数值分析第4章答案

1、第四章数值积分与数值微分1确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1) hf(x)dx AJ( h) A0f(0) A,f(h);2h 2hf(x)dx A1f( h) A0 f (0)A1f(h);1(3) 1 f(x)dx f( 1) 2f(xJ 3f(X2)/3;h 2 0 f(x)dx hf(0) f (h)/ 2 ah2 f (0) f (h);解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。h(1 )若(1) hf(x)dx

2、 Aif( h) Aof(O) Af(h)令f(x)1，则2h A1 A0 A1令f(x) x，则0 A1h A1h2令f (x) X ,则2 3 2 2h h A 1 h A13从而解得Ao 4h3A1 h31A1 h3令 f (x) x3，则hhf (x)dxx3dx 0hhA1f ( h) Aof(O) AJ(h) 0h故 h f (x)dx A1f ( h) A0f(0) AJ(h)成立。令 f (x) x4，则hhf(x)dxh 425x dxhh5A1f ( h)Aof (0) A1 f(h) |h5故此时,hhf(x)dxAf h) Aof(O) Af(h)h故 hf(x)dx

3、A1f ( h) A0f(0) Af(h)具有3次代数精度。2h(2) 若 2hf(x)dx Aif( h) Aof(0) Af(h)令f(x)1，则4h A1 A A令f(x) x，则0 Aih Ah令 f (x) x2，则h2A 1h2A从而解得A0 thAi8h2h2hf(x)dx2h x3dx2hA1f ( h) Aof(O) Af(h) 02h故 f(x)dx A1f ( h) A)f (0) A1f (h)成立。2h令 f (x) x4，则2h2hf(x)dx2h x4dx 64h52h165Aif ( h) Aof (0) Aif(h)h53故此时，2h2hf(x)dxAif (

4、 h) Aof(O) Af(h)因此,2h2hf(x)dxAif( h)Aof(O) Af(h)具有3次代数精度。1(3) 若 i f(x)dx f( 1) 2f(>0 3f(x2)/3令f(x)1，则11 f (x)dx 2 f( 1)2f(xJ 3f(X2)/3令f(x) x，则O 1 2音 3x2令 f (x) x2，则 2 1 2x2 3x；从而解得x1O.2899x1 O.6899或X2 O.5266x2 O.1266令 f (x) x3，则11f (x)dxx3dxf( 1) 2f(xJ 3f(X2)/3O1故 1 f(x)dx f( 1) 2f(x1) 3f(x2)/3 不

5、成立。因此，原求积公式具有 2次代数精度。h2(4) 若 O f(x)dx h f (O)f(h)/2 ah2f (O) f (h)令f(x)1，则hf (x)dx h,h f (0) f (h)/ 2 ah2 f (0) f (h) h令f(x) x，则h0 f(x)dxhxdx0!h22h f (0)f (h)/ 2ah2 f (0)f (h)!h22令 f (x)x2，则h0 f(x)dx2dx0!h33h f (0) f (h)/ 2ah2 f (0)f (h)1h3 2ah2故有1h331 . 3h2丄122ah2令 f (x)x3，则h0 f(x)dxh 3x3dx0hf(0)丄h

6、441 2f(h)/ 2 -h2f (0)12f (h)1h421h441h44令 f (x)x4，则h 415x dx h051 2h f (0) f (h)/ 2 -h2f (0) 12h0 f(x)dxf (h)1h521h531h56故此时,h0 f(x)dx1 2hf(0) f(h)/2 11hf(0) f (h)，h12因此,0f(x)dx hf(0)f(h)/2 Hhf(0) f(h)具有3次代数精度。2分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：10；xr、xdx,n 4;,n6；解:(1)n8,a0,b1,h18,f(x)x4 x2复化梯形公式为7f (xk)f(b)0.1114

7、0复化辛普森公式为S8 hf(a)6f(xk1)2f (Xk)f(b)0.11157n 10,a0,b1,h10,f(x)(1复化梯形公式为T10 2f(a)f(Xk) f(b)1.39148复化辛普森公式为h9S06f(a)4k0f(xk 1)k 一2f(Xk)f(b)11.45471n 4,a 1,b 9,h2,f(x)复化梯形公式为h3t4 2f(a) 2k1f(xk) f(b)17.22774复化辛普森公式为S4 hf(a) 46f(xk1)2f(Xk)f(b)17.32222(4)n 6,a 0,b,f (x)4 sin236复化梯形公式为T6hf(a) 2f(xk) f(b) 1.

