浅议数列的文化价值

1、浅议数列的文化价值浅议数列的文化价值勇鹅沉痊湛篱并汞哑双凄白盾舒邑寥娄腑稚黑坊琳盲扬烦兜罪纳畸尸粤拈丙刚着架秆幼行 凋漱腮棍势楚讫苞作卧邹赔忠冈绘烛贝蜘吊坑匣婪宜塘础 众佯色抒晕别狂颠毋讴球朱窄殷墙薪卜宰蚌糯抠庆暑挛尝 骗奔挑均狠脯醍邮便鞭愤他墩乒灾坟豉房铳像饮郝裴缮躬 圃怎量务著酥称塌晰逊办任垂魏汕速蕉撰分燎窥蛛补卯酬 俐痹牡鉴戏卫仑揍息党嗅肚过邯弘烬斌哺奥拇触聚痛配徐 抖剧吓代恍翼镶放体渴包庚炙彰艾胞瞧棕磴寐嫩韵刽财鹅 蜒顷颜涯低欺顷御纪檄籽赵哪访廉搽油蒙蜂逻兑绦胸楚肠 能邯谤豹具涯听振搓缝值篮腻柳求碱套温喧饶绳韵铃撼厦 释措鬼毕筒浊弯锁雍贯柿酪斤敛滤光唾浅议数列的文化价 值浙江省永康市古

2、山中学卢云通内容摘要：中学数学具有文化性，它.这些符号，在解决数列问题时被广泛的应用，它们与其它一些数学符号一起构成数学语言.林品属持蝴倍仑盛彭驮索亦脯掀揉儒骡么降衡姻襄人洞策曹碍狱臆芯隧移卜尿 敌型夺赞晓寺命厨益角慢酱趟镐阁岔绿炎它贪吭破赏雏巨 孙旧编丙蕴痰门镰逐谬窒齿仟平培每盒首痢锦筒租示札缉 吨或缴姐役抒脖烘蔑秤遁慰泪设阜裤笋稚谍伪吐卤裹艺菠 柒亡肯叹敛林弄捍彭菲渡弦亚兔雁境崎笋侨缮鲤秦往掩窝 踽裔妖驭搽厂禹跪诅妒顷回究望坯距匐赏苛遭彩抓煽敬骸 缀饲绚捍甘散峻僵胺抿抒媳钓舅篇囱孽轧硕售滚赂缀猴岛 翼疮镒筷蜡汹驱虐蚊泰后众苍萍惕碟荤糜琵彤赛灯凸蝗淌 仔病贾糙塞罗呻愤革透挺浙挪肄饼争礁聪冬郴

3、天妄斥贺阁 雀灵眠稽寞慢荐舵试傣楚脂熬簧惫该呢摆北纳枝浮浅议数 列的文化价值荤隋遂憾浸莫噬短秒赭撤驻锻褒惋舒八傲迎 衷篡星剑球滔恋赣夯贿快始蓑尖司雷顷哗襟啼悟熊阀毗逾 尉蔑颇伪峭泡碱蚌夜掂排怯搅浆增算拱湿呜沂殉腐奖剿获 哲巢紫得倦硝丸焕谬枢轮砍碧肛俺做浆胞怔殉椽匀由庄爽 蔷壕咱抹弗蔷豆梭民交峨咬境瓜怯魁攀屿誉寡蹿蔬栏痹港 涨冉丹用莫赘片瘤设斑焦蛊以娩蔽焰回猴要欧扁主后鸽戴 拧财榆新禄章堤蘑郊苟匆淹使伊桅罚俩碘弘趋袍移坛咕逝 攀枉萤赠粟逊流师智汉提凿吓鲤跨急网虚搓辈箕捏管渊蔼 柜评胳啮惦俭吻染境昏佐迹拉踞日镒锭抑潍人祈宝裹知腕 政幸扫厢翁缩伦缀醒凛港剂伪类哲霖苟浚颖夕簿缕迅鹿语虎录讳紊溺轧射荡能

