整式的概念说课讲解

1、知识点1字母表示数1字母可以表示运算律、运算法则:如：加法交换律表示为:减法法则表示为：a b a （ b） （ a、b表示任意的有理数）a b b a （ a、b表示任意的有理数）；2. 字母可表示计算公式：如圆的半径是2r，圆的面积是S，那么S r .3. 字母可以表示方程里的未知量：如：长方形的长比宽多12米，周长为96米，求它的长与宽4. 字母可表示可探索的数字规律例1:下列叙述的事件中，字母各表示什么?（1）扇形的面积公式为2n r360（2）每小时行驶100千米的汽车行驶了 100t千米；（3）买4支钢笔用了 4a元.解：（1）n表示扇形圆心角的度数，r表示扇形的半径；（2）t表示

2、汽车行驶的时间；（3）a表示4支钢笔的平均单价.例2：设某数为x，用x表示下列各数：（1 ）某数的平方的相反数；（2）比某数的三倍大 7；（3）7加上某数的和的三倍；（4）某数与5的和除以某数；1（5）某数的倍减去2的差.3x 54解：（1） x2 ；（ 2） 3x 7 ；（ 3） 3（7 x） ；（ 4）；（ 5）x 2.x3例3：观察下列各式：第一式：1 2 3 4 1;第二式：2 3 4 5 4 ;第三式：3 4 5 6 9 ；第四式：4 5 6 7 16 ；用含字母n的式子表示第n个式子.解：第 n 个式子是：n(n 1)(n 2)(n 3) n2.练习:1. 下列用字母表示的式子都有

3、其特定的意义，请结合已学知识和经验对它们作出说明（3） mn 0;（6） mn 1.（3） m、n中至少有一个为 0；（1） m n 0 ；（2） mn 0 ；（4） mn 0 ；（5） mn 1 ；解：（1） m、n互为相反数；（2） m、n异号;(4) m、n均不为0;(5) m、n互为倒数;(6) m、n互为负倒数2观察下列各式:2 2 21112，22 2 3，33 3 4，用含字母n的式子表示第n个式子.解：第n个式子是：n2 n n(n 1).3电视剧飞天奖今年有a部作品参赛比去年增加了40%还多2部设去年参赛的作品有 b部，则b是(C)A.a 21 40%B.a(1 40%)2C

4、.1 40%D.a(1 40%)2注意：书写规范的通常约定:(1 )式中出现的乘号，通常乘号写作“”或省略不写如6 a通常写成6 a或6a.(2) 数字与字母相乘，将数字写在字母前面(1省略不写)，如6a不写成a6 .(3 )数字与数字相乘，一般仍用”“号2(4) 式中出现的除法运算，一般按照分数的写法书写如：2 a通常写成-a1 31(5) 表示字母与分数的积时， 分数是带分数要化成假分数如：1 a要写成一a，免得产生1 - a的误解2 22知识点2代数式1代数式的含义：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式单独一个数或一个3字母也是代数式如：n 2、0.8a、2n 50

5、0、abc、2ab 2ac 2bc、0、等x2列代数式(1) 定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来叫做列代数式(2) 列代数式的基本要领 抓住关键性词语如“大、小、多、少、和、差、积、商、倍、分”等 理清运算顺序对于一些数量关系的运算顺序，一般是先说的运算在前，后说的运算在后 正确使用括号一般地，列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算，则必须使用括号 正确利用”的、与”划分句子层次要慎重对待某些逆运算的关系如设甲数为x ,甲乙两数的和为a,用代数式表示乙数,不能表示成x a ,而应表示为a x 例1：下列各式，哪些是代数式?(1)x5 ;(2)2 abb a

6、2 ；(3)4x1 7;(4)b;(5)(6)23x ;(7)4a30;(8)236 ;(9)8m 2n0.解：(1 )、(4 )、(5 )、(6)、(8)是代数式；(2)、(3)、(7 )、(9)不是.例2:根据下列语句列代数式4（1） x与y的和的；(2):4x与y的的和7744解: (1) (x y)；7(2) x尹.例3:说出下列代数式的意义./八 a 厂12c.八2c2 2 2(1) 一 5 ； (2) (a 5) ； (3)；(4)b ； (5) (ab) ； (6) a b .2 2a ba解：（1） a的一半与 5的差；(2)a与5的差的一半；（3） 2c除以a与b的和的商；（

