2011年高考数学 复习选考4-4坐标系与参数方程

1、选考4-4坐标系与参数方程直角坐标知识体系坐标系坐标系与参数方程极坐标方程几种常见变换参数方程极坐标柱坐标系与球坐标平移变换伸缩变换最新考纲1. 坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2. 参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.基础热身1.

2、参数方程与普通方程的区别与联系在求曲线的方程时，一般地需要建立曲线上动点P（x，y）的坐标x和y之间满足的等量关系F（x，y）0，这样得到的方程F（x，y）0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x，y的方程F（x，y）0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t，使之与曲线上动点P的坐标x和y间接地联系起来，此时可得到方程组，即点P的运动通过变量t的变化进行描述.若对t的每一个值，由方程组确定的点（x,y）都在曲线C上；反之对于曲线C上的每一个点（x,y），x,y都是t的函数，则把方程组叫做曲线C的参数方程，其中的t称为参数.2. 化参数方程为普通方程的基本思路是 ，常用的消参方法有 、

3、、 .3. 化普通方程为参数方程的基本思路是 ，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y=(t)），再代入普通方程F（x，y）0，求得另一关系y=(t)（或x=f(t)）.一般地，常选择的参数有 .4. 常见曲线的参数方程的一般形式（1）经过点P0（x0,y0），倾斜角为的直线的参数方程为 ；（2）圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程S ；厄 ；厄 ；人 .5. 极坐标系与点的极坐标极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系，它由极点O与极轴Ox组成.对于平面内任一点P，若设|OP|=（0），以Ox为始边，OP为终边的角为，则点P可用有序数对（，）表示（由于角表示方法的多样性

4、，故（，）的形式不唯一，即一个点的极坐标有多种表达形式）.对于极点O，其极坐标为 ，为任意值，但一般取=0，即极点的极坐标为 .6. 极坐标与直角坐标的互化互化的前提条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（，），则 若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.7. 特殊位置的直线与圆的极坐标方程（1）直线： ；（2）圆： .8. 圆锥曲线的统一极坐标方程： ,其中表示抛物线时,p为中的p;表示椭圆和双曲

5、线时,.利用圆锥曲线的极坐标方程可以简捷地解决与焦点弦、焦半径有关的问题.基础达标1. 化极坐标方程cos-=0为直角坐标方程为 .2. 直线xcos+ysin=0的极坐标方程为 .3. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为 .4. 直线(t是参数)的倾斜角的大小是 .5. 直线(t为参数)过定点 .互动学案典例分析【例1】判断点是否在曲线=上?分析 在极坐标系内,判断点是否在曲线上与在直角坐标系内是不同的.不能只是简单地将点的坐标代入曲线方程,当点的坐标代入不能满足方程时,我们还要找这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解 点和点是同一点,而,点在曲线=上,即点也在曲线=上.【例2】极坐标方程4

6、p·=5表示的曲线是 .分析 先利用二倍角公式降幂，然后利用互化公式转化，还需掌握圆锥曲线的性质及表达式.解 4·=4·=2-2cos=5，化为直角坐标方程为-2x=5，化简得显然该方程表示的是抛物线举一反三1. 极坐标方程为-cos+sin=0表示的圆的半径为 .【例3】与普通方程+y-1=0等价的参数方程为（t为参数）( )A. B. C. D. 分析 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法.解 A项化为普通方程为+y-1=0,x-1,1,y0,1，B项化为普通方程为+y-1=0,xR,

7、y(-,1，C项化为普通方程为+y-1=0,x0,+),y(-,1， D项化为普通方程为+y-1=0,x-1,1,y0,1，而已知方程+y-1=0，xR，y(-,1,显然与之等价的方程是B项.【例4】直线(t为参数)被双曲线=1截得的弦长为 .分析 可以先把直线方程化成标准形式参数方程，运用参数的几何意义求之.另外可把直线的参数方程化为普通方程，与双曲线方程联立、消元、利用弦长公式|AB|=求得弦长.解 (t=2t为参数)，代入=1,得:=1，整理得：-4t-6=0，设其二根为,，则+=4,·=-6，从而弦长为|AB|=|-|=举一反三2. 方程 (t为参数)表示的曲线是 .【例5】

8、求椭圆=1上一点P与定点（1，0）之间距离的最小值分析 先设出点P的坐标，建立有关距离的函数关系，然后利用函数的最值求法进行求解.解设 P(3cos,2sin),则P到定点（1，0）的距离为d()=.当cos=时，d()取最小值【例6】已知直线的极坐标方程为=，则极点到该直线的距离是 .分析 对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，因此应首选把极坐标系内的问题化为直角坐标系问题的解决方法，这需把极点、直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程.解 极点的直角坐标为O（0，0），=，sin+cos=1，化为直线坐标方程为x+y-1=0，点O（0,0）到直线x+

