3.2.3直线与平面的夹角

1、异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D结论：结论：cos|cos,| a b|一、线线角：一、线线角： ab，ab，设直线的方向向量为 ，的方向向量为CAaBbDaabb所以 与 所成角的余弦值为A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则： Cxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD所以：11(,0,1),2 AF111( ,1)22 BD11cos, AF BD1111| AF BDAFBD113041053421BD1AF3010练习练习090 ,中，现

2、将沿着Rt ABCBCAABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求与所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC1111取、的中ABAC111111取、的中点、 ，ABACDF练习：练习：在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA1112,为上的一点,且MBCB M1点 在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4), AM1(0,8, 4), AD10 AM AD1.ADAM（2）求与平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M简解：简解：斜线与

3、平面所成的角斜线与平面所成的角平面的一条斜线平面的一条斜线和它在这个平面内的射影和它在这个平面内的射影 所成的所成的锐角锐角AOB二、线面角二、线面角当直线与平面垂直时，直当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是线与平面所成的角是90当直线在平面内或当直线在平面内或与平面平行时，与平面平行时，直线与平面所成的角直线与平面所成的角是是0斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角（ 0, 90）直线与平面所成的角直线与平面所成的角 0, 90异面直线所成的角异面直线所成的角（ 0, 90若斜线段若斜线段AB的长度是它在平面的长度是它在平面内的射影内的射影长的长的2倍，则倍，则AB与与所成的角为所成的角为

4、 。60ABO最小角原理最小角原理AOBM斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中面内的直线所成的一切角中最小的角最小的角。AOBM如图如图,直线直线OA与平面与平面所成的角为所成的角为 1,平平面内一条直线面内一条直线OM与与OA的射影的射影OB所成所成的角为的角为 2,设设AOM为为 求证求证:cos = cos 1 cos 2 1 2SACBOFE如图，如图， ACB=90 ，S为平面为平面ABC外一点，外一点， SCA= SCB= 60 ，求，求SC与平面与平面ACB所成的角所成的角4若直线若直线 l1与平面所成的角为与平面所

5、成的角为60 ，则这条直线与，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为平面内的直线所成的一切角中最小的角为 ，最大的角为最大的角为 。9060Ol1例题、如图，在正方体例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，求求A1B与平面与平面A1B1CD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1O例： 1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz2 ，n BA直线与平面所成角的范围： 0,2ABO, 设平面 的法向量为 ，则与 的关系？nn BA思考：思考：结论：结论：sin|cos,| n AB 二、线面角：

6、二、线面角： nnBAAB2 ，n BA例1： 1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(0 0 0)A ， ，1(101)B， ，(110)C ， ，设正方体棱长为设正方体棱长为1，1AB AD AA ， ，为单以以1(101)(110)ABAC ， ， ，1(111)C， ，11(010)BC 则， ，1()ABCnxyz设为， ，平平面面的的法法向向量量100n ABn AC 则，0=10= -1xzxyn =(1 -1 -1)， ， ，xyz所所以以取取得得故故位位正正交交基基底底，可可得得110 1 03c

7、os313n BC ，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC例例 2 如图，在四棱锥如图，在四棱锥S-ABCD中，底面中，底面ABCD为平为平行四边形，侧面行四边形，侧面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC= 2 ，SA=SB= .(1)求证求证 (2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。045ABC3.SABCSABCDOxyz2SABDOC02 222452BCOBABABCOA则由得，又，得证明：证明：(1)取取BC中点中点O，连接，连接OA、OS。090AOBAOBC即SBCABCDAOABCDSBCABCDBCAOSBC又平面平

8、面，平面且平面平面，平面 231AOSOAO=SASO。又，22202390OBSBSBSOOBSOB又，BCSOBCAOSOAOOBCSOABCSA，平面，(2)求直线求直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。(1)SOOABCOAOBOS解：由知，两两垂直。故以、为正交基底建立空间直角坐标系如图。则SABCOxyzD(0 01)( 2 -2 2 0)( 2 0 0)(02 0)SDAB， ， ， ，( 22 21)( 2 01)(021)SDSASB ， ， ， ， ， ()SABnxyz设平面的一个法向量为， ， ，则2000220 xzn SAn SBzyz ，得取得