7、4） 2c除以a的商与b的和；(5)a与b差的平方；（6） a的平方与b的平方的差练习：1.用代数式表示：（1 ）汽车每小时行驶 60千米，t小时行驶60t千米；（2 ）哥哥今年a岁，比妹妹大b岁，妹妹今年(a b)岁；（3） n行数一共有m颗，平均每行树有 m棵；n（4） 某件商品原价x元，春节期间以8折出售，则打折后售价为 80%x_元；（5） x与y和的平方的1-倍表示为-（x v）2 .442甲、乙两地之间公路全长为 100千米，某人从甲地到乙地每小时走V千米，用代数式表示：（1 ）某人从甲地到乙地需要走多少小时？（2）若每小时减少2千米，需要多少小时？（3）减速后比原来慢多少小时？解

8、：（1）要走100小时；（2）需要-100小时；（3）比原来慢（-100 100 ）小时vv 2v 2 v3项工程，甲队单独完成需用a天，乙队单独完成用 b天，若两队全做，完成这项工程共需多少天？1解：共需天.a b4某音像社对外出租光碟的收费方法是：每张光碟在租出后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光碟在租出的第n天（n是大于2的自然数）应收租金多少元？解：应收租金（0.6 0.5n）元注意：代数式的书写规范：（1）代数式中用到乘号， 若是数字与数字相乘，“x”号不能省略，若是数字与字母相乘或字母与字母相乘, 通常乘号写作“ 或省略不写.如a b写成a b或ab.(2) 数

9、字与字母相乘时，将数字写在字母前面(1省略不写)如5a 一般不写成a5 ; 1a写成a.1 3(3) 表示字母与分数的积时，若分数是带分数要化成假分数如 1-a一般写成3a .2 2(4) 代数式中出现的相除关系、比的关系，一般按照分数的写法来写如2x y写作空.y(5) 表示几个字母相乘的积一般按26个字母顺序书写如ba 一般写成ab.(6) 当用含字母的代数式表示一个有单位的结果时，单位名称只要写在答案中(列式时不必写出)，当结 果加减关系时，要用括号把整个式子括起来，若代数式中含有“+、-”运算符号，一般要将整个代数式括在括号里，再写上单位名称，并要注意单位写法的规范化如 -2人不能写成

10、m 2人.2 2例题：下列式子中，符合代数式书写要求的有 ay 3 ；2a2b ；3 60% x » ； a b 8 ；a b千克；a2 b2 ；4知识点3代数式的值1代数式的值的含义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫代数式的值 注意：(1) “用数值代替代数式里的字母”的含意，一般说来，一个代数式的值不是固定的数，它是随着代数式中字母取值的变化而变化 即同一个代数式在所含字母取不同值时的代数式的值是不相同的(2)代数式里的字母可以取不同的值吗，但所取的值必须使代数式和它所表示的实际量有意义(3 )代数式中的字母各取一个确定的数时，代数式的值才随之确定

11、(4) 给出一个含字母的代数式的值，求另一个代数式的值时， 要先对给出的代数式或求值的代数式先 进行适当变形(5) 同一个字母在不同的代数式中代表不同的含义，即使取值相同，也不一定能使代数式的值一样2求代数式的值求代数式值的一般步骤：(1 )代入：代数式里有多个字母时，代入值时不要混淆，而且必须规范书写： 写明字母的取值，即“当时”； 写明所要求值的代数式这样写可完整体现代数式指明的运算顺序，也便于检查(2)计算：运算时，要分清运算的种类，还要注意运算的顺序注意：将数字代入字母过程中，有时要适当地加入运算符号或者括号，如数字间相乘要加入乘号，当幕的底数是分数、负数时，它的底数一定要加括号.32