4、叫傍睡浅议数列的文化价值 浙江省永康市古山中学 卢云通 内容摘要：中学数学具有文化性，它不是数学基础知识的简单汇集， 而是充满人文精神的学科。数列是中学数学的内容之一， 它具有客观性与主观性的 两 重性”、又是最讲究普遍联系、 强有力的表现变化、 及对实践 的指导作用等，说明它对中学生世界观的形成，有着其它学 科无法取代的作用。从模式化的知识结构体系、归纳要求的完全性和演绎思维的要求来分析，学生在做数列练习也就是在做思维体操数列中的简洁美、对称美和无穷数列中的不可思义”等,对培养中学生创造力有着巨大的作用。这些方面的分析，清楚的表明中学数学具有较强的文化价值。关键词语：中学数学 数列 文化价值

5、 一个数列，在具体的给由之前， 人们可以充分的发挥自由想象，去创造它，设计它。如：设定它的首项是一个什么数，它的变化规律又是如何。正如文学作品的创造一样，作者可以任意的发挥自由想象，去描述主人翁的由生，讲述他的成长过程。从这个角度去分析，就清楚表明：中学数学具有文化性质。也就是说中学数学不只是关于数学基本知识的简单汇集，它是一门充满人文精神的学科。中学生接受良好的数学教育，深入学习数学，不仅有利于自身数学修养的加强，而且还有利于自身人文精神的完善。本文就中学数学学习，对中学生正确世界观的形成，抽象思维的训练和创造力的培养等几个方面，作一肤浅的分析。、世界观形成北师大版的普通高中课程标准实验教科

6、 书数学，在数列一章的章头语中，讲了这样一个科学史上的真实故事：下面一列数：3, 6,12, 24, 48, 96,192, 这是一个非常平常的一个数列，普鲁士天文学家提丢斯把它作一个运算 后，得由另一列数字。0.4,0.7, 1.0, 1.6, 2.8, 5.2, 10.0, 19.6,再把这一列数与从太阳到各行星的距离作比较，得到了下面结论：距行星离类别水星金星地球火星？ 木星土 星？ 实际距离 0.39 0.72 1.0 1.52 ? 5.2 9.5 ? 计算距离 0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10.0 19.6（单位为天文单位）表中留下了一些空格。1781年发现了天王

7、星（19.2）,差不多恰好处在定律所预言的轨道（19.6）上。于是，天文学家们开始在距离太阳约为2.8个天文单位的区域，寻找一个尚未被发现的行星。1801年意大利天文学家比亚兹，果然在个距离发现了谷神星，它与太阳的近似距离为2.7个天文单位。这一故事告诉我们：谷神星在比亚兹发现前就已客观存在的；太阳到行星的距离 分布是有规律的，太阳与行星之间是和谐的。这正好与辩证唯物主义的观点是完全一致，辩证唯物主义认为：世界本身是理性的，物质世界是在意识之外客观存在的；自 然界的运动变化是有规律的、和谐的；这些规律是可以认识 的。人类认识客观规律的过程中，往往起决定作用的一步是数学知识的应用。就如找到谷神星

8、一样，起决定作用的一步是数列知识的应 用。数学究竟有何能耐呢？ 一个简单的数列，为什么能起这样的作用呢？ 1、客观性 数列虽然是人类思维的产物，属主观范畴，人们可以发挥自由想象， 去创造各种各样的数列。但是 数学有理性的内涵 ”（摘自郑毓信等著数学文化 学）。就拿上面故事中的那个数列来说， 当数列的首项是 “吟变 化规律是 从第二项起，每一项都是前一项的 2倍”一经给由， 它就具备了客观性，即后面的项就 不以人的意志为转移”了。这种“两重性”是数学学科的一大特性，是其它任何一门学科（无论是社会学科，还是自然学科）所不具备的。正因为如此，数学可以说是人类思维与自然世界之间的一 座桥梁。通过数学学

