埃尔米特插值

1、复复 习习前面我们已经学过两种插值方法：前面我们已经学过两种插值方法：LangrangeLangrange插值法插值法和和NewtonNewton插值法插值法特点特点1 1）插值条件为）插值条件为函数值函数值，即，即2 2）求一个次数不超过）求一个次数不超过n的代数多项式的代数多项式3 3）构造方法：）构造方法：采用节点基函数采用节点基函数LangrangeLangrange插值法：插值法： niiinxlyxL0)()(NewtonNewton插值法：插值法：)()(,)(,)()(1000100 nnnxxxxxxfxxxxfxfxN注：注：两种方法的结果相同（唯一性）两种方法的结果相同（

2、唯一性）一、埃尔米特（一、埃尔米特（HermiteHermite）插值多项式）插值多项式 二、两种简单情形二、两种简单情形三、例题三、例题一、一、 HermiteHermite插值多项式的定义插值多项式的定义插值条件中除插值条件中除函数值函数值外，还有外，还有导数值导数值（回顾（回顾TaylorTaylor展开式展开式, , 是某点的导数值），是某点的导数值），如如已知：已知：2 2n+2+2个条件个条件)(iixfy 0y 1y ny 求求: :一个次数不超过一个次数不超过2 2n+1+1的多项式的多项式H H2 2n+1+1( (x x) )二、简单情形二、简单情形 情形情形1. 1. 已

3、知：已知：3 3个条件个条件)(iixfy 0y 求求: :一个次数不超过一个次数不超过2 2的多项式的多项式H H2 2( (x x) )。注意用注意用Lagerange基函数的思想和方法：基函数的思想和方法：各司其职。各司其职。解：解：用用Lagerange基函数基函数的方法，设的方法，设)()()()(0011002xyxyxyxH 要求满足要求满足: :其中其中 是基函数，满足是基函数，满足)(),(),(010 xxx （1 1）都是）都是2 2次多项式次多项式 （2 2）无关性）无关性000111000010010000011000110( )( )( )( )( )( )( )(

4、 )( )，20000001)(11)(1()(0)0(1)0()(1()(01)(1xxbabaxxxbaxxxx则：，则：带入将：，则可以设：）（零点：为二次项式，且有一个由于：)1 ()()(11) 1 ()()(00)0(0)0()(0211211111xxxxxccxxxxx同理：则：则：又：则：的二重根为则：又：为二次项式同理：)()(! 3)()()()(1202xxxxfxHxfxR 情形情形2.2.已知：已知：4 4个条件个条件)(iixfy 0y 求求: :一个次数不超过一个次数不超过3 3的多项式的多项式H H3 3( (x x) )1y 练习：用练习：用Lagerang

5、eLagerange基函数的思想和方法：基函数的思想和方法：各司其职。各司其职。2120)4(3)()(! 4)()()()(xxxxfxHxfxR 已知：已知：2n+2个条件个条件求求:一个次数不超过一个次数不超过2n+1的多项式的多项式H2n+1(x)()()()()(0000 xyxyxyxyxHnnnnn0)(1)()()()(12)()()(, 1 , 0, 1 , 0, 0)(, 2 , 10)(1)(02iiiinijjjiiijjijijixxbaxxbaxxnxxijxxninjxnjijxijx由以下两式确定：和则：得次数是因为的二重根是即：其中：且，因为：nijjjiii

6、iijjijijixxxxcxxxxxijxxiijxjijxjx02)()()()()()(n, 1 , 01)(n, 1 , 0,0)(n, 1 , 00)(则：的一重根是的二重根，是则：其中：，njjnnnxxnfxHxfxR02)1()()!1()()()()(作业：作业：习题习题 1414，1616三、例题三、例题例例1 1：给定如下数据表，求次数不高于给定如下数据表，求次数不高于3 3次的代数插值多项式。次的代数插值多项式。)(ixf xyxxxxyxxxxxL101001011)(ixiy满足：其中求：)(),(22xHxH)(ixf 2212222222212)()()() 1

7、()(10)0() 1()() 1)(0()(0) 1 (0)0()()()(xxRxLxHxxxRcHxcxxxHxxcxRRRxRxLxH则：则：则：又：有：则：则：设：ixiy满足：其中求)(),(:33xHxH)(ixf 3233333( ) =( )+( )?(0) = 0?(1) = 0?(0) = 0?( ) = 0HxHxR xRRRR xc：其中：例例2 2：给定如下数据表，求次数不高于给定如下数据表，求次数不高于3 3次的代数插值多项式。次的代数插值多项式。)(ixf 例例3 3：给定如下数据表，求次数不高于给定如下数据表，求次数不高于4 4次的代数插值多项式。次的代数插值

8、多项式。)(ixf 例例4 4：给定如下数据表，求次数不高于给定如下数据表，求次数不高于5 5次的代数多项式。次的代数多项式。)(ixf 解：解：先构造插值于四个函数值的插值多项式先构造插值于四个函数值的插值多项式用用NewtonNewton插值法可得：插值法可得：322030010036161914)1()1(61)1()1(410)()(,)(,)()(xxxxxxxxxxxxxxxfxxxxfxfxN 再构造插值于两个导数值的插值多项式再构造插值于两个导数值的插值多项式)2)(1()1)()()(35 xxxxBAxxNxH解出系数解出系数360161,36059 BA例例5 5：给定如下数据表，求次数不高于给定如下数据表，求次数不高于3 3次的代数多项式。次的代数多项式。)(ixf )(0 xf)(ixf )(0 xf )()()()(12023xxxxAxHxH例例6 6：给定如下数据表，求首项系数为给定如下