12、例1：根据下面a的值，求代数式2a 3a a 1的值(1) a 2 ；解：(1)原式=29 ;1(2) a -;21(2)原式=丄；23时，求下列各代数式的值:(3)原式=14.2(1) b 4ac ； (2)a2b2c2 2ab 2bc2ac ； (3) (a bc)2.解：(1)原式=25 ;(2)原式=4 ;(3)原式=4.例3：已知a 4与a 2b互为相反数，求代数式310(a b)3 8(ab)29(b a)37(b a)2 的值.解：原式=180练习:1.某企业去年的产值是 a亿元，今年比去年增长了10%，如果明年还能按这个速度增长，请你预测一下,该企业明年的年产值将能达到多少亿元

13、？如果去年的产值是2亿元，那么明年的产值是多少亿元?解：(1) (1 10%)2a 1.21a亿元;(2) 2.42 亿元.2. 已知y 4，求代数式y 4y的值.x yx y x y解：原式=3.2 23. 若代数式2x 3y 7的值是8，那么代数式4x 6y 9的值是(B )A.10B.11C.0D.无法计算4.当x 1时，代数式px qx1的值是2001，则当xA. 1999B. 2000C. 20015.为了刺激消费，有关部门规定,私人购买耐用消费品，行贷款，蒋老师欲购买一辆轿车.他现在的全部积蓄为p 6万兀，则应贷多少钱？31时，代数式px qx 1的值为(A )D.1999不超过其

14、价格的50%的款项可以用抵押的方式向银p元，只够购车款的60%，则应贷款多少元？若2解：应贷款一p元；当p 6时，应贷4万元.3知识点4整式的概念1.单项式(1) 单项式的含义：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式(单独的一个数字或者 字母也叫做单项式).如：代数式3a、 mn、x2、2、，它们都是单项式.(2) 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 注意：关于单项式的系数，要包括前面的符号；系数是 1或1时，通常省略不写关于单项式的次数，当字母的指数是1时，“ 1”通常省略不写；对于不含

15、字母的非0数，1女口：2，0.5，-等，这些单项式叫做“零次单项式”32多项式（1）多项式的含义：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式（2 ）多项式的项与常数项：在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项如:多项式2x2 3x 2共有三项，分别是 2x2， 3x，2 ;其中常数项是2.注意：在确定多项式的项时，要特别注意项的符号.（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数注意：多项式的次数的概念要正确理解，是指最高次项的次数，而不是指多项式中所有字母指数的和，要 与多项式的次数区分开.（4）多项式的降（升）幕排列：按照某一个字母的指数从大到小（或从

16、小到大）的顺序来排列（5）整式：单项式和多项式统称为整式 注意：单项式中不含加或减法运算；而多项式必须含有加或减法运算，但不能有以字母为除式的除法运算 例1:下列代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式?22ab233b，2a 1-，3x2x1，.3x4a22a b2多项式:ab，-3b，2a1，3x 2x 13231 a2a b3b2，2a 1， ，3x22x 1.2 233 34 ° 21x ， a b， 3x y， abc，5323 1解:单项式：x3，3x2y，abc,-；52整式：3x3， -a b， 3x2y， abc，53例2:指出下列各单项式的系数和次数：-5

17、3xyz a 5 x3y4，a ， -79逖壬系数-，次数3 ； a系数1，次数1 ；77，次数7.1 2 1解：x2系数，次数2；551例3：多项式5y4 x4 3x3yxy2 5x2y3是几次几项式？并按字母 x的降幕排列和字母 y的升幕排列21解：五次五项式；按字母 x的降幕排列为：x4 3x3y 5x2y3 xy2 5y4 ；21 按字母y的升幕排列为：x4 3x3y xy2 5x2y3 5y4.2练习：31时，多项式12ax 3bx 5的值等于多少?31.当x 2时，多项式ax bx 1的值等于17,那么当x解：12ax 3bx35= 32.2若多项式6xn 2 x2 n 2是三次三

