5-2非齐次线性方程组

1、5.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质.0,1)( 2121的解的解为对应的齐次方程为对应的齐次方程则则的解的解都是都是及及设设 AxxbAxxx 证明证明 . 021 bbA . 021 Axx满满足足方方程程即即 bAbA 21, 证明证明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 证毕证毕.,0,2)( 的解的解仍是方程仍是方程则则的解的解是方程是方程的解的解是方程是方程设设bAxxAxxbAxx .11 rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐

2、次线性方程组的任意一个特解解.rnrnkk 11 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题bAx ;, 21线线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量nb ;,2121等等价价与与向向量量组组向向量量组组bnn .,2121的秩相等的秩相等与矩阵与矩阵矩阵矩阵bBAnn 线性方程组线性方程组 有解有解bAx 线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的

3、理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法例例1 1 求解方程组求解方程组 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行变换施行初等行变换对增广矩阵对增广矩阵B 2132111311101111B,0000021

4、2100211011 并有并有故方程组有解故方程组有解可见可见, 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx则则即得方程组的一个解即得方程组的一个解.021021 取取中中组组在对应的齐次线性方程在对应的齐次线性方程,2,43421 xxxxx ,100142 及及xx,210131 及及则则xx程组的基础解系程组的基础解系即得对应的齐次线性方即得对应的齐次线性方,1201,001121 于是所求通解为于是所求通解为).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx .123438,23622, 2323, 75432

5、154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 12134382362120231213711111B例例2 2 求下述方程组的解求下述方程组的解 0000000000002362120711111 .,知知方方程程组组有有解解由由BRAR , 3, 2 rnAR又又所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组 236227543254321xxxxxxxxx求基础解系求基础解系.100,010,001543 xxx 令令依次得依次得.32,10,212121 xx 236227543254321xxxxxxxxx代入代入.1

6、0032,01010,0012121321 求特解求特解.223,29, 021543 xxxxx得得令令故得基础解系故得基础解系.0002232910032000100012121321 kkkx.,321为为任任意意常常数数其其中中kkk所以方程组的通解为所以方程组的通解为 0000000000002362120711111另一种解法另一种解法 12134382362120231213711111B 00000000000022331211029202101则原方程组等价于方程组则原方程组等价于方程组 223321292215432531xxxxxxx 554433543253122332

7、2922xxxxxxxxxxxxx所以方程组的通解为所以方程组的通解为.0002232910032010100012121321 kkkx.,321为为任任意意常常数数其其中中kkk齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形A nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量 rAR

8、rn 令令.,xxxnrr 10001000121,bb,bb,bbxxrn ,rrn ,rrr 12121111得得,bbr 0011111 ,bbr 0102122 .bb,rn ,rrn ,rn 1001 故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.有解有解0 Ax 个解向量个解向量此时基础解系中含有此时基础解系中含有ARn nBRAR nBRAR .有无穷多解有无穷多解bAx BRAR .无解无解bAx .有唯一解有唯一解bAx 线性方程组解的情况线性方程组解的情况nAR)( 满满足足的的三三个个解解向向量量方方程程组组如如果果非非齐齐次次线线性性且且矩矩阵阵是是设设321,. 1,3 bAxARmA ,32121 ,11032 10113 .的通解的通解求求bAx , 1)(,3 ARmA矩阵矩阵是是解解 .2130 无关的解向量无关的解向量个线性个线性的基础解系中含有的基础解系中含有 Ax则则令令,133221cba ,21231)(211