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1、不等式中的易错题剖析 1、:、都是正数,且,求的最小值。错解:、都是正数, ,即的最小值为4。正解:、都是正数,且, 当且仅当时,的最小值为。 剖析:中等号成立的条件是当且仅当,而 中等号成立的条件是当且仅当。这与矛盾, 因此解题中无视了条件,从而造成错误。2、二次函数满足,求的取值范围。错解:, 又 正解:设,那么有,即 又, , 剖析:在屡次应用不等式样性质的时候,假设等号不能同时成立时,会使所求范围扩大, 因此在解不等式范围的题时务必要检查等号能否成立。3、,求的最大值。错解: ,即的最大值为。 正解1: 因此,当且仅当时,的最大值为。 正解2:用导数知识解, ,令,得或 又,且当时,;
2、当时, 当时,的最大值为。 剖析:在应用均值不等式解题时,无视了均值不等式中等号成立的条件:“一正、二定、 三相等中的第三个条件,因为无论在中取何值,等式 都不成立。4、且,关于的不等式的解集是,解关于的不等式的解集。错解: 正解:因为关于的不等式的解集是,所以,故 或 故原不等式的解集是。 剖析:其一、无视了所给条件的应用和对数的真数大于,其二、无视了分式不等式正 确解法。5、解集错误地写成不等式或不注意用字母表示的两个数的大小: 例题1、假设, 那么关于的不等式的解集是 . 错解:或 正解: 或 剖析: 错解中解集没写成了不等式的形式;也没搞清和的大小关系。6、解不等式.错解一:原不等式可
3、化为, 解得x2 原不等式的解集是x|x2. 错解二:在不等式f(x)·0中,按f(x)的取值情况分类, 有,或 当,即时,原不等式等价于,解得x 2; 当,即时,显然无意义,其解集为 综上所述,原不等式的解集为x|x 2正解一:原不等式可化为(i)(x-1)> 0,或() (i)中,由得x > 2; ()中,由,或x 1 = o, 且有意义,得x = 1,或x = 2 原不等式的解集为x|2,或x = - 1正解二:分两种情况讨论 1 当,即x > 2,或x < - 1时, 原不等式等价于解得x > 2 (2) 当,即x = 2,或x = - 1时,
4、显然有意义,是原不等式的解 综上所述原不等式的解集是x|x2,或x = - 1剖析:错解一中,当x = - 1时,原不等式也成立,漏掉了x = - 1这个解原因是 忽略了不等式中“具有相等与不相等的双重性事实上, 不等式f(x)·0与或g(x) = 0同解. 即当x l < 0,且时也符合条件,即补上x = - 1 故原不等式的解集为x|x2,或x = - 1 小结:1符号“是由符号“>“ = 合成的,故不等式可转 化为f(x)· > 0或f(x)· = 0 2在不等式中,按g(x)的取值情况分类,有两种情况: i)g(x) > 0时,等式
5、等价于(ii)g(x) = 0时'只须f(x)有意义即可.7、设函数,其中,解不等式 错解:不等式f(x)1,1 + ax两边平方,得x2 + 1(1 + ax)2 , 即x·(a2 - 1)x + 2a0又, 当a > 1时,x 0,或x -; 当0 < a < 1时,0 x 正解:不等式f(x)1,即1 + ax 由此得11 + ax,即axo,其中a > 0 原不等式等价于不等式组即 当0 < a <1时,原不等式的解集为x|0x; 当a1时,原不等式的解集为x|xo 剖析:未能从条件中挖掘出隐含条件:“1 + ax 1”,即“ax0”,进而由a > 0 可得x0小结:解不等式常见的思维误区有:1概念模糊。变形不同解.常见于解分式不等式、对数不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值不等式、含排列数或组合
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