18、项式，求代数式 n2 2n 1的值.3. 解：n2 2n 1的值为0或4.nb24. 已知 -C是七次单项式，求 n.3n 415. 已知 3x2 y2n 3与 丄xmy都是五次单项式，求m、n的值7m n 4巩固练习一填空题：1. 多项式2ab 6a 3为 二 次三 项式，其中的一次项是4 3223222.多项式xxy x y 1按字母y升幕排列为1 x x y xy3.个两位数，个位数字是m，十位数字是n，那么这个两位数用代数式可表示为10n m4.一个小数，十分位的数字是x，百分位的数字是 y，那么这个小数用代数式可表示为上 _L10 1005.水笔每支3元，钢笔每支5元，小杰买了 x支

19、水笔，小明买钢笔，已知小明和小杰买笔花的钱相同,那么小明买了3x5支钢笔.6. 植树活动中，有a人植树2株，占参加植树活动全部人数的32%.参加这次植树活动的人数为 一仝a820元，再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费，一用户8.现有甲种糖果8千克，每千克x元，乙种糖果7. 家电信公司有一种上网收费方式为：月基费 上网x分钟，需付费 （0.05x 20）元.3千克，每千克y元，如果把两种糖果混合在一起销售，每千克的售价应定为8x 3y119. 如图，点C是线段AB的中点，点D是线段AB的一个三等分点，记 BD的长为t，那么CD =-.0.4（用含字母t的代数式表示）. A D CB10.

20、汽车油箱内储油45升，行驶150千米后，油箱内余油30升，按这样的耗油，行驶t千米后（150 t 450）,油箱内剩余油（45 ） _升.10二.选择题11. 下列各式中，不是整式的是（C ）A. 2.5x2a bx yB. abC.D.3c412.在代数式2a， 3a，a 121，a21（a为有理数）(C )，a中，值一疋为止数的代数式个数为A.0B.1C.2D.313.表示“ x的2倍与y除以3的差”的式子是（A ）a. 2x 丫32x yB.-3c.2(x y)32x yD.-314.如果aa，那么a 疋疋（D )A.正数B.负数C.正数或零D.负数或零三、解答题15.用语言表示下列代数

21、式(1) 3a32b2意义:a立方的3倍与b平方的2倍的和.(2) 1(20% m310% n)意义:1 m的20%与n的10%的和的.3(3)121意义:x的倒数与y的倒数的差的平方.xy3(4)3ab32b意义:a、b两数的立方差除以a的3倍与b的倍的和所得的商16.若 aa5,ba 3,求代数式ab2的值.解：当a5时,b 2,ab220 ； 当 a 5 时，b 8 , ab2320 .317. 已知a3bn 2与6am 1b都是四次单项式，求 mn nm 2mn的值.4解：m 4, n 3，所以原式=169.218. 已知x y 5 .求：（1）代数式3 x y的值；（2）代数式（x

22、y） 2x 2y的值. 解：（1）原式=3-5=-2 ；（ 2）原式=25-10=1519. （ 1）代数式10 |x 3（2x y）2有最大值或最小值吗？这个值是多少？I23 21 2（2）当代数式10 x 3 （2x y）2取得最大值或最小值时，求代数式x2 （3y -x2） y的值.44解：（1）有最大值10；（ 2） 15.20. 小明家使用的分时电表平时段（6： 00 22： 00）每度电收费0.61元，谷时段（22 : 00次日6： 00）每度电收费0.3元.（1） 若一个月中，平时段总用电 a度，谷时段总用电b度，用a、b的代数式表示该月的总电费.（2） 小明家上月平时段用电12

23、0度，谷时段用电80度，求小明家应付多少电费.解：（1）（ 0.61 a 0.3b）元；（2） 97.2 元家庭作业.判断题I. 0是代数式（ V ）2.a b 0是代数式.（x ）3单项式xy的系数是1.（ V ）4多项式53 4x2 2x是三次三项式.（x ）x5. 是整式.（V ）33 2 26. 多项式 2x y z3x z 3xy5y 1是关于x的降幕排列.（V）7. a的值一定大于a的值.（x）28. x的5倍减去y的差的平方是 5x y .（ x ）19. 代数式2表示x的倒数与 2的和.（ V ）x10. 如果n表示整数，那么2n 1可以表示任何一个奇数.（V ）二.填空题II

