数值分析(计算方法)总结

1、第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是k的绝对误差，£ =是d的误差，貞=t賂£为"的绝对误差限（或误差限）gc=12!牛匕=为/的相对误差，当吟较小时，令r ”相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：此' M 1<1绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值*的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到"的第一位非零数字共有n位，则称近似值X有n位有效数字，或说x精确到该位。例：设 x"=3.1415926 那么 x = 0.1415926., < 0.5 x 10，则F 有效数字为 1

2、位，即个位上的3,或说 精确到个位。科学计数法：记孑=± a叫乜冥0%托中叫尹Q）爭匕0.5 x 1（T t则有 n位有效数字，精确到丄。 。由有效数字求相对误差限：设近似值二士°冋日广气xltT有门位有效数二 x 10避免两相近数相减 避免用绝对值很小的数作除数3.避免大数吃小数*11字，则其相对误差限为2;|'J. Ill,-由相对误差限求有效数字：设近似值 _|:'-的相对误差限为 耳 -n为"j X 贝陀有n位有效数字令卜"一:'.- - '.：|'? -11. x+y近似值为；厂川I一八；八'和的

3、误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为"-厂3& + P"33. xy近似值为小恥）斜/卜q（y）十卜nW'lit；之4. 尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1. 逐步搜索法设f(a) <0,f(b)>0，有根区间为(a,b)，从xo=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/ N 步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(xk)=f (a+kh)的符号，若f (Xk)>0(而f ( Xk-i)<0),则有根区间缩小为Xk-i,Xk(若f(Xk)=0, Xk即为所求根),然后从|Xk-Xk-l|<为止，

4、此时取Xk-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度:x*Xk+Xk-i )/2作为近似根。2. 二分法设 f (x)的有根区间为a,b=ao,bo,f(a)<0,f( b)>0.将ao,bo对分，中点xo=(ao+bo)/2),计算f ( Xo)。对十给定带度川学丘牛可得所需步数k,3. 比例法一般地，设ak,bk为有根区间，过(a©f(aQ)、(bk,f (bk)作直线，与x轴交于r(a) L点 Xk,则：X二旺1. 试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。2. 比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列(递推公

5、式)，使该点列收敛到方程的根。一一这正是迭代法的基本思想。事先估计：时-叫占凶-阳事后估计局部收敛性判定定理：. I一K|<p(x*)| < E则该迭代局部收敛但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱, 解的附近Steffe nsen 迭代格式：Newton 法:Newton下山法:阻)耳+】=孤_吨_ 阻)1 = xk %)心-_)是下山因子弦割法:其中:0k-z5-c)+ hi - Wxk-i)-c)+ ho ah 严 hlvhf(f(叫h J - (% _2)-c)2 2-h0*hl则:-2cxt + b > 0b +-4ac2c旺 +

6、 fb < 0 b + 卅-4aclim ：； =(：*设迭代Xk+i = g(xk)收敛到g(x)的不动点(根)x*设ek = xk x*若则称该迭代为p (不小于1)阶收敛，其中 C(不为0)称为渐进误差常数第三章解线性方程组直接法列主元LU分解法：计算主元Si = aik_- iVurr i = khk + l.n选主元 际1= max OSjUk<i <nfuij = aii' (j = 1,2 n)aiiln =,(i = 23«Ji)uu|% = ki -<i = Kk+tn) f即为上式主元忙-虹二吒卜-叮(1 = k+ bk+2&quo

7、t;)对于Ax=b,三角分解 A=LU Doolittle 分解：L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵;Crout分解：L为下三角矩阵，U为单位上矩阵。可分解为：(Ly = bT THS方程组|lUx = y,上二角方稈铝若利用紧凑格式可化为：Ux = yVi = bik- 1bk"気沁 <k = 2J-.n)bm = 1h/Cholesky平方根法：系数矩阵A必须对称正定AX = b«|7(Jf|-A=IJ.T)hl = x> 1l' li1町Jl j klk-1k + l.k + 2.n. k = 2,3.,.n)akk X hnA kk = X hn

8、AQO in 1也m 1改进Cholesky分解法：A = LDL(iT.lhA= L(DL')1咕31ld1 dl'2l dihid211 占 2'32*qH-a -i5 w -1 1t诬存相乘汁詁厂2?込认)cj= hz.J-i)1k；-为减少计算毀 令勺=i朴 町改为;目广已广工仏= 1,2.<.n)Ly = b-1) 需价= p-iy= aii Zjl,j = T 0 = 23.m ) = 1,2=- X cikiik!? 1D * =J叫1可其中：1追赶法：Ax=d(A=LU),可化为 Ly=d,Ux=y，u二 S1 = (i = 2,3.n)1 u.

9、1FHAITZ'1 JxJ. 1-范数I叫=农冷,2-范數或欧氏范数I|A|= Hm |x| = max (|xj,曲-范散向量范数：IpT + m" 1 £ i £ n1lA|j = max I-1 t|a-|.列范数1 M F1川2 =彳1皿（八"，诺范枝II川L= maxdad,行范数11 Il ''矩阵范数：谱半P CA> = max |A为特征也且p（A）空I|A|,若A为对称阵則* p （A） = llAlL径：1呂i二n收敛条件：谱半径小于 1h I条件数:1'''Jacobi 迭代:

10、基于 Jacobi第四章 解线性方程组的迭代法迭代的Gauss-Seidel迭代：汕'U =打广气八V £州理）川=1 2 k = <M2 J*Ti j = 1）= i + 1迭代收敛：谱半径小于 1,范数小于1能推出收敛但不能反推逐次超松弛迭代（SOR :n = x（k）_® _K（kn_ y 州皆叱 j!=ij =T+1i - 1n或=首依1 “ = （1 - npjy斗孑（h -即严："一 V督屮）,0 = 12.n;k = 0丄2十）i】j =T+ t当h：=1时，就是基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代（加权平均）。第五章插值