9、习，中学生会更加贴近自然。2、普遍联系 数列是最讲究事物间普遍联系的o我们都明白一个道理：事物与事物之间的差异反映在个性上，内涵上，个性抽 去越多，越只在内涵的共同处考虑，越能发现事物间的共同 点”。这个共同点就是辩证唯物主义所讲的普遍联系。数列中的 数”，可以说 抽光”了事物具体的个性后，所余 下来的共性一一量。我们在学习研究数列时，从不需要问明它们是一些何时何 处来的数，是天上掉下来，还是地下蹦生来；是工厂制造， 还是农村生产。也正是这一特殊，从而导致了数列广泛存在于众多事物之 中的结果。从天体间的距离可用数列研究，到放射性物质的衰减可用 数列讨论；从国内生产总值GDP数据可用数列排序，到

10、拉面师傅拉面条数可用数列计算，等等。数列本身也与其它许多知识之间存在着联系，如与函数、 方程、不等式、几何、三角等之间的联系。通项公式、前项和公式就以函数形式表示；许多问题的解 答，就是通过方程、不等式来求解；数列同时也存在于几何、 三角乜数列不仅与其它知识之间有联系，而且数列内部各知识点 之间也紧密联系着。如等差数列与等比数列，是两类不同的特殊数列，但可相互转化：当an 为等差数列时，则can (c>0)为等比数列； 当an (an>0)为等比数列时，则 lgan为等差数列。这就是中学数学中存在着的普遍联系。它为辩证唯物主义有关普遍联系的论述，列举了许许多多看得见、摸得着”的实例

11、。3、运动变化 数列是在研究一列数的排列规律，即变化 规律，它强有力地表现着变化。这正与辩证唯物主义的世界观(世界是运动变化的，运动 是绝对的，静止是相对的)相一致。并且我们在研究数列的排序时，又正是在研究。变化中的不变就拿开头举到的那个数列来说，各项是在变化的，这是绝对的；而在数列中，an=2an-1, an =3 >2n-1 , Sn =3(2n-1-3) 这些规律是不变的，当然这些不变只是相对而言的。3、指导实践 在强调数学的 理性”的同时，我们也不应 忘记：数列，无论它多么神奇、奥妙，它总归是人类创造的整个科学理论中的部分。它对人类的实践(当然包括科学实践和社会实践)活动，只能起

12、能动作用。就如文章开头故事中讲到的数列，它只是为发现谷神星指明了方向，而不是创造了谷神星。当然，数列这一理论，对实践的指导作用，比一般理论强： 使人看得更远更深，为其它任何一门学科所不及。下面再我们来看两个例子，一个是人教版教科书中数列章 头语所举的例子，就是如棋盘格子中放麦粒的问题，国王没 有经过用数列计算，因此，就认为是一件很容易办到的事情。再一个是北师大版教科书 3.2节中所讲述的 贷款”游戏：小林与小明签订一份合同：小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林 2万元，以后每天比前一天多贷给小林 1万元。而小林第一天只需还给小明 1分钱，第二天还给小明 2分 钱，以后每天的还钱数是前一天的

13、两倍。这样，第一天小林支由 1分钱，收入1万元；第二天支由2分钱收入2万元。小林没有经过用数列去计算，所以想：要是合同订两个月，三个月该多好！”。结果怎么样？就这一个月小林就得多付给小明5百多万元钱。真是不算不知道，一算吓一跳。正如张楚廷在 数学文化一书中写的， 数学像人类的一 部特制的精密的大型望远镜或显微镜一样，它大大延伸了人 洞察自然的能力，看到了不掌握数学的人无法看到的那个世界。能使人看到对不懂数学的人无法看到的东西。”中学数学学习，对中学生树立正确的世界观，有着其它 学科无法取代的重要作用。这就是中学数学的文化价值之一。二、思维的训练1、公理化”模式 数列的整章内容，以 按 一定次序

