汽车租赁问题

1、承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 .我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完

2、整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2. 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：年 月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：汽车租赁问题摘要本文研究的是汽车租赁的问题。拥有94辆可供出租的汽车和10个代理点的 某公司想根据第二天早晨汽车租赁的需求量和前一天晚上各代理点拥有的汽车 数确立一个调度分配汽车的方法，使得运转成本最低。针对这个问题，我

3、们作以下研究，并在分析中得出结论。首先，我们利用 Excel的求和，求出汽车的总需求量等于当前的总拥有量（供等于求） ，所以汽 车的总数量刚好能满足要求。拥有量大于需求量的代理点只能转移出多余的车 辆，假如转移出的车辆多了，还要从别的代理点重新转移再转移车辆， 这样会使 转移的距离变长，运转成本变多，因此，代理点要么转进，要么转出，不可能某 个代理点既转进又转出的。第一种方法是在分析中得出结果，最后再利用简单的 求和求解；第二种是把它化为规划问题，利用 Lingo求解。运转成本的最小值 W，最小值为163.761欧元。当代理点5转运出3辆汽车到代理点4; 543辆代理点9转运出2辆汽车到代理点

4、1; 912辆代理点9再转运出4辆汽车带代理点3; 933辆代理点9再转运出1辆汽车带代理点10: 9101辆代理点8转运出4辆汽车到代理点10; 8104辆代理点2转运出1辆汽车到代理点3; 231辆代理点2转运出5辆汽车到代理点6; 265辆代理点2转运出1辆汽车到代理点7。271辆关键字:汽车租赁Excel运转成本最小Lingo一、问题重述汽车租赁业被称为“朝阳产业”，它因为无须办理保险、无须年检维修、车 型可随意更换等优点，以租车代替买车来控制企业成本的管理方式， 正慢慢受到 国内企事业单位和个人用户的青睐。无论是从中国宏观经济的走向趋势还是 微观的社会基础来看，汽车租赁行业都有着无比

5、光明的发展前途。中国汽车租赁业于1989年起源于北京，到2008年6月底，中国13个中心 城市的汽车租赁企业已经发展到 800多家，但运营车辆仅4.5万辆，其中80%的 企业运营车辆不足50辆。面对汽车租赁业如此光明的市场前景，汽车租赁公司 该如何安排经营，才能使自己获得最大利润，在汽车租赁行业中具有一席之地， 这是汽车租赁公司迫切关注的问题。所以我们对汽车租赁公司各个代理点之间调 度分配汽车进行分析，并且建立模型，解决运转成本最低问题。有一小型汽车租赁公司，该公司有94辆可供出租的汽车，分布于10个代理 点中.每个代理点的位置都将以地理坐标 X和Y的形式给出，单位为英里.假 定两个代理点之间

6、的距离约为它们之间欧氏距离 （即最短距离）的1.3倍.下表给 出了各个代理点的位置坐标，以及第二天早晨汽车租赁的需求量和前一天晚上各 个代理点拥有的汽车数.表1车辆租赁代理点信息代理点12345678910X0201830353355112Y坐标02010120252710015汽车需求量10681197157912当前拥有量813481221411157假定汽车运转的成本为每辆车每英里 0.50欧元，请找出如何在各个代理点之 间调度分配汽车才能够满足各处的需求，并且使运转成本最低.问题分析随着汽车租赁行业的蓬勃发展，要想在在汽车租赁行业中具有一席之地， 这 是汽车租赁公司迫切关注的问题。所以

7、我们对汽车租赁公司各个代理点之间调度 分配汽车进行分析，并且建立模型，解决运转成本最低问题。我们利用Excel的求和，求出汽车的总需求量等于当前的总拥有量 （供等于 求），所以汽车的总数量刚好能满足要求。拥有量大于需求量的代理点只能出多 余的车辆，假如转移出的车辆多了，还要从别的代理点从新转移再转移车辆，这样会使转移的距离变长，运转成本变多，因此此，代理点要么转进，要么转出不 可能某个代理点既转进又转出的可能某个代理点既转进又转出的。利用两代理点间的距离（两点间距离的1.3倍）计算出运转成本，运用Excel计算或Lingo求解。三、模型的假设和约定1、假定两个代理点之间的距离约为它们之间欧氏距