9、y-1=0的距离为d=，即极点到直线的距离为举一反三3. （2010·广州模拟）已知为参数，则点(3，2)到方程的距离的最小值是 .易错警示【例】直线(t为参数）被圆=9截得的弦长为 .错解 把直线代入=9得=9,即5+8t-4=0，则,即为所求弦长.错解分析 没有理解t的几何意义，导致误认为就是弦长.正解 由，把直线代入=9得=9,即5+8t-4=0,，则弦长为考点演练1. 极坐标方程cos2=0表示的曲线为 .2. 若A，B，则|AB|= ，= （其中O是极点）.3. 极点到直线(cos+sin)=的距离是 .4. 极坐标方程-2·cos=0表示的曲线是 .5. 若圆C

10、的方程是=2asin，则它关于极轴对称的圆的方程为 ，它关于直线=对称的圆的方程为 .6. 曲线的极坐标方程为=tan·，则曲线的直角坐标方程为 .7. 直线(t为参数)的斜率为 .8. （2010·惠州模拟）直线(t为参数)上到点A（1，2）的距离为的点的坐标为 9. （2007·广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(参数tR),圆C的参数方程为(参数0,2),则圆C的圆心坐标为 ,圆心到直线l的距离为 .10. 设y=tx(t为参数），则圆-4y=0的参数方程为 .11. 已知直线l：(t为参数)，圆C：=25,求直线l被圆C所截得的弦长.12.

11、 （2010·广东联考）已知点P(x,y)为椭圆=1(b>4)上的点，求+2y的最大值.参考答案选考4-4基础梳理2. 消去参数 代入消去法 加减消去法 恒等式（三角的或代数的）消去法3. 引入参数角 有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标（或纵坐标）4. （1）(t为参数)（2）圆的参数方程为(为参数)椭圆=1的参数方程为（为参数）双曲线=1的参数方程为(为参数)抛物线=2px的参数方程为(t为参数)5. （0，）（0，0）6. ,或.7. （1）cos=a，cos=-a,sin=a,sin=-a(a>0)（2）=2acos,=-2acos,=2asin,=-2asin(

12、a>0)8. =基础达标1. =0或x=1 解析：(cos-1)=0,=0或cos=1，=0或x=1.2. =k+(kZ) 解析：coscos+sinsin=0,cos(-)=0,-=+k(kZ).3. =6cos 解析：如下图，设圆上任一点为P（,），则|OP|=,POA=，|OA|=2×3=6.在RtOAP中，|OP|=|OA|·cosPOA，=6cos.4. 解析：将直线l化为普通方程为y=-x+1，所以直线l的倾斜角为.5. (3,-1) 解析：由,得-(y+1)a+4x-12=0对于任何a都成立，则x=3,且y=-1.举一反三1. 1 解析：方法一：方程变形

13、为=cos-sin=2cos，该方程表示的圆的半径与圆=2cos的半径相等，故所求的圆的半径r=1方法二：把方程化为-cos+sin=0，化为直角坐标方程为-x+y=0，=1,故所求的圆的半径r=1 2. 焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支 解析：注意到与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项，=-4,即有=4，又注意到>0,=2，即y2，可见与以上参数方程等价的普通方程为=4(y2).显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支.3. 1 解析：化为普通方程为=1，所以点(3，2)到方程的距离的最小值是1考点演练1. 两条相交直线解析：cos

14、2=0,=0或cos2=0,=k±,又极点O在=k±上，其表示的曲线为两条相交直线.2. 32() 解析：在极坐标系中画出点A、B，易得AOB=150°.在AOB中，由余弦定理得-2|OA|·|OB|cosAOB，|AB|=;SOAB=|OA|·|OB|sinAOB=×3×3×sin 150°=.3. 解析：极点坐标为（0，0），直线的直角坐标方程为x+y-=0，故极点到直线的距离d=.4. 抛物线 解析：方程两边同乘以，则-2cos=0，即=2x，它表示的曲线是抛物线.5. =-2asin=-2acos 解析：圆C关于极轴对称的圆的方程为=-2asin，关于直线=对称的圆的方程为=-2acos.6. =y解析：=，=sin,=sin，即=y7. - 解析：k=8. （-3，6）或（5，-2） 解析：设点P(x,y)为直线上所要求的点，|PA|=，解得t=或t=-，故P（-3，6）或（5，-