4.2-时域分析法--直接积分法

1、4.2 时域分析法直接积分法（时程分析）4.2.1 概述数值积分法是根据已知的初始时刻的位移、速度、加速度和荷载条件，计算下一时刻振动响应的方法。 数值积分法数值积分法属属于于初值问题，初值问题，也称步步积分也称步步积分法或时程分析法或时程分析法。法。时程分析法基本概念 因此，时程分析法是对结构物的运动微分方程直接进行逐步积分求解的一种动力分析方法。由时程分析可得到各质点随时间变化的位移、速度和加速度动力反应，并进而可计算出构件内力的时程变化关系。由于此法是对运动方程直接求解，又称直接动力分析法。 直接动力分析包括确定性动力分析与非确定性动力分析两大类，即确定性动力分析中的时程分析法与非确定性

2、分析的随机振动分析法，这里主要介绍时程分析法。 抗震规范规定，重要的工程结构，例如：大跨桥梁，特别不规则建筑、甲类建筑，高度超出规定范围的高层建筑应采用时程分析法进行补充计算。显式积分、隐式积分显式积分是在第i步计算中状态ti满足运动方程式的计算方法。用显式积分法计算结构响应时，为了提高计算精度，时间间隔t必须十分小，否则，随着计算步数的增加，误差不断积累、出现发散的现象。当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前时刻的位移求解无需迭代过程。时刻的位移求解无需迭代过程。 另外，只要将运动方程中的质量矩阵另外，只要将运

3、动方程中的质量矩阵和阻尼矩阵对角化（线性无关），前一时刻的加速度求解无需解联立和阻尼矩阵对角化（线性无关），前一时刻的加速度求解无需解联立方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式求解法。方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式求解法。 显式积分、隐式积分隐式积分是满足ti+t时刻运动方程式的计算方法。这种算法由于函数f包含未知的结构响应（求解ti+t时刻的反应，但函数f却含有待求的ti+t时刻的结构响应），因此，需要通过反复迭代的方法计算ti+t时刻的响应，它是一个非线性计算的过程。隐式积分归结为求解非线性方程组。显式方法(explicit)在方程求解过程中只涉及到历史的第i和i1步的

4、信息，而当前的第i1步的信息（比如空间上的其他点）不会涉及到,而隐式方法(implicit)在求解当前点(第i1步)时，会涉及到其他已知点的第i+1步信息,所以需要迭代。显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式一个是用显式方程表示，一个是用影视方程来表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次迭代可以由前一次直接求解，这就是显示方程，如果a(n)=a(n-1)+fa(n)，fa(n)为a(n)的函数，此时a(n)不能用方程显示表示，及数学上的隐函数，一般很难直接求解，多用迭代试算法间接求解。1.1.运动方程运动方程线性问题：线性问题： （1 1） ( )( )( )( )IDs

5、f tftf tP t ,CK为常数矩阵为常数矩阵sf( )x tDf( )x t/sfxktg/Dfxctg非线性问题：非线性问题： ,CK为时变矩阵为时变矩阵sf( )x tDf( )x t ( ) ( )( )( )( ) 1gMx tC tx tK tx tMx 2.2.增量平衡方程增量平衡方程tt时刻：时刻： （2 2） x tx ttx t x tx ttx t () ( )x tx ttx t ( )()( )P tP ttP t令令将将(1),(2)(1),(2)两式相减：两式相减：（1 1） ( )( )( )( )IDsf tftf tP t ()()()()IDsf tt

6、fttf ttP tt ( )( )( )( )IDsf tftf tP t ( )()( )()( )( )IIIf tf ttf tMx ttx tMx t ( )()( ) ( )( )DDDftfttftC tx tDf( )x tDdfxdx Df( )x t()x ttx()Dftt ( )Dft( )c t斜率 Ddfc tdx ( )()( )( )( )sssf tf ttf tK tx tsf( )x tsdfxdxsf( )x t()x ttx()sf tt( )sf t( )k t斜率 stdfk tdx( ) ( )( )( )( )( )Mx tC tx tK tx