8、离 （即最短距离）的1.3倍2、假设汽车的转运成本仅与距离有关，不考虑汽车在转运途中的损耗。3、题目所给的各代理点的位置都是真实可靠的。4、假设汽车只从多的代理点往少的代理点转运。5、若代理点的拥有量和需求量相等时，该代理点将不再参与汽车的转运系统。四、符号的说明及名词的定义X代理点的横坐标Y代理点的纵坐标M总运转成本W总运转成本的最小值Xj （第二问）从I代理点运转到J代理点的车辆数Cij代理点I和代理点J之间的欧氏距离Lj代理点I和代理点J之间的距离Tj （第一问）从代理点I到代理点J运转的车辆数Smn转运出的代理点m到各转运进的代理点n的距离五、模型的建立从所要解决的问题和模型的假设条件

9、出发， 我们建立了 一个模型并对其进行 求解。首先将该汽车租赁公司10个代理点的位置在图中标识（利用 Excel）, 如下图所示：车辆租赁代理点分布图4035302520151050代理点7- 代理点6- 代理点2- 代理点10代理点4-代理点8代理点3代理点1代理点9代理点5卜I 4liIIII0510152025303540模型一：(1)问题的分析:利用Excel求出该公司的汽车总拥有量和汽车总需求量，还有各 个代理点的拥有量与需求量的差，表格如下图所示：代理点需求量当前拥有量拥后量-需求量1108-226137384-44118-359123672-571514-187114991561

10、0127-5总计94940由表格中分析得到：该公司的汽车总需求量与汽车总拥有量相等，代理点 1 需转移进2辆，代理点2需转移出7辆，代理点3需转移进4辆，代理点4需转 移进3辆，代理点5需转移出3辆，代理点6需转移进5辆，代理点7需转移进 1辆，代理点8需转移出4辆，代理点9需转移出6辆，代理点10需转移5辆。拥有量大于需求量的代理点只能出多余的车辆，假如转移出的车辆多了，还 要从别的代理点从新转移再转移车辆，这样会使转移的距离变长，运转成本变多， 因此，代理点要么转进，要么转出，不可能某个代理点既转进又转出的(证明见 附录1)。各代理点的进与出如下图所示：(2)公式推导:Co Xi X j

11、2 Yi (i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ; j=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)2Yj ；10 10M i 1 j 1(i=2,5,8,9; j=1,3,4,6,7,10(3)模型建立:10W min i 1101.3cJTij 0.5 ；(i=2,5,8,9; j=1,3,4,6,7,10利用Excel求出I代理点到J代理点之间的欧氏距离 Cj，结果 如下图所示各代理点之间的欧式距离 cj代理 点123456789101028.2842720.5912632.310993541.4004827.4590611.180341115.13275228.28427010

12、.1980412.806252513.9283916.5529518.0277621.9317118.68154320.5912610.19804012.1655319.7230821.213221.400931312.2065616.76305432.3109912.8062512.1655301313.3416629.1547625.0798722.4722128.160265352519.7230813025.0798740.3608731.622782436.24914641.4004813.9283921.213213.3416625.07987028.0713431.7647633

13、.3016532.57299727.4590616.5529521.4009329.1547640.3608728.0713401727.6586312.36932811.1803418.027761325.0798731.6227831.7647617011.66195.83095291121.9317112.2065622.472212433.3016527.6586311.6619017.492861015.1327518.6815416.7630528.1602636.2491432.5729912.369325.83095217.492860利用Excel筛选出各转运出的代理点 m(

14、m=2,5,8,9)到各转运进的代理点n (n=1,3,4,6,7,10 )的欧氏距离Smn ;结果如下表所示：代理点1346710228.2842710.1980412.8062513.9283916.5529518.6815453519.723081325.0798740.3608736.24914运进的代理点811.180341325.0798731.76476175.83095291112.2065622.4722133.3016527.6586317.49286运出的 代理点其中用红色标注的是从代理点 M到代理点N的最小距离，用黄色标注的是从 代理点N到代理点M的最小值。再结合代理点

15、的转出与转出分布图，分析出：当代理点5转运出3辆汽车到代理点4; 5 43辆代理点9转运出2辆汽车到代理点1; 9 12辆代理点9再转运出4辆汽车带代理点3; 934辆代理点8转运出4辆汽车到代理点10; 8 10 4辆代理点2转运出1辆汽车到代理点10; 2101辆代理点2转运出5辆汽车到代理点6; 265辆代理点2转运出1辆汽车到代理点7。271辆运转成本的最小值WW 1.3 0.5 13 3 11 2 12.21 4 5.83 4 18.68 1 13.93 6 16.55 1 解得：W 163.761 （欧元）模型二：线性规划问题(1)问题分析：拥有量大于需求量的代理点只能出多余的车辆

