概率论习题及标准答案

1、概率论习题一、填空题1、掷2n十1次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是.2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的 一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率4、已知 P(A) =0.7, P(AB) =0.3,则 P(而)=.5、已知 P(A) =0.3,P(B) =0.4,P(AB) =0.5,则 P(B|AuB) =6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为.7、设 P(A) =0.4, P(A= B)=0.7,若 A,B 独立，贝U P(B)=.11 一. 8、设 A,B 为两

2、事件，P(A) = P(B)=-, P(A|B) = ,则 P(A| B)=.3629、设A,A2,A3相互独立，且P(A)=-, i =1,2,3,则A, A2, A3最多出现一个的概3率是.10、某人射击三次，其命中率为0.8 ,则三次中至多命中一次的概率为11、一枚硬币独立的投3次，记事件A= "第一次掷出正面”，事件B= "第二次掷出反面"，事件C= ”正面最多掷出一次"。那么P(C|AB)= 012、已知男人中有5暇色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，求此人是男性的概率。13、将3个球

3、随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3的概率。杯中最多有两个球时，概率为。14、把Au B = C表示为互不相容事件的和是。15、A, B,C中不多于两个发生可表示为。二、选择题1、下面四个结论成立的是()A. A -(B -C) =(A-B) . CB.若AB =0且C u A,则 BC =0C. (A - B) -B =AD. (A -B) - B 二 A2、设P(AB) =0,则下列说法正确的是(A A和B不相容B. AB是不可能事件C. P(A) =0 或 P(B) =0D. P(A B) = P(A)3、掷2n+1次硬币，正面次数多于反面次数的概率为(A.n2

4、n 1B.n -12n 1C. 0.5D.n 12n 14、设A,B为随机事件，P(B) >0,P(A|B)=1,则必有(A. P(A 一 B) =P(A)B. B AC. P(A)=P(B)D.P(AB)=P(A)5、设A、B相互独立，且P(A)>0, P( B)>0 ,则下列等式成立的是()A.P(AB»=0 B.P( A B)= P( A)P( B)C.P(A)+P(B)=1 D.P(A| B)=06、设事件A与B互不相容，且P(0>0, P(B) >0，则有()AP( AB)=1 B.P(A)=1- P(BC.P(AB»=P(A)P(B

5、) D.P(AU B)=17、已知 P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A + B)=0.6,则 P(A|B)=(A.0.2 B.0.45C.0.6 D.0.75 8、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为(A.0.125 B.0.25C.0.375 D.0.509、设事件 A,B 互不相容,已知 P(A)=0.4, P(B)=0.5,则 P(AB)=(A.0.1 B.0.4 C.0.9 D.1 10、已知事件A, B相互独立，且P(A)a0, P(B)>0 ,则下列等式成立的是()A. P(A . B) =P(A) P(B) B. P(A - B) =1 - P(

6、A)P(B)C. P(A . B)=P(A)P(B) D. P(A . B) =111、设 0 <P(A) <1 , 0<P(B)<1, P(A| B)+P(A|B)=1 ,贝().A.事件A与B互不相容B.事件A与B相互独立C.事件A与B相互对立D.事件A与B互不独立 12、对于任意两事件A和B, P(A_B)=().A P(A) -P(B) B. P(A) -P(B) P(AB)C. P(A) -P(AB) D. P(A) P(A) -P(AB)13、设A、B是两事件，且P (A) =0.6,P(B)=0.7则P (AB)取到最大值时是()A.0.6B.0.7C.1

7、D.0.4214、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过 三次而接通所需电话的概率()。1rA.0.5B.0.3 C. - D.0.8315、设每次实验成功的概率为 p(0 <p <1),重复进行实验直到第n次才取得成功的概率为()A. p (1-p)nA；B. np (1-p)nJL;C.(n-1)p (1 -p)nJ ; D.(1 - p)n.三、计算题1 . 一宿舍内住有6位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份概率。2 .设猎人在猎物100M处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为 0.5,若第一枪未 命中，则猎人继续打第二枪，此时猎人与猎物已