9、(112)SABn 平面的一个法向量为， ，则22cos11SDn ，所以直线所以直线SD与平面与平面SAB所成角的正弦值为所成角的正弦值为2211例例3、如图所示，在四棱锥、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中的中点。点。(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为证明：设正方形边长为1，则，则PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点DADC DP 以， ，

10、 为正交基底建立空间直角坐标系。如图所示。则(0 0 0)(0 01)(10 0)(010)(110)DPACB， ， ， ， ， ，(101)PA ， ，1 1(0)2 2EPCE又 为中点，点坐标为 ，1 1(0)2 2GBDG 为中点，点坐标为，11(0)22EG ， ，2/PAEGPAEGPAEGPAEG 可得。因为与不共线，所以/PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(0 0 0)(0 01)1 1(110)(0)2 2DPBE由知， ， ， ， ，PDABCDPDABCD 解：因

11、为平面，所以是平面的法向量。11(0 01)(1)22PDEB ， ， ，10062cos6312PD EB ，所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为66所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为55 一个一个平面平面内的一条内的一条直线直线把这个把这个平面平面分成分成两个部分两个部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做半平面半平面。 一条一条直线直线上的一个上的一个点点把这条把这条直线直线分成两分成两个部分个部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做射线射线。2OBAAB 从一条直线出发的两个半平面所组成的从一条直线出发的两个

12、半平面所组成的图形叫做图形叫做二面角二面角。 这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。3定义:AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD5OBAAOB表示方法： lOO1ABA1B1A O BA1O1B1？ 以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为端点，在上任意一点为端点，在两个面内两个面内分别作分别作垂直垂直于棱的两条射线，这于棱的两条射线，这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。平面角是平面角是直角直角的二的二面角叫做面角叫做直二面角直二面角9二面角的大小用它的平面角

13、来度量二面角的大小用它的平面角来度量度量：二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在在两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这的两条射线，这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOAB:0,范 围二面角的计算：二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、证明证明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、计算

14、出此角的大小计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”16.如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角中，二面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.2练习. 在二面角在二面角-l-的一个平面的一个平面内有一条直线内有一条直线AB，它，它与棱与棱 l 所成的角为所成的角为45，与平面，与平面所成的角为所成的角为30，则，则这个二面角的大小是这个二面角的大小是_.344或练习3、在二面角在二面角-a-内，过内，过a作一个半平面作一个半平面，使二面角，使二面角-a-=45，二面角，二面角-a-=30，则，则内的任意一点内的任意一点P到平到平面面与平面与平面的距离之比为

15、的距离之比为 2练习二面角的求法二面角的求法(2)(2)垂线法垂线法(1)(1)垂面法垂面法(3)(3)射影法射影法垂面法垂面法(定义法定义法)定义法:根据定义,找到二面角的棱垂面即可得平面角,解三角形求其大小.ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，求二面角中，求二面角D1ACD的大小？的大小？OABC中中,ABBC,SA 平面平面ABC,DE垂垂直平分直平分SC,又又SA=AB,SB=BC,求二面角求二面角E-BD-C的大小的大小?SABCED3垂线法垂线法(三垂线三垂线定理或逆定理定理或逆定理)垂连求角三垂线法:首先找其中一个半平面的垂线,找不到垂线找垂面(指其中一个半平面的垂

16、面),找到垂面作垂线,构造三垂线定理或逆定理条件得平面角. 三棱锥三棱锥P-ABC中，中，PA 平面平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BCPABC （1）求二面角）求二面角A-PC-B的大小的大小DEBD=DE=235815COS =43四棱锥四棱锥P-ABCD的底面是边长为的底面是边长为4的正方形，的正方形，PD面面ABCD，PD=6，M,N是是PB,AB的中点，的中点，求二面角求二面角M-DN-C的平面角的正切值？的平面角的正切值？PDABCNMOH3 5arctan2如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABC中，面中，面PBC面面ABC，PBC是边长为是边长为a的正三角形，的正三角形，

17、ACB= 90， BAC=30，BM=MC求证：求证： PB AC 二面角二面角C-PA-M的大小的大小 PMBCADF2arctan3ABCDO射影法射影法是不找平面角求二面角的一种方法:ABCAM已知：如图已知：如图ABC的顶点的顶点A在平面在平面M上的射上的射影为点影为点A， ABC的面积是的面积是S， ABC的的面积是面积是S，设二面角设二面角A-BC-A为为 求证：求证：COS = S SD在正方体在正方体AC1中，中，E,F分别是中点分别是中点,求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的锐二面角的大小所成的锐二面角的大小EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C6a

