2011届高考数学第一轮总复习经典实用 3-5数列的综合应用学案课件

1、基础知识基础知识一、等差、等比数列的综合问题一、等差、等比数列的综合问题(1)若若an是等差数列，则数列是等差数列，则数列can(c0，c1)为为数列；数列；(2)若若an为正项等比数列，则数列为正项等比数列，则数列logcan(c0，c1)为为 数列；数列；(3)若若an既是等差数列又是等比数列，则数列既是等差数列又是等比数列，则数列an为为 等比等比等差等差常数列常数列二、与银行利率相关的几类模型二、与银行利率相关的几类模型1银行储蓄单利公式银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为利息按单利计算，本金为a元，每期利率为元，每期利率为r，存期为，存期为x，则本利和，则本利和y 2银行储蓄复利公

2、式银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率元，每期利率为为r，存期为，存期为x，则本利和，则本利和y .3产值模型产值模型原来产值的基础数为原来产值的基础数为N，平均增长率为，平均增长率为p，对于时间，对于时间x的总产值的总产值y .axara(1xr)a(1r)xN(1p)x4分期付款模型分期付款模型a为贷款总额，为贷款总额，r为月利率，为月利率，b为月等额本息还款数，为月等额本息还款数，n为贷款月数，则为贷款月数，则b 易错知识易错知识一、审题错误一、审题错误1已知已知an是递增数列，且对任意是递增数列，且对任意xN*，都有，都有ann

3、2n恒成立，则实数恒成立，则实数的取值范围是的取值范围是()A( ，) B(0，)C2， ) D(3，)答案：答案：D解题思路：解题思路：an是递增数列，是递增数列，an1an，即即(n1)2(n1)n2n.2n1对于对于nN*恒成立，恒成立，而而2n1在在n1时取得最大值时取得最大值3，3，故，故选选D.错因分析：错因分析：数列是特殊的函数，可以用动态函数的数列是特殊的函数，可以用动态函数的观点研究数列，但必须时刻注意其观点研究数列，但必须时刻注意其“特殊特殊”性，即：定义性，即：定义域为域为nN*.本题常出现如下错误：本题常出现如下错误：错解：错解：ann2n(n ，对称轴，对称轴n 当当

4、n1时为递增数列，则时为递增数列，则 从而得从而得2.故选故选C.二、实际应用错误二、实际应用错误2假设某市假设某市2004年新建住房年新建住房400万平方米，其中有万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那万平方米，那么，到另一年底，么，到另一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积该市历年所建中低价房的累计面积(以以2004年为累年为

5、累计的第一年计的第一年)将首次不少于将首次不少于4750万平方米？万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于的比例首次大于85%?解析：解析：(1)设中低价房面积形成数列设中低价房面积形成数列an，由题意可知，由题意可知an是等差数列，其中是等差数列，其中a1250，d50，则，则Sn250n 5025n2225n.令令25n2225n4750，即即n29n1900，而，而n是正整数，是正整数，n10.到到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于将首次不少于4750万平方

6、米万平方米(2)设新建住房面积形成数列设新建住房面积形成数列bn，由题意可知，由题意可知bn是是等比数列，其中等比数列，其中b1400，q1.08，则则bn400(1.08)n1，由题意可知由题意可知an0.85bn，有有250(n1)50400(1.08)n10.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n6.到到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于面积的比例首次大于85%.回归教材回归教材1(教材教材P1146题改编题改编)夏季高山上气温从山脚起每升夏季高山上气温从山脚起每

7、升高高100米降低米降低0.7，已知山顶气温是，已知山顶气温是14.1，山脚的气温，山脚的气温是是26，那么此山相对于山脚的高度是，那么此山相对于山脚的高度是()A1500米米B1600米米C1700米米D1800米米解析：解析：因因a126，an14.1，d0.7.ana1(n1)d，14.126(n1)(0.7)n18，其高度为其高度为(181)1001700.答案：答案：C2(教材教材P1253题改编题改编)某种细菌在培养过程中，每某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次分钟分裂一次(一个分裂成两个一个分裂成两个)经过经过3小时，这种细菌由小时，这种细菌由1个可繁殖成个可繁殖成()A51