24、. 汽车每小时行驶50千米，那么t小时行驶的路程是 50t千米.12. 苹果的单价是每千克 9.8元，x千克苹果的总价是 _ 9.8x_元.3 33313. 用代数式表示：比 a的 大一的数是a.777714. 用代数式表示：x与3的和的相反数是 _ （x 3）.15. 某件商品的售价是 a元，为了加快销售，降价打 8折出售，现在的售价是0.8a.16. 某小区居民响应政府“节约用水”的号召，比上一年同期节约用水一成，设去年这个时期用水 m立方米,那么今年用水 0.9m立方米.217. 一条弧所在圆的半径为 a ,它所对的圆心角为120，那么这条弧长为a（结果保留n）.318.2004年雅典奥

25、运会闭幕式上，中国表演队用了a秒表演舞动北京、中华武术、少儿京剧等节目，这三个8节目的表演时间之比为10： 8: 5,那么中华武术的表演时间为a秒（用含a的整式表示）.2319. 当前银行一年定期存款的年利率是3.25%，存款金额a元，一年到期后的本息和是 _（1 3.25%）a_元.4 520. 某班女同学的人数占全班学生的，设女同学有a人，那么该班男同学的人数a94三解答题21. 求下列代数式的值（1 ）当x 2时，求代数式x2 x的值.解：原式=-232（2）当x 时，求代数式x 2x 1的值41解：原式=丄161 2（3） 当 a2 , b , c 0.1 时，求 b 4ac 的值.2

26、1解：原式=2120（1 ）如果输入的数是x （x 0），输出的结果用x的代数式表示输入x平方22. 小明设计了一个流程图：1输岀a（2）如果输入的数是 丄，输出的数是多少？42 15解: （ 1）x2 1（2）1623. 如图，图中的阴影部分是一张正方形纸片剪去一个扇形后剩余的部分,（1 ）用a表示阴影部分的周长；（2）当a 8时，求这个图形的周长（ 取3.14）.1解：（1） 2a a（2） 28.5621 1224. 若|2x 1|- | y 41 0 ,试求多项式1 xy x y的值.2 31 2解：易知：x , y 4，所以1 xy x y 2.2探索规律题1. 某校生物教师李老师在

27、生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽实验；第一组取3粒，第二组取5粒，第三组取7粒，即每组所取种子数目比该组的前一组增加2粒.按此规律，请你推测出第 n组应该有种子数（）A. 2n 1B. 2n 1C.2nD. n 2 .2. （变式）某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽实验；第一组取7粒，第二组取10粒，第三组取13粒，即每组所取种子数目比该组的前一组增加3粒.按此规律，请你推测出第n组应该有种子数（）A. 3n 4 B. 3n 4C. 3nD. 3n 2.3. 结合例和例，你能归纳总结出此类问题的解决方法吗？4已知一组数：9,16,25则第n个数为5已知一组

28、数1,1, 1,1, 1,则第n个数为6.（变式）已知一组数1, 1,1,1,1,1 , -则第n个数为7已知一组数：1 ,3579个数为?,-,用代数式表示第 n4916258已知一组数：-1 ,3579n个数为，用代数式表示第4916259下列一组按规律排列的数：1,2, 4, 8, 16 ,，第2004个数是（）A.22004B.22004-1C.22003D.以上答案均不对10.观察下列各等式：9-1=816-4=1225-9=1636-16=20这些等式反映自然数间的某种规律，设n（n > 1表示自然数，用关于 n的等式表示这个规律为【借题发挥】1先观察下列算式，再根据规律填空:2 23 1812 25 3822 27583928 42 2928 5通过观察，归纳用含有一个字母 n （表示正整数）的式子将各式反映的规律表示出来。2如图15-2所示，请说出第n个图形中笑脸的个数©O ©O© ©©O© Q S'© GO