7、 tP t -增量方程增量方程(3)(3) ( )()( )()( )( )IIIf tf ttf tMx ttx tMx t ( )()( ) ( )( )DDDftfttftC tx t Dtdfc tdx ( )( )( )( )IDsf tftf tP t 结构在结构在t t时刻的刚度矩阵时刻的刚度矩阵由由t t时刻结构各构件的切线刚度确定时刻结构各构件的切线刚度确定方程左边的力增量表达式是近似的！方程左边的力增量表达式是近似的！Df( )x tDdfxdx Df( )x t()x ttx()Dftt ( )Dft( )c t斜率常用的隐式积分法隐式积分归结为求解非线性方程组。但是从计

8、算效率考虑，在结构动力响应分析中一般对它的计算过程加以修正提高计算收敛性和效率，各种改进算法中Newmark 法和Wilson 法是结构振动响应分析中最常用的两种方法。非线性地震反应分析的逐步积分法线性加速度法： t时间间隔内加速度线性变化假定 平均加速度法： t时间间隔内加速度为常数假定 Newmark法Wilson法 4.2.2 Newmark 法 Newmark 法是一种加速度法，它是根据时间增量内假定的加速度变化规律计算结构动力响应的方法。由于时间增量内加速度变化规律的假定形式是任意的，因此Newmark 法有多种形式的计算公式。为了方便理解起见，以下通过几种特殊情况的加速度算法来介绍

9、Newmark 法。 1.线性加速度法 假定时刻ti到ti+1 (=ti+t)之间加速度线性变化 对上式积分得到速度和位移响应： 1.1.线性加速度法线性加速度法在时刻在时刻t ti i+1+1结构振动响应应满足运动方程：结构振动响应应满足运动方程： 代入方程，得到代入方程，得到t ti i+1+1时刻的加速度：时刻的加速度：进一步计算进一步计算t ti i+1+1时刻的速度、位移。时刻的速度、位移。Newmark 法有很多的表示形式，也可以表示成直接计算位移的形式。与直接计算加速度响应的计算方法相比，直接计算位移响应的计算方法更加常用。关于直接计算位移的方法后面再介绍。2. 2. 平均加速度

10、法平均加速度法 假定加速度在假定加速度在t ti i- - t ti i+1+1区间区间内为平均值：内为平均值： 速度、位移为：速度、位移为：2.2.平均加速度法平均加速度法n在时刻在时刻t ti i+1+1结构振动响应应满足运动方程：结构振动响应应满足运动方程：n得到得到t ti i+1+1时刻的加速度为：时刻的加速度为：n进一步计算进一步计算t ti i+1+1时刻的速度、位移。时刻的速度、位移。 3. Newmark 法统一的表达式线性加速度结果iittt1平均加速度结果统一表达式=1/6 为线性加速度=1/4 为平均加速度线性加速度结果用增量形式表示振动方程位移、速度和加速度增量其中n

11、根据上式，得到速度和加速度的增量 n代入运动方程Newmark 法的收敛性可以证明， Newmark 法当1/4时，计算是无条件收敛的。Newmark 法是工程计算中最常用的方法。Newmark 法计算过程4.2.3 wilson法 wilson法的基本假定是在时间间隔 t（1.0）内加速度响应线形变化 。 因此，在间隔内任意时刻的加速度根据线性内插可以表示为： 对上式积分，得到速度和位移的计算式n代入结构运力方程式得到计算t 时刻位移的方程组 n得到位移后进一步得到t+加速度，然后内插得到t+t加速度，进一步计算位移和速度。当当1.371.37时时WilsonWilson法为无条件稳定的计算

12、方法法为无条件稳定的计算方法 wilson法的计算过程1. 计算常数a312. 等效刚度计算3. 对每一时间步计算等效荷载增量4. 解方程计算位移ttFKu-15.计算时刻t+t的响应用增量形式表示的Wilson法（推导省略） 计算公式增量方程得到 时刻的响应，再转变成t+t的响应：t 直接积分法的补充说明一种算法很难同时兼顾稳定性和精度，稳定与精度往往具有相反的倾向，稳定性好的计算方法精度相对比较差一些。一般而言，显式积分的稳定性差一些，而且时间间隔的取值对计算稳定性的影响很大。 稳定性好的计算方法并不意味可以用任意大的时间步长进行积分计算，无条件稳定的计算方法（比如Wilson法）虽然不会