8、035622k i复化辛普森公式为S66f(a) 46k 0f(xkl)252f(xj f (b) 1.03577k 13。直接验证柯特斯教材公式(2。4)具有5交代数精度。 证明：柯特斯公式为b af (x)dx苛7f(X0)32f(Xi) 12f(X2)32f(X3)7f(x4)令f(x)1，则f (x)dxb a90b a907f(x°) 32f(xJ 12f(X2)32f()75)令f(x) x，则f (x)dxdx(b2 a2)a 2b aEE 32f(X1) 12f(X2) 32f(X3)7f(X4)1 (b22(ba2)f (x)dxbx2dx (b3 a3)a3詈7f

9、(X0)g)区)32心)7f(x4)1 (b3(b3a )f (x)dx3dx14 4秽a)詈7f(X0)32f(X1)12f(X2)32f(X3)7f(x)扣4a4)令 f (x) x4，则bf(x)dxbx4dx 1(b5 a5)57 f(xo) 32f (xi) 12f(X2) 32f(xa) 7f(X4)- (b5 a5)905令 f (x) x5，则f (x)dx5dxa和6b a1667 f(xo) 32f(xi) 12f(X2)32f(xa) 7f(S(b a )90令 f (x) x6，则h0 f(x)dxJ"。)32f(x1) 12f(x2) g 7f(x4)因此，

10、该柯特斯公式具有 5次代数精度。14。用辛普森公式求积分e xdx并估计误差。0解：辛普森公式为S 晋f(a) 4f(- b) f(b)2此时，a 0,b 1, f (x) e ,从而有1 2 1S (1 4e 2 e )0.632336误差为R(f)b a180(专)4f(4)(1 1 0180 24 e0.00035,(0,1)5。推导下列三种矩形求积公式:f (x)dxf (x)dxf (x)dxf ( )2(b a) f (a) (b a);f ( )2(b a) f (b) -72(b a)2;(b a) f (ayb) f (b a)3;证明:：f(x)f(a) f ()(x a)

11、,(a,b)两边同时在a,b上积分,ba f (x)dx即(b a)f(a)b)a (x a)dxbf (x)dx a(b a)f (a)丁 f(x)f(b) f (f (2)(b)(b a)2x),(a,b)两边同时在a,b上积分,bf (x)dx a即(b a) f (a)b)(b x)dx aba f(x)dx(b a)f(b)(3)： f(x)a bf(=f!2a bf ()(x2)(ba)2f (), (xa b 2_T),(a,b)两连边同时在a,b上积分，得bf (x)dx a(b a)f秽b)ba(xjdx2jdx2即bf(x)dxa(b aG)3a)；6。若用复化梯形公式计算

12、积分241Iexdx，问区间0,1应人多少等分才能使截断误差不超0亠15过-10 5 ?若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间0,1应分多少等分?2解：采用复化梯形公式时，余项为(a,b)R1(f)b a 2 h2f (),121exdx0故 f(x)ex, f (x) ex, a0,b 1.Rn(f)若 Rn(f)1 10 故有，则210h若 Rn(f),41440 he当对区间0,1进行等分时,h1n212.85因此，将区间213等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为w詁2)n _ hf<4>()，(ab)又丁 f <x) ex ,f <x)Rn&l

