（整理版）　双曲线2

1、52双曲线导学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想自主梳理1双曲线的概念平面内动点p与两个定点f1、f2(|f1f2|2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，那么点p的轨迹叫_这两个定点叫双曲线的_，两焦点间的距离叫_集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当_时，p点的轨迹是_；(2)当_时，p点的轨迹是_；(3)当_时，p点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)图形性质范围xa

2、或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：a1(a,0)，a2(a,0)顶点坐标：a1(0，a)，a2(0，a)渐近线y±xy±x离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (c>a>0，c>b>0)3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为_，其渐近线方程为_，离心率为_自我检测1(·安徽)双曲线2x2y28的实轴长

3、是()a2 b2c4 d42双曲线1 (b>0)的左、右焦点分别为f1、f2，其中一条渐近线方程为yx，点p(，y0)在该双曲线上，那么·等于()a12 b2c0 d43(·课标全国)设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|为c的实轴长的2倍，那么c的离心率为()a. b.c2 d34(·武汉调研)点(m，n)在双曲线8x23y224上，那么2m4的范围是_5a(1,4)，f是双曲线1的左焦点，p是双曲线右支上的动点，求|pf|pa|的最小值探究点一双曲线的定义及应用例1定点a(0,7)，b(0，7)，c(12,2

4、)，以c为一个焦点作过a，b的椭圆，求另一焦点f的轨迹方程变式迁移1动圆m与圆c1：(x4)2y22外切，与圆c2：(x4)2y22内切，求动圆圆心m的轨迹方程探究点二求双曲线的标准方程例2双曲线的一条渐近线方程是x2y0，且过点p(4,3)，求双曲线的标准方程变式迁移2(·安庆模拟)双曲线与椭圆1的焦点相同，且它们的离心率之和等于，那么双曲线的方程为_探究点三双曲线几何性质的应用例3双曲线的方程是16x29y2144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设f1和f2是双曲线的左、右焦点，点p在双曲线上，且|pf1|·|pf2|32，求f1pf2的大小变式

5、迁移3双曲线c：y21.(1)求双曲线c的渐近线方程；(2)m点坐标为(0,1)，设p是双曲线c上的点，q是点p关于原点的对称点记·，求的取值范围方程思想的应用例(12分)过双曲线1的右焦点f2且倾斜角为30°的直线交双曲线于a、b两点，o为坐标原点，f1为左焦点(1)求|ab|；(2)求aob的面积；(3)求证：|af2|bf2|af1|bf1|.ab|需要a、b两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线ab；(2)在(1)的根底上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到a、b两点在双曲线上这个条件【答题模板】(1)解由双曲线的方程得a，b，c3，f1(3,0)，f

6、2(3,0)直线ab的方程为y(x3)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由，得5x26x270.2分x1x2，x1x2，|ab|x1x2|··.4分(2)解直线ab的方程变形为x3y30.原点o到直线ab的距离为d.6分saob|ab|·d××.8分(3)证明如图，由双曲线的定义得|af2|af1|2，|bf1|bf2|2，10分|af2|af1|bf1|bf2|，即|af2|bf2|af1|bf1|.12分【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|ab|，再求点o到直线ab的距离从

7、而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易无视消元后的一元二次方程的判别式>0，而导致错解1区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c的大小关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1)2双曲线1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y±x，1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y±x.3双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，假设满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程(2)待定系数法，其步骤是：定位

8、：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数(总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1m(2,0)、n(2,0)，|pm|pn|3，那么动点p的轨迹是()a双曲线 b双曲线左边一支c双曲线右边一支 d一条射线2设点p在双曲线1上，假设f1、f2为双曲线的两个焦点，且|pf1|pf2|13，那么f1pf2的周长等于()a22 b16 c14 d123(·宁波高三调研)过双曲线1 (a>0，b>0)的右焦点f作圆x2y2a2的切线fm(切点为m)，交y轴于点p.假设m为线段fp的中点，那么双曲线的离心

9、率为()a. b. c2 d.4双曲线1的左焦点为f1，左、右顶点分别为a1、a2，p是双曲线右支上的一点，那么分别以pf1和a1a2为直径的两圆的位置关系是()a相交 b相离 c相切 d内含5(·山东)双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆c：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，那么该双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1二、填空题(每题4分，共12分)6(·上海)设m是常数，假设点f(0,5)是双曲线1的一个焦点，那么m_.7设圆过双曲线1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，那么此圆心到双曲线中心的距离为_8(·铜

10、陵期末)以双曲线c的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，那么双曲线c的离心率为_三、解答题(共38分)9(12分)根据以下条件，求双曲线方程：(1)与双曲线1有共同的渐近线，且经过点(3，2)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)10(12分)(·广东)设圆c与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切(1)求圆c的圆心轨迹l的方程；(2)点m(，)，f(，0)，且p为l上动点，求|mp|fp|的最大值及此时点p的坐标11(14分)(·四川)定点a(1,0)，f(2,0)，定直线l：x，不在x轴上的动点p与点f的距