13、发生数学上的发散现象，但是容易出现早期结果偏大、后期出现异常振动的计算结果，而且也有可能导致高频振动的计算结果失真的现象，因此，这种算法一般不太合适于带有冲击响应的结构计算。对于高次振动成分比较重要的计算，用非常小的时间步长按显式积分较多。 W=15kNx(t)x(t)例：例：求位移时程曲线，求位移时程曲线，恢复力时程曲线，恢复力时程曲线，最大位移，最大恢复力，最大位移，最大恢复力，开始时静止。开始时静止。t(s)t(s)0.10.10.80.82.52.54 43.53.52.52.51.51.51 10.50.5fs3kN3kN0.050.05fD0.050.05( )x ts/mkN1t

14、an c( )mx tgx ( )( )gP tmx t kN 解：解：1.1.确定步长确定步长kg10529. 181. 9/1015/33gWm/60/1.5296.264 rad/sk m2 /1.003 s;0.1sTt *263( )( )1.529( ) 947.4kN/m0.10.1K tk tk t*( )( )94.74 ( )4.637 ( )P tP tx tx t ( )30( )3 ( )0.05 ( )x tx tx tx t计算步骤：1.确定积分步长t2.确定当前积分步长内结构的质量，刚度和阻尼矩阵以及阻尼力和恢复力3.计算初始加速度4.确定等效刚度K*和等效荷载

15、矩阵P*5.计算6.根据公式(11)计算结构的位移，速度和加速度响应 x*263( ) ( ) ( )K tMC tK ttt *6( )( )3 ( ) 32tP tP tMx tx tC tx tx tt P(t)(kN)P(t)(kN)t(s)t(s)0.10.10.80.82.52.54 43.53.52.52.51.51.51 10.50.5fsx(m)3kN3kN0.050.05*( )( )94.74 ( )4.637 ( )P tP tx tx t ( )30( )3 ( )0.05 ( )x tx tx tx t*263( )( )1.529( )947.4kN/m0.10.

16、1K tk tk t1. t=01. t=0(0) 0; (0) 0;(0)(0) 0;(0)(0) 0; (0) 0sDxxfkxfcxP(0)(0)(0)(0);(0)0IDsfffPx(0)0(0)0(0)0 xxx *(0)60;(0)60 947.41007.4kK*(0)2.5;(0)2.5PP*(0)(0)/(0)0.00248xPK(0)0.0744x2. t=0.1s2. t=0.1s(0.1)(0)(0)0.00248xxx(0.1)0.05x(0.1)(0.1)(0.1)0.1488sfkx弹性阶段弹性阶段60) 1 . 0(k(0.1)0.0744Df(0.1)(0.1

17、)(0.1)(0.1) /1.4889DsxPffm(0.1)(0)(0)0.0744xxx计算步骤：1.确定积分步长t2.确定当前积分步长内结构的质量，刚度和阻尼矩阵以及阻尼力和恢复力3.计算初始加速度4.确定等效刚度K*和等效荷载矩阵P*5.计算6.根据公式(11)计算结构的位移，速度和加速度响应 xP(t)(kN)P(t)(kN)t(s)t(s)0.10.10.80.82.52.54 43.53.52.52.51.51.51 10.50.5fsx(m)3kN3kN0.050.05*( )( )94.74 ( )4.637 ( )P tP tx tx t ( )30( )3 ( )0.05

18、 ( )x tx tx tx t*263( )( )1.529( )947.4kN/m0.10.1K tk tk t2. t=0.1s2. t=0.1s(0.1)(0)(0)0.00248xxx(0.1)0.05x(0.1)(0.1)(0.1)0.1488sfkx弹性阶段弹性阶段60) 1 . 0(k(0.1)(0.1)0.0744Dfc x (0.1)(0)(0)0.0744xxx(0.1)0.0025(0.1)0.0744(0.1)1.4889xxx*(0.1)(0.2)(0.1)1.5;(0.1)15.4577PPPP*(0.1)(0.1) /(0.1)0.0153xPK(0.1)0.1

