADQA QCP (2)在现在的条件下，请再写出一个正确结论.EC与AD相交于点F. （）求证:AB6fcd =5,BC=10，求 DE的长.DFCD46、如图在 ABC中，/ BAC=90 D为BC的中点,AE，AD,AE交CB的延长线于点 E. （1）求证：EAB ECA （及）ABE和4ADC是否一定相似？如果相似，加以说明，如果不相似，那么增加一个怎样的条件，4ABE和4ADC一定相似.47、已知，如图在 ABC中,D是BC的中点，且AD=AC,DEBC交AB于点E,48、已知，梯形 ABCD43 ,AD/ BC,AD<BCg AD=5,AB=DC=2. (1) P 为 AD上一点，满足 / BPCW A,求证：ABW DPC （）如果点P在AD边上移动（P与点A、D不重合），且满足/BPE至 A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于