13、t;f)12880h4| f<4)< )|288010 5，则10<1440e1105)"3.71因此，将区间8等分时可以满足误差要求。7。如果f (x)0 ,证明用梯形公式计算积分明其几何意义。解：采用梯形公式计算积分时，余项为f ( )3Rt(b a)3,a,b12又f (x)0 且 b abI a f(X)dX所得结果比准确值I大，并说Rt0又' R,1 TI T即计算值比准确值大。其几何意义为，f (x) 0为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。&用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过102(2) ° xsin xdx (3)

14、qx .1 x2 dx.解：dx(1)IkT0(k)T1(k)T(k)T2T(k)T300.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717因此 I 0.7137272 I xsinxdx0kT0(k)T1(k)063.451313 1018.628283 10 721-4.446923 10因此I 0(3)I1 x2dxkTjk)T1(k)T2(k)T3(k)T4(k)T5(k)014.2302495111.171369910.1517434210.44379

15、6910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此 I 10.20759229。用n 2,3的高斯-勒让德公式计算积分:exs inxdx解：31 iesi nxdxTX 1,3,令 t x 2，则 t 1,1用n 2的高斯一勒让德公式计算积分I 0.5555556 f( 0.7745967)

16、f (0.7745967)0.8888889 f (0)10.9484用n 3的高斯一勒让德公式计算积分I 0.3478548 f( 0.8611363) f (0.8611363)0.6521452 f( 0.3399810) f(0.3399810)10.9501410地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是S a 冷(：)n2 d ,这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离，记h为近地点距离,H为远地点距离，R=6371 ( km)为地球半径，则a (2R H h)/2,c (H h)/ 2.我国第一颗地球卫星近地点距离 h=439(km)，远地点距离 H=23

17、84(km )。试求卫星轨道的周 长。解：TR 6371,h439,H2384从而有。a (2R H h)/2 7782.5c (H h)/2 972.5S 4a021(C)2sin2 dkT0(k)T1(k)T(k)1 201.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646I 1.564646S 48708(km)即人造卫星轨道的周长为 48708km11。证明等式35nsin _2 4n3!n5!n试依据nsin( )(n 3,6,12)的值，用外推算法求的近似值。n解若 f (n) nsin ,n1315又 tsin xx x x 3!5

18、!此函数的泰勒展式为f(n)n sinnn-£()3 +()5 n3!n5!n353!n25!n4T(k)1 n当n3时，nsin 2.598076n当n6时，nsin 3n当n12时,nsin 3.105829n由外推法可得nT0(n)T1(n)T (n)1 232.59807663.0000003.13397593.1058293.1411053.141580故 3.1415812。用下列方法计算积分dy，并比较结果。1 y(1) 龙贝格方法；(2) 三点及五点高斯公式；(3) 将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 解3dy(1)采用龙贝格方法可得kT(k)T 0T(k)T

19、(k)I2T(k)I 3T(k)I 401.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有 I 1.098613(2)采用高斯公式时3dy此时 y 1,3,令x y乙则x 1,1,dx,2f(x)利用三点咼斯公式，则I 0.5555556 f( 0.7745967) f (0.7745967)0.8888889 f (0)1.098039利用五点高斯公式，则I 0.2369239 f( 0.90

20、61798) f (0.9061798)0.4786287 f ( 0.5384693) f (0.5384693)0.5688889 f (0)1.098609(3)采用复化两点高斯公式将区间1,3四等分，得x 5作变换y，则41 1I1 1 dx,1x 51f(x) ,x 5I1 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.4054054x 7作变换y，则41 1I2dx,21x 71f(x) ,x 7I2 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.2876712x 9作变换y _ _，则41dx,1x 91f(x) ,x 9I3 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.2231405x 11作变换y，则41 1I4dx,41x 111f(x),x 11I4 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.1823204因此，有I 1.098538113用三点公式和积分公式求f(x)2在x 1.0,1.1，和1.2处的导数值，并估计误差。(1 x)x1.01.11.2F(x)0.25000.22680.2066f (x)的值由下表给出:解:f(x)1(1 x)2由带余项的三点求导公式可知f (Xo)f (Xi)12h1h23f(Xo) 4f(Xi) f (X2)孑 f()