8、1个个B512个个C1023个个D1024个个解析：解析：a10a1q929512(个个)答案：答案：B3等比数列等比数列an的公比为的公比为q，则，则“q1”是是“对于任对于任意自然数意自然数n，都有，都有an1an”的的()A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件解析：解析：当当a10时，条件与结论均不能由一方推出另时，条件与结论均不能由一方推出另一方一方答案：答案：D4设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q，前，前n项和为项和为Sn，若，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则公比成等差数列，则公比()Aq2

9、Bq1Cq2或或q1 Dq2或或q1解析：解析：由题意可得由题意可得2SnSn1Sn2，当，当q1时，时， 即即2qq2，解之得解之得q2或或q1，当，当q1时不成立时不成立答案：答案：A 5(教材改编题教材改编题)A、B两个工厂两个工厂2009年元月份的产值年元月份的产值相等，相等，A厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同，厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同，B厂厂产值也逐月增加且月增长率相同，而产值也逐月增加且月增长率相同，而2010年元月份两厂的年元月份两厂的产值又相等，则产值又相等，则2009年年7月份产值高的工厂是月份产值高的工厂是_解析：解析：设两工厂的月产值从设两工厂的月产值从2

10、009年元月起依次组成年元月起依次组成数列数列an，bn，由题意知由题意知an成等差数列，成等差数列，bn成等比数列，并且成等比数列，并且a1b1，a13b13.由于由于an成等差数列，成等差数列，即即2009年年7月份月份A厂产值高于厂产值高于B厂产值厂产值答案：答案：A厂厂【例【例1】(2006辽宁高考辽宁高考)在等比数列在等比数列an中，中，a12，前，前n项和为项和为Sn，若数列，若数列an1也是等比数列，则也是等比数列，则Sn等于等于()A2n11B3nC2n D3n1命题意图命题意图本题主要考查等比数列的概念、求和公本题主要考查等比数列的概念、求和公式等综合应用式等综合应用解析解析

11、解法一：由解法一：由an为等比数列可得为等比数列可得an1anq，an2anq2，由由an1为等比数列可得为等比数列可得(an11)2(an1)(an21)，故故(anq1)2(an1)(anq21)化简上式可得化简上式可得q22q10，解得，解得q1故故an为常数列，且为常数列，且ana12，故故Snna12n，故选，故选C.解法二：设等比数列解法二：设等比数列an的公比为的公比为q，则有则有a22q且且a32q2令令an1bn则有则有b13，b22q1，b32q21又又数列数列bn为等比数列，为等比数列，(2q1)23(2q21)，解得解得q1，以下同解法一，以下同解法一解法三：运用特殊与

12、一般的数学思想，令解法三：运用特殊与一般的数学思想，令an2，显，显然符合题意，故数列然符合题意，故数列an1也符合题意，故也符合题意，故Snna12n.可见，在数列问题中，常数列往往可以作为一种典型的模可见，在数列问题中，常数列往往可以作为一种典型的模型予以考虑型予以考虑答案答案C(2009浙江嘉兴一中浙江嘉兴一中)各项都是正数的等比数列各项都是正数的等比数列an中，中，a2， a3，a1成等差数列，则成等差数列，则 的值为的值为() 答案：答案：B解析：解析：由题意可知：由题意可知：a3a1a2，q21q，解得：，解得： (舍去舍去)，所，所以选以选B.【例【例2】银行按规定，每经过一定的

13、时间结算存银行按规定，每经过一定的时间结算存(贷贷)款的利息一次，结算后立即将利息并入本金，这种计款的利息一次，结算后立即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利现在某企业进行技术改造，有两种算利息的方法叫复利现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案方案：甲方案一次性贷款一次性贷款10万元，第一年便可获利万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案的利润；乙方案每每年贷款年贷款1万元，第一年可获利万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多万元，以后每年比前一年多获利获利5千元两种方案的使用期限都是千元两种方案的使用期限都是10年，到期一次性

14、年，到期一次性归还本息若银行贷款利息均按年息归还本息若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试的复利计算，试比较这两种方案哪个获利更多比较这两种方案哪个获利更多(计算结果精确到计算结果精确到103元，参元，参考数据：考数据：1.1102.594，1.31013.786)思路点拨思路点拨甲方案中，每年的获利组成一等比数甲方案中，每年的获利组成一等比数列，乙方案中每年的获利组成一等差数列，分别计算出列，乙方案中每年的获利组成一等差数列，分别计算出10年的净获利之和作比较即可年的净获利之和作比较即可解析解析甲方案甲方案10年获利是每年获利数组成的数列的年获利是每年获利数组成的数列的前前n项的和项的和