19、625x*(0.1)1007.4K(0.1)(0.1)(0.1)(0.1) /1.4889DsxPffm计算步骤：1.确定积分步长t2.确定当前积分步长内结构的质量，刚度和阻尼矩阵以及阻尼力和恢复力3.计算初始加速度4.确定等效刚度K*和等效荷载矩阵P*5.计算6.根据公式(11)计算结构的位移，速度和加速度响应 xP(t)(kN)P(t)(kN)t(s)t(s)0.10.10.80.82.52.54 43.53.52.52.51.51.51 10.50.5fsx(m)3kN3kN0.050.05*( )( )94.74 ( )4.637 ( )P tP tx tx t ( )30( )3 (

20、 )0.05 ( )x tx tx tx t*263( )( )1.529( )947.4kN/m0.10.1K tk tk t3. t=0.2s3. t=0.2s(0.2)0.0178(0.2)0.2370(0.2)1.7616xxx(0.3)0.0314x(0.3)0.0722x 4. t=0.3s4. t=0.3s(0.3)0.0477(0.3)0.3349(0.3)0.1973xxx0.43sf5. t=0.4s5. t=0.4s(0.4)0.0791(0.4)0.2627(0.4)0.4988xxx(0.4)0.0477 0.0314 0.0791 0.05x(0.4)0.3349

21、0.07220.2627x屈服屈服计算步骤：1.确定积分步长t2.确定当前积分步长内结构的质量，刚度和阻尼矩阵以及阻尼力和恢复力3.计算初始加速度4.确定等效刚度K*和等效荷载矩阵P*5.计算6.根据公式(11)计算结构的位移，速度和加速度响应 x6. t=0.5s6. t=0.5s(0.5)0.1019(0.5)0.1827(0.5)1.1005xxx7. t=0.6s7. t=0.6s(0.6)0.1142(0.6)0.0603(0.6)1.3474xxx8. t=0.7s8. t=0.7s(0.7)0.1131(0.6)xx塑性发展塑性发展(0.5)0.1019(0.4)xx3sf塑性发

22、展塑性发展(0.6)0.1142(0.5)xx3sf位移减少，恢复弹性位移减少，恢复弹性P(t)(kN)P(t)(kN)t(s)t(s)0.10.10.80.82.52.54 43.53.52.52.51.51.51 10.50.5fsx(m)3kN3kN0.050.05*( )( )94.74 ( )4.637 ( )P tP tx tx t ( )30( )3 ( )0.05 ( )x tx tx tx t*263( )( )1.529( )947.4kN/m0.10.1K tk tk t计算步骤：1.确定积分步长t2.确定当前积分步长内结构的质量，刚度和阻尼矩阵以及阻尼力和恢复力3.计算

23、初始加速度4.确定等效刚度K*和等效荷载矩阵P*5.计算6.根据公式(11)计算结构的位移，速度和加速度响应 x8. t=0.7s8. t=0.7s(0.7)0.1131(0.6)xx位移减少，恢复弹性位移减少，恢复弹性fsx(m)3kN3kN0.050.05x(0.7)x(0.7)7 . 0(sfmax0.05xmax(0.7) (0.05)xx(0.7)0.086xmax(0.7) (0.7)0.05)2.9345sfk xx（(0.7)0.1131(0.7)0.086(0.7)1.5359xxx9. t=0.8s 9. t=0.8s *( )( )94.74 ( )4.637 ( )P

24、tP tx tx t ( )30( )3 ( )0.05 ( )x tx tx tx t计算步骤：1.确定积分步长t2.确定当前积分步长内结构的质量，刚度和阻尼矩阵以及阻尼力和恢复力3.计算初始加速度4.确定等效刚度K*和等效荷载矩阵P*5.计算6.根据公式(11)计算结构的位移，速度和加速度响应 xt(s)00.10.20.30.40.50.60.70.80.911.11.2fs(kN)00.14881.0692.863332.934x(cm)00.2481.784.777.9110.1911.43(max)11.31x(t)(cm)x(t)(cm)t(s)t(s)0.30.30.60.60.90.911.4311.433 3f fs s(t)(kN)(t)(kN)t(s)t(s)0.30.30.60.60.90.9maxmax11.433sxcmfkN若按弹性计算若按弹性计算maxmax9.535.72sxcmfkN0.00.10.20.30.40.50.60.7024681012位移 (cm)时 间 (s) 弹塑性 弹性0.00.