18、rccos6在正方体在正方体AC1中，中，E,F分别是中点分别是中点,求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的锐二面角的大小所成的锐二面角的大小EFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH过正方形过正方形ABCD的顶点的顶点A引引SA底面底面ABCD，并使平面并使平面SBC，SCD都与底面都与底面ABCD成成45度度角，角，(1)求二面角求二面角BSCD的大小？的大小？(2)求求面面SCD与面与面SAB所成的二面角所成的二面角ABCDSOE01200045135或一题多解：:ASD垂面法射影面积法法向量法ll三、面面角：三、面面角：二面角的范围：0, 法向量法法向量法 1n 1n 2

19、n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n注意注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角A( 0, 0, 0) ,C ( 1, 1, 0) ,1,0),D ( 0,(0,0,1)S1(0,1,0)SBAnAD易知面的法向量( 1,0,0),(0,1, 1)CDSD 2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得：设平面设平面00 xyz2(0,1,1)n 任取12121

20、22cos,2|n nn nnn 22即所求二面角得余弦值是:1 ;,SAO AB AD AS 解 设建立空间直角坐标系l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。夹角。如图，设二面角如图，设二面角 的大小为的大小为 ，其中其中l,ABl ABCDl CDcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA三、面面角：三、面面角：方向向量法：方向向量法：二面角的范围：0, 例、已知在一个二面角的棱上有两个点例、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段线段AC，BD分别在这个二

21、面角的两个面内，并且分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱都垂直于棱AB，AB=4=4cm，AC=6=6cm，BD=8=8cm，CD= =2 17cm，求二面角的度数，求二面角的度数CDAB 222222()(2 17)6482cos,CDCA AB BDCA BDCA BD 1cos,21cos,2CA BDAC BD 3E例例.正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中点，的中点，当当 时，求二面角时，求二面角 的余弦值。的余弦值。111CBAABC 11BCABCBCD1CADBC1B1A1)0,21,23(aaA)0 ,0(aB)0 ,41,43(aaD), 0 , 0(1bC),0

22、(1baB解法一解法一(方向向量）：如图，以方向向量）：如图，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为。设底面三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则故),21,23(1baaAB), 0(1baBC11,ABBC2211102AB BCab 22ba则可设 =1， ，则B(0,1,0) a22b)0 ,41,43(D)22, 0 , 0(1CyxzCADBC1B1A1FE作作 于于E, 于于F，则则 即为二面角即为二面角 的大小的大小1BCCE 1BCDF FDEC,CBCD1在在 中，中， BCCRt121222211abBCCCEBEC12

23、CEEB 12(0,)33E12(0,)33EC 由于 且 ，所以 ACBDABCCC面1DCBD1在 中，同理可求 BDCRt1)42,21,0(F)42,41,43(FDcos = FDEC ,22463341FDECFDEC即二面角 的余弦值为 CBCD122yxzCADBC1B1A1FE解法二解法二（法向量）同法一，以（法向量）同法一，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面在坐标平面yoz中中 1CC B设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 BDC1),(zyxm 同法一，可求同法一，可求 B(0,1,0)0 ,41,43(D)22, 0 , 0

24、(1C) 0 ,43,43(DB)22,41,43(1DC可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 BCC1nyxzCADBC1B1A1由由 得得mDBmDC,113120,442CD mxyz 04343yxmDB解得解得 zyx263 所以，可取所以，可取 )6, 3, 3(m二面角二面角 的大小等于的大小等于 CBCD1nm, cos = nm,22233nmnm即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 CBCD122 证明：以证明：以 为正交基底，为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得建立空间直角坐标系如图。则可得1DA DC DD 、 、1(2 0 0)(0 2 0)(0 01)(2 2 2)(110)ACMBO， ， ， ， ， ，。1(2 01)(0 21)( 112)MAMCBO 所以， ， ， ， ， ， ，1120200220BO MABO MC ，11BOMABOMC 所以 ， 11BOMABOMCMAMCC即 ， 。又1BOMAC所以平面 例例. .已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2， O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证： 直线直线 面面MAC; （2 2）