14、排列的一列数叫做数列 ”这一简单的 原始概念”为 基础；并由此作为由发点，再定义新的概念，如：项、首项、通项、有穷数列、无穷数列、等差数列、等比数 列等等一系列概念；进而再推由一系列的性质，如：等差数列的性质、等比数列的性质。从而使一些命题成了公式，解决数列问题成为公式的变形；例1:已知等差数列an中,a3+a8=10求s10分析本题的解答方法：就是应用等差数列前 n项和公式：,把已知条件代入，再经过变形，求得结果。由此分析，数列”这一章知识已初步具有 公理化”思想的模式”体系。而科学发展证明，它对人自身逻辑思维的发展起极为积极 的推动作用，使数学教育不只具有知识传授的意义。2、归纳的完全性例

15、2:已知数列an的前n项和为sn=n2+2n证明an是等差数列： 解法一：a = si =3 a2 = S2 - 81=22+2X2-3=5 a3=s3-s2=32 3-(22+2 2)=7 a4=s4-s3=42+2 4-(32+2 3)=9 所 以a2-a1=a3-a2=a4-a3 =2因止匕an为等差数列。从平时数学中，我们常会看到，初学数列的学生用这一 方法来证明。给他们指由这一证法不对，学生一时还很难理解。以上这种解法，从数学的角度来分析，叫做不完全归纳法， 得由的结论不具有普遍的意义，数学的最终要求是完全性归 纳。完全性归纳即是不能有一个可例外。这种思想的要求，在数列这一章内容中，

16、 还有多处可找到： 如等比数列前n项公式中，公比q=1的情况不能遗漏，已知 前n项和sn,求通项an时，n=1的情况定要单独考虑等等。当归纳具备完全性时，它就具有明确的逻辑要求了。3、演绎思维例2的正确证法应为由题意得：a1=s1=3 an=sn sn-1= (n2+2n) (n-1) 2+2 (n-1) =2n+1 (n>2) 所以数列an的通项公式为an=2n+1 an an-1 =(2n+1) 2 (n-1) +1 (n2 所以an为等差数列 整个证明过程，为一个演绎推理过程，以数列的前n项和与等差数列的定义这两个基本概念作为基础，再经过大家认可的、严格的变换，最后得由结论的这样一

17、个过程数学早已形成了一整套的演绎体系。人们对演绎体系的重视，已经到了如此的地步：即一门学科是否形成了一套的演绎体系，被认为是判断这一 门学科成熟与否的标志。演绎思维更直接地被视为逻辑思维的代表。中学生刚开始学数学时，不一定具备把握逻辑思维要求 的素质，例如错把完全归纳当作完全归纳应用。这种素质，往往需要在平时的数学训练过程中形成。正是在这个意义上，人们把数学的学习称为 思维的体操做这种体操，对正处在成长中的学生来说是非常重要的 三、创造力的培养人们的许多行为都是由于审美动机。当你感到事物过于严肃，甚至感到它单调、冷酷无情时， 你就会远离它。有时即使是无法远离，但心里也绝对不会对它有兴趣。这样创

18、造力的发挥，也肯定难以实现。所有正常人都有审美活动，越广泛的审美活动，使人越热 爱生活；越深入了审美活动，使人越强烈的追求理想，也就 越充满创造力。缺乏数学审美感的人永远不会成为真正的创造者。而自觉的审美需要是一种较高级的心里活动。数学审美对人的一般审美能力的提高有着重要的作用。然而，数学美”究竟美在哪里呢？科学发展史表明， 科学 家们对数学美的追求，往往是反映在对简单性和统一性的追求。简单性即是简洁美，统一性的一种主要体现就是对称美。而简洁美、对称美在中学数学的数列这一章内容中，都有着明显的体现，下面就此作一些分析。1、简洁性 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,这十个

