（整理版）二○○一全国高中数学联赛

1、二一年全国高中数学联赛10月4日上午8：009：40题号一二三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题15个小题，全卷总分值150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。一、 选择题此题总分值36分，每题6分此题共有6个小是题，每题均给出abcd四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个不管是否写在括号内，一律得0分。1、a为给定的实数，那么集合m=x|x2-3x-a2+2=0,xr的子集的个数为 a1 b2 c4 d不确定5假设12100

2、0的展开式为，那么3691998的值为 a3333 b3666 c3999 d366枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，那么2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比拟，结果是 a2枝玫瑰价格高 b3枝康乃馨价格高 c价格相同 d不确定二、填空题此题总分值54分，每题9分7椭圆12的短轴长等于_8、假设复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-i,那么z1z2= 。9、正方体abcda1b1c1d1的棱长为1 ，那么直线a1c1与bd1的距离是 。10、不等式的解集为 。11、函数的值域为 。14、设曲线c1:(a为正常数)与c2:y

3、2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点p。（1） 求实数m的取值范围用a表示；（2） o为原点，假设c1与x轴的负半轴交于点a，当0<a<时，试求oap的面积的最大值用a表示。15、用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、a1>a2>a3>a4>a5>a6的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。二一年全国高中数学联合竞赛加试试题10月4日上午10：0012：00学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷总分值150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。

4、一、此题总分值50分如图：abc中，o为外心，三条高ad、be、cf交于点h，直线ed和ab交于点m，fd和ac交于点n。求证：1obdf，ocde；2ohmn。二、此题总分值50分设xi0(i=1,2,3,n)且，求的最大值与最小值。三、此题总分值50分将边长为正整数m,n的矩形划分成假设干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一选择题：cbddca 0个1个2个3个【答案】b 【解析】由于4如果满足60°，12，的恰有一个，那么的取值范围是 01212 012或【答案】d【解析】这是“

5、三角形的两边及其一边的对角，解三角形这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论说明：此题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除、5假设121000的展开式为，那么3691998的值为3333366639993【答案】c66枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，那么2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比拟，结果是2枝玫瑰价格高3枝康乃馨价格高 价格相同 不确定【答案】a二填空题7 8 9 10 11 12 732 7椭圆12的短轴长等于_【答案】8假设复数、满足2，3，3232，那么·_【答案】1213，513故·6 301

6、37213说明：此题也可以利用复数的几何意义解10不等式112232的解集为_【答案】4，或1227，或01【解析】从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得122，或27120，或120从而4，或1227，或0111函数的值域为_【答案】1，322，【解析】先平方去掉根号由题设得32，那么223由，得223解得132，或2由于能到达下界0，所以函数的值域为1，322，说明：1参考答案在求得132或2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要2此题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试12在一个正六边形的六个区域栽种欣赏植物如图3，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植

7、物现有4种不同的植物可供选择，那么有_种栽种方案【答案】732【解析】为了表达方便起见，我们给六块区域依次标上字母、按间隔三块、种植植物的种数，分以下三类三解答题13【解析】设所求公差为d，a1a2，d0由此得 化简得：14【解析】(1)由 消去y得： 设，问题(1)化为方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需讨论以下三种情况： 1°0得：，此时xpa2，当且仅当aa2a，即0a1时适合； 2°f (a)f (a)0，当且仅当ama； 3°f (a)0得ma，此时xpa2a2，当且仅当aa2a2a，即0a1时适合 f (a)0得ma，此时xpa2a2，由于a2a2

8、a，从而ma 综上可知，当0a1时，或ama； 当a1时，ama15【解析】设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为rfg，当r ia i，i3，4，5，6，r1、r2是a1、a2的任意排列时，rfg最小 证明如下： 1设当两个电阻r1、r2并联时，所得组件阻值为r，那么故交换二电阻的位置，不改变r值，且当r1或r2变小时，r也减小，因此不妨取r1r22设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为rab 显然r1r2越大，rab越小，所以为使rab最小必须取r3为所取三个电阻中阻值最小的个4°对于图3把由r1、r2、r3组成的组件用等效电阻rab代替要使rfg最小，由3°必需使r6r5

9、；且由1°应使rce最小由2°知要使rce最小，必需使r5r4，且应使rcd最小 而由3°，要使rcd最小，应使r4r3r2且r4r3r1， 这就说明，要证结论成立全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准另证：以bc所在直线为x轴，d为原点建立直角坐标系， 设a(0，a)，b(b，0)，c(c，0)，那么 直线ac的方程为，直线be的方程为 由 得e点坐标为e() 同理可得f() 直线ac的垂直平分线方程为 直线bc的垂直平分线方程为 由 得o() obdf二【解析】先求最小值，因为1等号成立当且仅当存在i使得xi1，xj0，ji 最小值为1 再求最大值，令 设， 令 那么 令0，那么 三【解析】记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)rnn(m，n) (*) 其中(m，n) 表示m和n的最大公约数 事实上，不妨没mn (1)关于m归纳，可以证明存在一种符合题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rnn(m，n) 当用maa1bcd1dmn 假设当，mk时，结论成立(k1)当mk1时，假设nknk1，从矩形abcd中切去正方形aa1d1d(如图)，由归纳假设矩形a1bcd1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为mnn(mn，n)m(m，n)，于是原矩形abcd有一种分法使得所得正方形边长之和为rnn(m，n) (2)关于m归纳