16、，假如转移出的车辆多了，还 要从别的代理点从新转移再转移车辆，这样会使转移的距离变长，运转成本变多， 因此，代理点要么转进，要么转出，不可能某个代理点既转进又转出的(证明见 附录1)。各代理点的进与出的车辆数如下图所示：(运进 运出的 车辆数) 代理点1 (2)3 (4)4 (3)6 (5)7 (1)10 (5)2 (7)28.2842710.1980412.80625 13.9283916.5529518.681545 (3)3519.723081325.0798740.3608736.249148 (4)11.180341325.07987 :31.76476175.8309529 (6)

17、1112.2065622.47221 :33.3016527.6586317.49286运出的代理点运进的代理点(2)公式推导与模型建立:目标函数:28.28427 k#35 x5i + 11.18034 X8i + 11 X9i10.19804 x23+ 19.72308 X53 + 13 x83+ 12.20656 x93Min 12.80625 x24 + 13 x54 25.07987 4 + 22.47221 x9413.92839 x26 + 25.07987 x56 +31.76476 x86 +33.30165 x9616.55295 x27 +40.36087 x57 + 1

18、7 x87 + 27.65863 x9718.68154+36.24914+ 5.830952+17.49286x 210x 510x 810x1 910约束条件:X21X 23X24X 26X 27X2107X51X 53X54X 56X 57X5103X81X 83X84X 86X 87X8104X91X 93X94X 96X 97X9106X21X 51X81X 912X23X 53X83X 934X24X 54X84X 943X26X 56X8X 965X27X 57X87X 971X210X 510X810X5910Xij 0且 Xj Z (i=2,5,8,9 ; j=1,3,46,

19、7,10)(3)模型求解：利用Lingo求解(程序见附录2),结果如下表所示:X210.00000019.29279X510.00000025.81477X810.00000011.84225X912.0000000.000000X231.0000000.000000X530.0000009.331290X830.00000012.45535X933.0000000.000000X240.0000000.000000X543.0000000.000000X840.00000021.92701X940.0000007.657440X265.0000000.000000X560.00000010.

20、95773X860.00000027.48976X960.00000017.36474X271.0000000.000000X570.00000023.61417X870.00000010.10044X970.0000009.097160X2100.0000003.197200X5100.00000020.57105X8104.0000000.000000X9101.0000000.000000W运转成本的最小值234.829 1.3 0.5152.6388各个代理点之间调度分配汽车的方法是:当代理点5转运出3辆汽车到代理点4; 543辆代理点9转运出2辆汽车到代理点1; 912辆代理点9再转

21、运出4辆汽车带代理点3; 933辆代理点9再转运出1辆汽车带代理点10: 9101辆代理点8转运出4辆汽车到代理点10; 8104辆代理点2转运出1辆汽车到代理点3; 231辆代理点2转运出5辆汽车到代理点6; 265辆代理点2转运出1辆汽车到代理点7。271辆模型一与模型二进行对比：模型二的运转成本比较低，所以我们最后采用模 型二的方法。六、模型评价(1)模型优点：1、运用了一些图形与表格，用数形结合法来进行分析，使模型思路更 清晰，更有说服力；2、通过利用数学工具和Lingo严格的对模型求解，具有科学性；3、本文用的数学方法都比较简单易懂，方便方案的利用；4、合理的假设，使复杂问题简单化，

22、抽象问题具体化；、运用两种方法进行对比计算，优化方案。(2)模型的缺点:1、论文文字不够严谨，有待提高；2、方法一的最终结果是在结合分析的基础上得到的，太过于理想化;七、参考文献1欧阳光中，朱学炎，金福林，陈传璋，数学分析，北京：高等教育出版社, 2007。2王正东，数学软件与数学实验，北京：科学出版社，2004。3胡运权，运筹学习题，北京：清华大学出版社，2004。4周华任，运筹学解题指导，北京：清华大学出版社，2006。5姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003。6胡运权，运筹学基础及其应用，北京：高等教育出版社，20087杨启帆，数学建模，北京：高等教育出版社，2005年。八、附录附录1：证明一个猜想：要是运转成本低，代理点只能转进，或转出，不可能某个代理点既转进又转出的。如上图所示：假如 AB=X1 BC=X2 CA=X3且X