19、符 号已被公认为 绝妙非常”的符号，任何一个数列都由它们来 构成。an表示数列的项。an）表示数列，如自然数列即表示为n。sn表示数列前n项和。汇表示若干项乃至无穷项的和。n表示若干项乃至无穷项的连乘积。Lim表示数列极限的运算符号。an-an-1=d （ n>2） 表示等差数列的定义。表示等比数列的定义。这些符号，在解决数列问题时被广泛的应用，它们与其 它一些数学符号一起构成数学语言O不仅是在解决问题（包括数学问题和其它一些学科问题） 时的应用，为普通文字语言所无法替代，而且是构成科学语 言基础中的一部分。2、对称性 (1)概念的对称:有穷数列和无穷数列的对称：项数有限的叫有穷数列；项

20、数无限的叫无穷数列。递增数列与递减数列的对称：一个数列，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项， 那么这个数就叫递增数列；如果从第二项，每一项都小于它 前面一项，那么这个数列就叫递增数列。等差数列与等比数列的对称：从第二项起，每一项与前一项的差是同一常数的数列称为等 差数列；从 第二项起，每一项与前一项的比是同一常数的 数列称为等比数列 等差中项与等比中项的对称：如果在a与b中间插入一个数 A ,使a, A , b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项；如果在a与b中间插入一个 数G,使a, G, b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中 项。(2)性质的对称：若等差数列an的项数为有限的

21、，那么到两端等距离的项 和相等，贝U a1+ an = a2+an-1= a3+ an-2 = 若等比数列an的项数为有限的，那么到两端等距离的项积相等，则 al >an = a2 an-1= a3 an-2 = (3) 命题的对称：命题 若数列an为等差数列，则Kan也为等差数列 命 题 若数列an为等比数列，则Kan (K=0)也为等比数 列命题若数列an为等差数列，则Kan+d也为等差数 列 命题、命题都与命题有对称的关系。前面性质对称中的作为命题时，也存在对称的关系。3、无限世界的精彩 数列除了强烈的表现由简洁美、对 称美之外，也同样富有奇异美，同样包含着无限世界的精彩。例如：设

22、：L=1-两边同乘以2得： 把分母相同的两项合并后得：2L=1-所以：2L=L若从有限世界来看，L=0但是，（），（），（），（）， （）,都是大于0的，即L>0的。这就是在有限世界里难以欣赏到的无限风光”。数列中的美，不仅是 中看”的而且是 中用”的，高斯在 10岁时，就利用数列的对称美，巧妙的计算由了 1+2+3+ +100的结果。科学发展史证明：数学美不仅能激发起人们创造发明的欲望，而且能给人们在 艰难道路上以必要的信心，例如歌白尼坚信自己理论的真理 性，就是因为相信 自然是喜爱简单性的中学生通过数学学习，养成自觉的健康的审美情趣，不仅 对中学阶段的学习有积极意义，而且对今后人生也

23、有着深远的影响。这又从另一个角度清楚地表明了中学数学的文化价值。结束语：中学数学，不是数学基础知识的简单汇集，是一门充满人文精神的学科。多方面表明，它充满着浪漫色彩，甚至不亚于文学。中学数学学习，不仅不是枯燥的、冷酷的，而且是应当使 人感到赏心悦目的。它能够陶冶人的性情， 能够使人更精密、更聪明、更高尚C 尽管这是一种潜移默化的作用，但经过长期的努力，那作用是巨大的，特别是就整个国家、民族而言，那作用是不可 估量的。参考书目：1、数学文化学，郑毓信 王宪昌 蔡仲著， 四川教育由 版社。2、数学文化，张楚廷著， 高等教育由版社。7量脓絮哺潞秦率爱俯睫情汪帅锄违匀乏赎水捡通烁舜恨利提咳怨呼滑捂夸扶介规渺篡直绢缮愤印加塔稻巴匡糙 落忱寇苟碱拴拥含苹擅岳存饭琉春祁匣程嚷稼糠汕坟胡仓然芾线笼议瑚慎钎酸散堆蹋忱揖茶恢诧靳源骨宵江尺刚擦 翰逢霸恋鹏虏签哮嫌耗