11、离是它到直线l的距离的2倍设点p的轨迹为e，过点f的直线交e于b、c两点，直线ab、ac分别交l于点m、n.(1)求e的方程；(2)试判断以线段mn为直径的圆是否过点f，并说明理由52双曲线自主梳理1双曲线焦点焦距(1)a<c双曲线(2)ac两条射线(3)a>c3.等轴双曲线y±xe自我检测1c2x2y28，1，a2，2a4.2c3b设双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y±，故|ab|，依题意4a，2，e212，e.4(，4242，)5解设双曲线的

12、右焦点为f1，那么由双曲线的定义可知|pf|2a|pf1|4|pf1|，|pf|pa|4|pf1|pa|.当满足|pf1|pa|最小时，|pf|pa|最小由双曲线的图象可知当点a、p、f1共线时，满足|pf1|pa|最小，易求得最小值为|af1|5，故所求最小值为9.课堂活动区例1解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，假设是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性解设f(x，y)为轨迹上的任

13、意一点，因为a，b两点在以c，f为焦点的椭圆上，所以|fa|ca|2a，|fb|cb|2a(其中a表示椭圆的长半轴)所以|fa|ca|fb|cb|.所以|fa|fb|cb|ca|2.所以|fa|fb|2.由双曲线的定义知，f点在以a，b为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上所以点f的轨迹方程是y21 (y1)变式迁移1解设动圆m的半径为r，那么由得，|mc1|r，|mc2|r，|mc1|mc2|2，又c1(4,0)，c2(4,0)，|c1c2|8.2<|c1c2|.根据双曲线定义知，点m的轨迹是以c1(4,0)、c2(4,0)为焦点的双曲线的右支a，c4，b2c2a214.点m的轨迹方程是

14、1 (x)例2解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，那么应分两种情况讨论解决此题的方法有两种：一先定位，防止了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样防止了对双曲线方程类型的讨论在共渐近线的双曲线系 (参数0)中，当>0时，焦点在x轴上；当<0时，焦点在y轴上解方法一双曲线的一条渐近线方程为x2y0，当x4时，y2<yp3，双曲线的焦点在y轴上从而有，b2a.设双曲线方程为1，由于点p(4,3)在此双曲线上，1，解得a25.双曲线方程为1.方法二双曲线的一条渐近线方程为x2y

15、0，即y0，双曲线的渐近线方程为y20.设双曲线方程为y2 (0)，双曲线过点p(4,3)，32，即5.所求双曲线方程为y25，即1.变式迁移21解析由于在椭圆1中，a225，b29，所以c216，c4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于1 (a>0，b>0)，且c4，所以ac2，a24，b2c2a212，于是双曲线的方程为1.例3解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义“方程观点“直接法或待定系数法求曲线方程“数形结合等解(1

16、)由16x29y2144，得1，a3，b4，cf1(5,0)，f2(5,0)，离心率e，渐近线方程为y±x.(2)|pf1|pf2|6，cosf1pf20，f1pf290°.变式迁移3解(1)因为a，b1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为yx0，yx0.(2)设p点坐标为(x0，y0)，那么q的坐标为(x0，y0)，·(x0，y01)·(x0，y01)xy1x2.|x0|，的取值范围是(，1课后练习区5a双曲线1的渐近线方程为y±x，圆c的标准方程为(x3)2y24，圆心为c(3,0)又渐近线方程与圆c相切，即直线bxay0与圆c相切，2，5b

17、24a2.又1的右焦点f2(，0)为圆心c(3,0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.616解析由条件有52m9，所以m16.7.8.9解(1)方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，(2分)设双曲线的方程为1，由题意，得解得a2，b24.(4分)所以双曲线的方程为x21.(6分)方法二设所求双曲线方程 (0)，(2分)将点(3,2)代入得，(4分)所以双曲线方程为，即x21.(6分)(2)设双曲线方程为c2.(8分)又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.(10分)故所求双曲线的方程为1.(12分)10解(1)设圆c的圆心坐标为(x，y)，半

18、径为r.圆(x)2y24的圆心为f1(，0)，半径为2，圆(x)2y24的圆心为f(，0)，半径为2.由题意得或|cf1|cf|4.(4分)|f1f|2>4.圆c的圆心轨迹是以f1(，0)，f(，0)为焦点的双曲线，其方程为y21.(6分)(2)由图知，|mp|fp|mf|，当m，p，f三点共线，且点p在mf延长线上时，|mp|fp|取得最大值|mf|，(8分)且|mf|2.(9分)直线mf的方程为y2x2，与双曲线方程联立得整理得15x232x840.解得x1(舍去)，x2.此时y.(11分)当|mp|fp|取得最大值2时，点p的坐标为(，)(12分)11解(1)设p(x，y)，那么2，化简得x21(y0)(5分)(2)当直线bc与x轴不垂直时，设bc的方程为yk(x2) (k0)，