8、相距 150M若第二枪仍未命中， 则猎人继续打第三枪，此时猎人与猎物已相距 200M若第三枪还未命中，则猎 物逃逸。假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率。3 . 一个人的血型为A,B, AB,O型的概率分别为0.37, 0.21,0.08, 0.34,现在 任意挑选4个人，试求：(1)此4个人的血型全不相同的概率;(2)此4个人的血型全部相同的概率。4 .一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两棵骰子24至少出现一次 双6点的机会是相等的，你认为如何？5 .考虑一元二次方程x2+Bx+C=0,其中B,C分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率

9、 p和有重根的概率q6 .甲、乙、丙3位同学同时独立参加数理统计考试，不及格的概率分别为0.4, 0.3, 0.5,(1)求恰有两位同学不及格的概率；(2)如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率7 .设n件产品中有m件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格 品，求另一件也是不合格品的概率。18 .设事件A,B独立，两个事件仅 A发生的概率或仅B发生的概率都是-，求 4P(A)及 P(B).9 .将12个球随意放入3个盒子中，试求第一个盒子中有三个球的概率10、每次射击命中率为0.2,试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不小 于 0.9 ?11、在一个盒中装

10、有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率？12、某工厂生产的产品中96%!合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次 品的概率为0.02, 一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05,求在被检查后认 为是合格品产品确是合格品的概率？13、甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击， 设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7 若只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2;若有两人击中，则飞机被击落的 概率为0.6;若三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率？14、甲乙丙三人向靶子各射击一次，结

11、果有2发子弹击中靶子.已知甲乙丙击中靶 子的概率分别为4/5,3/4,2/3,求内脱靶的概率.15、如图,1,2,3,4,5表示继电器接点.假设每一继电器接点闭合的概率为p,且设各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.概率论习题答案一、填空题1 21、0.52、23、-4、WJP(AB)=0.61575、WJ P(B| A，jB) =0.8.6、41 ， 一 ，77、贝(JP(B)=0.5.8、贝UP(A|B)= 129、727.10、0.10411、0.5 12 、09513、c；c4c3 _ 9、43-1614、(A-AB(B-BC(C -CA ABC (答案不唯一)15、AB

12、C = A B C二、选择题2 .B 2.D 3.C 4.A 5.B6.A 7.D 8.C 9.B 10.B11.B 12.C13 .A 14.C 15.A三、计算题1、解：设设事件A为“至少有2个人的生日在同一个月份”，事件A为“6P6个人生日全不同月 ，P(A) =1-P(A) =1-1 =0.7772。122、解：记X为猎人与猎物的距离，因为该猎人命中猎物的概率与距离成反比，x所以有P(X=x)=,又因为在100M处命中猎物的概率为0.5, kk所以 0.5 = P(X =100) =,从而 k = 50.100记事件A, B,C分别为“猎人在100M 150M 200M处击中猎物”，事

13、件D表示“猎人击中猎物”，则P(D) (A) P(AB) P(ABC)=1 1 1十 x 3、解:四个人血型全不相同的概率为:C： 乂 0.37 父 C3 M 0.21 父 C2 M 0.08 父 0.34 = 0.0507.四个人血型全部相同的概率为:4_ 4440.370.210.080.34 = 0.03414、解：设事件A为“一颗骰子掷4次，至少出现一次6点”，则A为“一颗骰子掷4次，不出现一次6点”于是 P(A) =1-P(M) =1 I 5 =0.5177.6设事件B为“两颗骰子掷24次，至少出现一次双6点”，则B为“两颗骰子掷24次，不出现双6点”，于是P(B)=1-P(B)=1