15、1(130%)(130%)2(130%)9 42.62(万元万元)到期时银行贷款的本息为到期时银行贷款的本息为10(110%)10102.59425.94(万元万元)，甲方案扣除贷款本息后净获利甲方案扣除贷款本息后净获利426225.9416.7(万元万元)；乙方案逐年获利组成一个等差数列，乙方案逐年获利组成一个等差数列，10年共获利年共获利1(10.5)(120.5)(190.5)而贷款本息为而贷款本息为111(110%)(110%)9乙方案扣除贷款本息后，净获利为乙方案扣除贷款本息后，净获利为325017.5315.0(万元万元)比较可知，甲方案获利多于乙方案获利比较可知，甲方案获利多于乙

16、方案获利即甲方案比乙方案获利多即甲方案比乙方案获利多某林场有荒山某林场有荒山3250亩，从亩，从2009年年1月开始在该荒山上月开始在该荒山上植树造林，且保证每年种树全部成活第一年植树植树造林，且保证每年种树全部成活第一年植树100亩，以后每年都比上一年多植树亩，以后每年都比上一年多植树50亩亩(1)问至少需几年才可将此荒山全部绿化；问至少需几年才可将此荒山全部绿化；(2)如果新种树苗每亩的木材量为如果新种树苗每亩的木材量为2立方米，树木每年立方米，树木每年的自然增材率为的自然增材率为10%，那么到此荒山全部绿化后的那一年，那么到此荒山全部绿化后的那一年底，这里树木的木材量总共为多少立方米？底

17、，这里树木的木材量总共为多少立方米？(1.1112.85)解析：解析：(1)设至少需要设至少需要n年才可将此荒山全部绿化年才可将此荒山全部绿化第一年植树第一年植树a1100亩，第亩，第n年植树年植树an与第与第n1年植树年植树an1满足满足anan150.每年植树每年植树an构成等差数列构成等差数列Sn100n 3250， n23n1300，即即(n13)(n10)0，n10.故至少需要故至少需要10年才能将此荒山全部绿化年才能将此荒山全部绿化(2)设树木的木材量总共为设树木的木材量总共为M立方米立方米M2(a11.110a21.19a31.18a91.12a101.1)， 1.1a11.11

18、1a21.110a31.19a91.13a101.12， 1.1 a11.111(a2a1)1.1101.191.12a101.1，005M1001.111501.1101.191.125501.11002.8550 605285820605500，M10000立方米立方米故这里木材总量为故这里木材总量为10000立方米立方米.【例【例3】设函数】设函数f(x) (a，b为常数，为常数，a0)，若若f(1) ，且，且f(x)x只有一个实根只有一个实根(1)求求f(x)的解析式；的解析式；(2)若数列若数列an满足关系式满足关系式anf(an1)(nN*，且，且n2)，又，又a1 ，求，求an的

19、通项公式；的通项公式；(3)设设bn ，求，求bn的最大值与最小值，以及相应的的最大值与最小值，以及相应的n值值分析分析(1)利用函数与方程的思想；利用函数与方程的思想；(2)利用函数构造新数列利用函数构造新数列 (3)利用函数的单调性，从而求出数列最大项与最小利用函数的单调性，从而求出数列最大项与最小项项解析解析(1)由由f(1) 可得可得ab3.又由又由f(x)x0，得，得xax(1b)0.方程只有一个实数根，方程只有一个实数根， 得得b1，a2，则，则f(x) (2)由由anf(an1)，得，得an 是等差数列，又是等差数列，又 2005， 20052(n1)2n2007，an (3)由由(2)知知bn 且且n1003时，时，bn单调递增且大于单调递增且大于1；当；当n1003时，时，bn单调递增且小于单调递增且小于1.当当n1003时，时，bn最大值为最大值为3；当当n1004时，时，bn最小值为最小值为1.探究探究利用函数与方程的思想，转化构造出新数列利用函数与方程的思想，转化构造出新数列是解决函数与数列综合问题的常用手段是解决函数与数列综合问题的常用手段(2009安徽合肥安徽合肥)已知数列已知数列an中，中