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1、递推关系求通项基础较差班级的启发式教学案例浙江省宁波市柴桥中学丁平 315809课堂背景北仑区柴桥中学是一所生源相对较差的普通高中，如何在基础较差的班级的课堂教学中实施启发式谈话法（特别是在高考总复习阶段也继续实施这种教法而拒用灌输注入式），已成为广大非重点学校教师的一个共同的探索课 题.为此，笔者于3月份在柴桥中学的一个高三普通班开设了一堂以此为目的 的研究课，着重探索如何启发基础较差学生的思维.下面真实记录了这堂课的师生谈话全过程.课堂实录师：近几年各省、市、自治区的高考中，相继出现了由递推关系求通项的一类数列问题，根据杂志记载，考生对此类试题的解答往往不尽如人意，因此本节课就专门来研究这

2、类问题.请同学们先回答一个问题：已知数列小中，ai1,anian1,求通项an.生 1： ；ani an 1 ,. an 是等差数列，.an 1 （n 1） 1 n .师：对。若将an 1 an 1改为变式1 an 1 an 2n 1 （其它不变），则此题类似 于高考题（全国卷及陕西卷文），此时由an1 an 2n 1推不出an是等差数列， 那该怎么解？（学生沉默）师：思维受阻时不妨”特殊探路”一一譬如求a4.生 2：a2ali a22 ,a3a22 a34,a4a34 a48.资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。师：那么求职。呢？难能也是这样一项一项求？（学生笑）能

3、否不求过渡量a2、 a3而直接求出a4呢？生3：有了，只要把、式相加即得a4 al 1 2 4, a4 8.师：对，这叫做"设而不求”，这个解法我们取名为”累加法”.现在你们会求an 了吗？（至此，学生很快地求出了 an 2n1）.师：小结1型如ani an f（n）的递推关系，常见累加法转化为等差（比）数列求和.下面，再将an 1 an 2n 1变为变式2 ani an 2n1（此题类似于全国高考题），怎么求an?（学生沉默）师：类比是一种很有用的解题思想.能否类比变式1的解法来求解变式2?（学生依然沉默）师：我们还是"以退为进”吧！即先退到特殊情形一一譬如求a4,怎样类

4、比变式1求出a4?生4：也20,%21,也22,相乘得a4 8. aa2a3（n 2）（ n 1）生5：噢！能够求出an 了（于是学生用累乘法求得an 2）.师：小结2型如an 1 an f（n）的递推关系，常见累乘法求通项.我们再将前面问题中的an 1 an 1改为变式3am 2an 1（其它不变），则 如何求an?生6：a2 2al 12 1, a32a21 222 1, a42a3 1 2322 2 1,，an2n1 2n 2 2 1 2n1.师：答案正确，但这仅仅是猜想，还需要用数学归纳法加以证明。这也是一种方法，这叫"先猜后证法”.请大家思考有无更简便的方法？能否转化为等差

5、（比）数列？ an本身是等差（比）数列吗？生7：不是.因为不可能得出am an d（常数）或*q （非零常数）an师：那么能否转化为其它的复合型（如an c、£等）成等差（比）数an列？（学生沉默）师：假如 ai 1, ani 2 3（an 2） （*），你能求出 an 吗?（学生依旧沉默）师：譬如说已知Ai 3, A i 3A,你能求出An吗？生8：能求.哦，由（*）式可知an 2是公比为3的等比数列，这样可求 了.师：那么由ani 2an 1能转化成一个复合型等比数列吗？生 9：ani 2an i ani i 2（an i） an i 是 等 比 数 列an 12 2n 12n

6、an 2nl.师：回答得好！这道题由于数字简单，故容易想到两边加1,若数字复杂而想不到两边应加什么数那咋办？（学生沉默）师：可否借助参数这个神奇的数学工具？即设应加的数为X,然后设法求出X？生 10：彳丁！ an 1 x 2an 1 x 2（an -）,令x x 即得 x 1 .师：很好，此法称作”待定系数法”资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。小结3型如an 1 can d(c 0,c 1,d 0)的递推关系式，可用凑配法或待定 系数法转化为等比数列问题.转化确实是一种重要的解题思想！数学题能够千变万化，如果将an i 2an 1改为变式4ani 2an 3n(其它

7、不 变)，则又如何解答？3n3n生 11：anix2an3nx 203-),令x 得 x 3n , .得an i 3n 2(an 3n),数列 4 3 是(欲言又止).师：能推出an 3n是等比数列吗？为什么？生12：不能.3n与an 1 3n并非相邻两项.师：那么有没有办法变成相邻两项 ？即有没有办法将an 1 2an 3n变成形 如 an 1 cn 1 q(an cn)?生13：只要两边加上3n 1即可得an 1 3n 1 2(an 3n),从而得烝3n 4 2n 1, an 2n 1 3n.师：很好！还有没有其它方法？能不能将新题转化为旧题？譬如把变式4转化为变式3的类型？生 14：能。an 12an3n241On-g,令品Tn,则cn1cn=,止匕即小33 33333结3中的类型.师：你们真棒！小结4