14、|5) =0.4914.从结果可以看出，赌徒的感觉是不对的，因为两者的概率相差0.0263,而概率相差0.0263的两个事件，在实际中仅凭感觉很难发现它们的细小差别，只 有从理论上才能认识到。5、解：按题意知：C=(B,C):B,C =1,2,3,4,5,6,它含有36个等可能的样本点,所求的概率为:_ _ 2_ _ 2_p = P(B -4C _0) = P(B -4C)而B2 -4C:'(2,1), (3,2), (5,3)<(5,5)(3,1), (4, 2), (6,3) (6,5)含有19个样本点，所以(4,1),(5,2),(4, 4)(5,6)19 p ;36(5,

15、1), (6,2) (5,4) (6,6)(6,1)(4,3)(6, 4)同理 q = P(B2=4C),而B2 =4C= (2,1), (4,1)含有两个样本点,所以2q 二18366、解：设Al,A2,A3分别表示 “甲不及格”、“乙不及格”、“丙不及格”三事件,由题意知A,A2,A3相互独立，令A表示“恰有2位不及格”，则A u A1A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3P(A) = P(AiA2A3) P(A/2A3) P(AiA24)=0.4 0.3 0.5 0.4 0.7 0.5 0.6 0.3 0.5= 0.29P(A1A2 A3 A1A2 A31A)=P(AiA2A3)

16、 P(A/2A3)P(A)=15/297、解：记事件A为“有一件事不合格品”，B为“另一件也是不合格品”，则P(A)=_ 1 _ 1c'c1 mn .mP(AB)=C2CnC2CmC2CnC2CmC2Cn2m(n m) m(m 7)m(m 1)n(n -1)n(n -1)于是所求概率为：P(B | A) = P(AB)P(A)m(m-1)n(n-1)m -12m(n - m) m(m -1) 2n-m-1n(n -1)8、解：由题设知P(AB) = P(AB)=1/4.又因为A, B独立，所有由P(A) -P(A)P(B) =1/4,P(B) -P(A)P(B) =1/4,解得 P(A

17、) = P(B) =0.5.9、解：将12个球随意放入3个盒子中，所有的结果共有312个。而事件“第一个盒子中有3个球”可分两步来考虑：第一步，12个球任取3个放在第一个盒, 一J2r ”心 人 一心 人人子中，这有种可能；第二步，将余下的 9个球随意放入第二个和第三个盒<3；子中，这有29种可能，于是所求概率为:什2、9j父2934 =0.212。31210、解：设共射击n次，记事件A为“第i次射击命中目标”，i=1,2,|,n,则P(A)=0.2,由题设条件知：P(Ai . A 一 III An) =1-(0.8n)0.9,由此得0.8n <0.1 ,两边取对数解得n >

18、ln0.1/ln 0.8 = 10.318,所以n = 11可满足题 设条件。11、解：设八二第一次取出的3个球中有i个新球, i =0,1,2,3. B=第二次取出的3球均为新球由全概率公式，有3P(B)- P(B A)P(A)i =03 0.96 0.98 0.04 0.05 13、解：设A=飞机被击落, Bi=恰有i人击中飞机, i = 0,1,2,3由全概率公式，得3P(A) =、P(A|BJP(Bi) =0 =(0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7)0.2+ (0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0

19、.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0.4 X 0.5 X 0.7 =0.45814、解：设甲，乙，丙击中靶子的事件分别为 A,B,C 事件“2发子弹击中靶子”为D,则所求为：P&D) 2 1 3 3 3C9C9c6C8C9c6C7C9C6-3- 3 3- 3 3- -3- -3-= 0.089C35C3C3C3C3C3C3C315C15C15C15C15C15C1512、解：设A=产品确为合格品, B=产品被认为是合格品 由贝叶斯公式得P(AB)=P(AB)P(B)P(A)P(B A)P(A)P(B|A) P(A)P(B A)u 0.9980.96 0.98P(C I D)=P(CD)P(D)P(D |C)P(C)P(D |C)P(C) P(D