11、法Lagra nge 插值法:构造插值函数：；二U二扎：门二:工令!/龙=孙王3冷丁：. + 儿则.卜耳诃啊=斗二杷+論若记:则可改为:则插值余项:口】 yrE（X "丿. _召“ n；：E严帚咯而舁r+,©片阿=f（x） L（lW = 叫 + t«L(x) = Tf 农ft -M逐次线性插值法Aitken（埃特金法）：oPl.k i W - j jtx)0.1.UCx = Lo I -k(x) + v Tv x -xk)=（的）X-X 代叫）X-XkNewton 插值法:N(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+an(x-x0)(x-x1)

12、(x-xn)并满足 N(x)=f(x)差商的函数值表示:差商与导数的关系:11!如丁 ©w (x> = (st-xn) (x-xj (x-xN) = 口：则：fg = Rxq) + ffxj/x) + .» + fx(rxv.jcfjwn(x) + 血押严 + 叫 + j(x)Newton 向后插值:叫仇+th) = g + E： i 哉(余项:等距节点Newton插值公式:Newton 向前插值：叫仆心3 +阳点（：），其屮（：）"汀打Hermite插值：-«i(x) = (Ax + B)l'(x), p-(x) = (Cx + D)j(

13、x)%（乂）=1 - 2仪-沟）左住_%讪%60 =仗-幼洛）可紡（0 2插值余项：R2n t心）=血）-H為| &）=莎T顾叭十血） 待定系数：H二1购呵+（s；）（x-直；）.（；）（Ax + B）三次样条插值：（三弯矩构造法）（x,） =分柄次井满足插值条怡b产旳%"i = VX7?对于附加弯矩约束条件:11-1卄叫1閘2 叫M 1叫7M' x61i 叫 _, + 2 叫+二 Hfb-iEE,】对于附加转角边界条件：r2 1知2 Ui"2旳MlM,1WhlM1o1n *】勺”XJf%”r-lJ1m-l x *X 1RXnI h VF V nJhrIEl

14、=6对于附加周期性边界条件:I Xp.xJ - I % _ %|2 HT1_-2 2血& 一必1一2%一 Jftxi.j- T ljXt - xM;hf x - x.,_j_ ITffv、1h J 呐 6 1 h-（旺 一 JC） QC - 为 “ J sCx）=Mi-ihr4 叫 nr-上式保证了 s（x）在相邻两点的连续性 第六章函数逼近与曲线拟合主要求法方程第七章数值积分与数值微分求积公式具有m次代数精度的充要条件:cr,rb"J JlIx = Af 球* k = 04.H nt J x + dx Atxm - a插值型求积公式03"“粘苗吧）求积系数公式：A

15、, = /h,（x）dx7 i =（U，nNewt on-Cotes(等分)梯形求积公式n=1），具有1次代数收敛精度匚呛皿空阴+6-卅误差公式：抛物型求积公式（Simpson求积公式，n=2），具有3次代数收敛精度a + b1b - af(a) + 4rbJ Kx）dx误差公式E回=-2馭f 5）Newt on 求积公式（Simp on 3/8法则） 具有3次代数收敛精度匕一曲，、，,Nlfl |(r(a) H- 3fta + h) + 3C(a + 2h) + Hb)L hCotes 求积公式(n=4)，具有5次收敛精度b - a.“、一、八 “b - a)( 7(f(a) + 32f(a

16、 + h) + 12f(a + 2h) + 32f(a + 3h) + 7f(b). h=戸误差公式945 J）山）节点数为奇数时，代数精度为n;为偶数时，代数精度为 n+1。代数精度都是奇数。复化梯形求积公式:n（卄沁+ 2斗；咻）+卩）截断误差：叽（gph®复化Simps on公式：-g b” a, 4必、=加+型：A g） +型：舄咆J + f（b）截断误差：复化Cotes求积:CQhii -1n - 1=丽叫+ 吃5)+3邵+9ii - 1n 二】(X J +：吃 W J + 7f(b)j 8 *丁2j BI 斗截断误差：'若一个复化积分公式的误差满足 复化求积公式（

17、需要 2n+1个求积节点）hn黑丸" hT h且C 0，则称该公式是 p阶收敛的。Romberg 求积算法:411> =尹加尹；16 1641R = 63C2»*63C"复化梯形求积公式:复化Cotes求积公式： £即+动L-（：巩=RGauss 型求积公式:内积公式：（“ Hl5 = Cp（X）tDn 1 |（X）P（X）dxi（ jh * ' tn） H2截断误差：.1 高斯求积公式代数精度为2n+1Gauss-Lege ndre求积公式（注意区间（-1,1），变换可得）：形如：匚网讯讯爲-求积系数可通过代数精度或插值型求积公式求积系数公式求出，亦可由下式求得:A.=恥；3】截断误差:EJO = -一11 '叫心 “ E ( - 1J )11Un + 3)】I- 2)!'1'Gauss-Chebyshev求积公式：形如:r - 1dx<,1.【I f荷工:典与)求积系数：州二rrr（i = oim（必为正）E =' tl2n +截断误差：Gauss-Laguerre 求积公式：形女口形如：闇亡也胡二於恥Aj= t（n+1）!1 , j = 0（llh.n 求积系数：恨亠训截断误差：1Gauss-Hermite求积公式：形如: