第七弹性力学平面问题的极坐标系解答资料

1、第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标（r,e）来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以 及算例第1节 平面极坐标下的基本公式采用极坐标系则平面内任一点的物理量为 M 函数。体力：fr=Kr , f-=K-面力：Kr = Fr，K. = F应力：二一 r,二 1 , ,1= r 应变：工y , ru= U r位移：U r , Ui直角坐标与极坐标之间关系x=rcos y=rsin)r sin":cosnn nl.凸 n、n 凸x r x 口 二

2、x r r dL,L,L,L, 口L,口r - f_ cos：-sinL,L,K. 0 .f.fL, 口y r y - yr r 二口一二）；r11 十 fr = 01.1平衡微分方程f.二 0ii1.2 几何方程UrUr 1巩r r ”1 ：Ur：u.ur ： rr1.3变形协调方程+1 ：2r；r2(r i)1 ；(r r>r:°1.4 物理方程平面应力问题:1(二E r6-）,ru2(1)13工？即得。平面应变问题将上式中1.5 边界条件1 .位移边界条件：Ur = Ur , Ua =另 在Su上2 .力的边界条件： r cosO,r)十7计 cos(i,s)= Kr =

3、 Fr%rcosn,r)+"rcosn，s)= K = F 在 s仃上环向边界 nr 1 r = ±Kr Jra = ±Ka(r=r0)径向边界 n/s(n'r):70r=±Kr/e = ±K (0 = 0°)1.6按位移法求解基本未知函数为位移U r , U8 ,应变、应力均由位移导出平面应力问题时的应力由位移表示E / E Ur /1 UrUr (< -y )r ( : 一) 2 ( r )f 2.()1 -1 - 二 r r 二 9 r2 (；. r)E 2(i【ur1 - r :r:u ur) rE _ E /1

4、 ：ur ：u u. 1 a_ I . 11 2(1)2(1) r :r r上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程，即位移法的基本方程。：，:r(二 r_>Kr = 0K力的边界条件也同样可以用位移表示。1. 7按应力法求解在直角坐标系中按应力求解的基本方程为（平面应力问题）fy 二 0CC yCT _xy .x二）=y）f：fy-(1)( x -)x y其中2_;2在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题）二；一 r:rC T1r r fr = 0-r2(二 r)一 2一.2-苴中=2r2力的边界条件如前所列。1.8应力函数解法当体力为零fr=f 6=0时，应力法基本方

5、程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数%r,日）表示，而应力函数*（ r, 3所满足方程为v 4*( r, a) =0 或(:二 r1 :cQ)2 = 0而极坐标系下的应力分量；;r,"r, 8）的微分求得，即:1 ：+一 ,r r1 ；,2第2节轴对称问题2.1 轴对称问题的特点1 .截面的几何形状为圆环、圆盘。2 .受力和约束对称于中心轴，因此，可知体积力分量饱=0 ；在边界上r=r0 ： F| = 0 , uj= 0 （沿环向的受力和约束为零）3 .导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的:在 V 内ue=0 ) r日=0 ) r rQ=0 ,Ur=Ur（），仃(r),二产、

6、(r), r= r (r), k i(r).各待求函数为r的函数（单变量的）2.2 轴对称平面问题的基本公式1.平面微分方程（仅一个）dLr.<j 9a -1fr = 0r2.几何方程（二个）：,dur dr 'Ur3.变形协调方程（一个）：1 F2；r 1 ：21 ：；.(r r1)- 1 r = 0r 二 r1 d- T 22r 丁 r 二 r ,、 rd"1d-0 r dr变形协调方程由几何方程：r ； 1 = Ur=d (J)/% =；dr(" dr rd 1dr4.物理方程（两个）1 .、1 /、平面应力问题，=E(IJr-.'汴=忑3-&#

7、39;JE ,、. E ,、或 仃,=；2(孙巾七)， 仃-2 (S6 +Fr)1 -1 -平面应变问题时弹性系数替换。5.按位移法求解将仃r、仃J用Ur表示，并代入平衡微分方程，一二E_ dUrUr对于平面应力问题r 1 - v 2 ( dr ' rE /Urdu2 (x)1 - rdr位移法的基本方程为：22、d Ur 1 dUr Ur (1 -).2, - 2fr = 0dr r dr r E相应边界条件：轴对称问题边界r=r 0 (常数)位移边界条件：Ur Ur 在Su上力的边界条件：订r = ± Fr 在S口上平面应力问题的力边界条件用位移表示：")= r

8、Fr在Sa上当Ur由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均可求出。6.按应力法解应力法基本方程dr2（二.二 1=-（1 +8）（-+-）平面应力可题dr其中' 2=dr2 r dr边界条件为力的边界条件:二Fr在Sa上7.按应力函数求解当无体力时应力法基本方程为:dr, 2（；）= 0选取应力函数，=（r）单变量的函数 应力分量与巾（r）的关系:crrd2V自然满足平衡微分方程，则应力函数 （r）应满足的基本方程为相容方程，即、2/c 二 =2（r ）（rdrd2dr2四阶变系数的微分方程（尤拉方程）H24> =先十 而dr21 d*1, d2。d。、1 d / d。

9、、(r2) (r ) r dr r dr dr r dr dr, 4 = (d'dr2r dr1d(rd)=1 % “d) _r dr dr r dr dr _r dr dr逐次积分(四次)可将轴对称问题的 (r)基本形式得到: (r)= Alnr+Br 2lnr+Cr 2+D其中A 、B、C、D为任意常数，D可去掉。将(r)代入应力分量与应力函数的关系式，可得平面应力、 平面应变问题应力表达式：I rdII d”A2B(1 21n r) 2Cr2Aodr2 r2B(3 21n r) 2c对于圆环或圆筒，力边界条件仅两个，不能确定三个系数。但圆环或圆筒为复连域，除了力的边界条件满足外还

10、要考虑位移A=015将应力分量表达代入几何方程的第二式，得ur = r (；r) = 1 - (1 .) A Br 3 -2(1 - )lnr 1 2Cr(1- -.)(a)UrF应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得(b)2(1 - ) ln r 1 2Cr(1 - ) F考虑位移单值性比较 （a）和（b）式:4Br-F=0 =B=F=0轴对称问题的应力和位移解为：A -A丁 2c ，-丁 2c r 'rA、C由两个力的边界条件确定U1 = 0对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题,则根据圆盘（或圆柱）中心应力和位移有限值彳导图示圆盘受力情况，得应力为r=二产2C= -qii2.3

11、轴对称问题举例例题1等厚圆盘在匀速H转动中计算（按位移法解）已知：等厚圆盘绕盘心匀速转动（单位厚）角速度为 惭（常数）、圆盘密度为ra圆盘匀速转动时受体力（离心力）作用：fr=Kr=ffl2r , fe=Ke=0在r = a边界上Kr = K"l= 0 （或Fr =did,、(1- 2) ,2 人3)一Er=°符合轴对称问题（平面应力问题）位移法的基本方程：- C2（1 - 2）-2 3积分两次： ur二C1rrr 8 e确定C1和C2： 当r = 0时，ur为有限值，须C2=0然后，利用 r = a 时，Kr = Fr = ( r )r=a = ° ,得（1 -

12、 2）C1 = （）：8代回位移表达式并求应力a2(11 一” 2 2)=(3+R)蜩2a28，ur 二r 8E、r一)(1a(1-)(3)() a813 r2(3)22 r2仃 r -(2a2(1-T)?3 a28a如果圆环匀速（0）转动，则Ur表达公式中的C2器，Cl和C2由力的边界条件定：（r） r=a =0,（ r） r=b =0例题2 圆环（或圆筒）受内外压力作用。已知： 体力fr=f e=0（或力的边界条件：在r = a边界（内径）：° r= -q a,飞=0在r = b边界（外径）：° r= q b, r H=0本问题仍为轴对称问题，且体力为零,可采用前述的应

13、力函数求解方程，也可按位移法求解1.按应力函数法求解按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：AA仃 r = T + 2C %=一二+ 2CB r J = 0r 'r ' r平面应力问题的位移：%*卜+）2Cr（1）|u卜 0利用力的边界条件：A亚2C 一 qa及A2 2C = -qb b2a2b2(qb - qa),22b - a2 .按位移法求解:由基本方程dr _ r dr2c =(rur) 0 022qaa 一 qbbb2Ur 二c C2C1r r代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有_ E /dururE ,CT( 十 教" |r21 - dr

14、r 1 -同样利用力的边界条件导出同样结果。讨论:”一C2(1-)当 qaI 0,当 qa= 0, 组合圆筒。qb= 0仅受内压，以及qb= 0、6 qb I 0仅受外压；内筒：内径a,外径b,弹性系数E、圾,外筒：内径b,外径c,弹性系数E'、一O内筒应力和位移:CTrA2 r平面应变问题urr二 0u = 0外筒应力和位移:A' AT+ 2C ,-2 + 2C , Ire - 0 rr211A 一'一Ur |- + 2Cr（1-21） , U,= 0组合圆筒应力和位移表达式中共有四个待定系数A、C、A'、C',利用四个条件定。如果内筒受内压qa外筒外

15、径无面力，则确定系数的四个条件为：（-r）r=a = -q a , （ - r ）r=c =0 ，（° r）r=b =（仃 r ）r=b ,（Ur）r=b =（Ur ） r=b又如：内筒无内压qa = 0,外筒无外压qc= 0,但内筒外径大一点，内筒外径为b+A ,外筒内径仍为b,过盈配合问题，边界条件如何写：（仃r） r=a=。，3r'） r=c=。,9r）r=b= 3r'） r=b ,（Ur ） r=b =（Ur） r=b + ' （或1（Ur ） r=b1 +（Ur） r=b1=，）第3节-对称应力问题一一曲梁的纯弯曲曲梁为单连域，当无体力作用，且受纯弯

16、曲作用时，从受力分析知曲梁1=c的截面上内力为M,各截面上的应力分布也相同与d无关的，因此属于轴对称应力问题。但位移不是轴对称的，即Ue图0 ,所以不能按轴对称问题的位移法求解，但可按轴对称应力（应力函数）解法求 应力并由应力导出位移。按轴对称应力函数解：应力函数® =。（ r）。（r）= Alnr+Br 2lnr+Cr2 （已导出）1 d A2 B(1 2ln r) 2C r dr rd2 A-2 = - 2B(3 2lnr) 2Cdr r利用力的边界条件确定A、B、C:在主要边界上r = a ：(° r) r=a = 0 ,(二 rJ) r=a = 0 ,A(1)(2)

17、2B(1 2ln a) 2c = 0ar = b ：(° r) r=b = 0 ,(二 rfl r=b = 0，A B(1 21nb) 2C = 0在次要边界上不清楚垂直边界的面力具体分布，利用圣维南原理：b在日=0： 日力=0由于主要边界满足，则此式自然满足；b在=0：:rdr = Ma0）： 7：=（叽 + （）a = M 主要边界满足时，由（1）、（2）、（3）求出A、B、C,应力求出后,依次可求出应变和位移表达式，详细推导在徐芝纶（上册）P91-92。在徐芝纶（4-13）中I、K、H为刚体位移，I = u0、K = v0, H =。可利用约束确定，如令ro =（a+b）/2

18、，曾=0处：Urur = UH = - 0 0 得 H = K =0, ：r1A八I =(1)B(1)r0-2(1- )Br0lnr0-2C(1- )r°E _ro第4节圆孔的孔边应力集中问题从本节和后面两节讨论一些工程中经常用到的一些解，仍采用应力 函数解法。本节讨论一个无体力的矩形薄板，薄板内有一个小圆孔(圆孔 半径a很小)，薄板两个对边分别受均匀拉力q1和q2作用，由于板内有微 小圆孔，孔边应力将远大于距孔稍远处的应力一一称应力集中问题。42.什什竹竹叶,一 qkqiq2q=(qi+q2)/2q' =(qq2 )/2HHHH I IL=(qq2 )/2图(c)+ +Ui

19、uuuurq=(qi+q2)/2图(b)图(a )受力情况，依照线弹性力学叠加原理:图（a ）的解=图（b ）的解+图（c ）的解。（a）,（c）二.二二.r r r , ,rir? r?下面分别讨论图（b ）和图（c ）的解：图（b ）情况,远离孔的位置应力为仃xb）=仃yb） = q, xy）= 0其中q=（qi+q2）/2,图（b ）解相当圆环内径无内压qa= 0,外径受外压qb= q作用情况，已有解，只须将a/b t 0代入，得二r2a(1 一下)q =ra、(qiq2)(1 下)2(i a2)q 二r2(1 y q2)r 2(b)图（c ）情况，远离孔的位置应力为 CTx= - by

20、 =q' , 1xy= 0 ,其中 q' =（q-q2）/2,通过应力转换式可得 仃r =q' coS2,仃日=-q' coS2 ?a= -qSin2e。可见，图（c ）的应力不是轴对称的（结构为轴对称），关 键是要设应力函数"，!），采用半逆解法:（1）根据应力函数与应力分量的关系式判断。（r,6）应有cos2,项 （因子）。1 :21在较远处t q' coS2 + r2 T 2r 二 口 r r:2灯在较远处t - q' coS2 r1,卜作；才在较远处t - qsin2M(2)假设应力函数4( r, I)可以分离变量，设为(r,尸

21、f(r)g(户f(r)cos2 二将所设。(r, 的形式，代入，4。= 0，得；d4 J2d3f9 d2 9 dfOHc o SB4-320dr r dr r dr r dr42八 D解出 f(r) = Ar+Br +C十二代回应力函数( r,4得r(户)=(Ar4 Br2 C D2 )co 2 r可求得应力分量表达式为4C 6D二 r = -(2B24 )co2r r2 6D；r -(12Ar2 2B 4 )coQ r2 2C 6D一(6Ar 2B - - - -)si 2 r r应力分量中的四个系数由四个力边界条件确定，即(- r)r=a = 0,( r 1)r=a = 0 ,(°

22、; r)r=b = q coS2("a) r=b =-qsin2"；由此四各方程解得其中'2Nbam'2q2Na 6 i(b)一 .，a、2 _aN = 1 - 4( )6()b b64当 a/b，0 （无限大板中有小孔）代入上述各系数表达式，得N=1, A=0, B= -q' /2, C=q2 ： D= -q' 4/2再代入上面图（c ）应力表达式，可得应力最后表达式:220 r = q （1 - 告"）（1 - 3句）c o S" r r4仃 Ic） = q'（1 + 3a7）c o SM ra2a2-q (1

23、- 2)(1 3 2)si2rr最后图（a ）应力由图（b ）应力解和图（c ）应力解相加而得。(a) cr ' 'r二 J)(a) r 口22%产1 q2)(q1-q2) a2a2)8S2r 22 r r-a2、(q1 q2) (q1 - q2)a2、=(1 一)1(1 3)coSr222r222一(q1 一 q2)(1 . a2)(i 3a2)si 22 r r当qi = q , q2 = 0代入上式，可得齐尔西解，徐芝纶（上册）：P101（4-17）式。n qBsX -二二三二第5节曲梁的一般弯曲曲梁无体力作用，曲梁顶部受集中力P作用。仍采用半逆解法:考虑曲梁截面上内力表

24、达式，推出应力函数的函数变化。在 “截面内力:aQ 一 PCO* r:1一()二 r r 二1根据应力函数与应力分量的关系式判断也r,与应有sin雷项（因子）。假设应力函数。（r,日）可以分离变量,设为(r, 1 )=f(r)g(，)=f(r)sin ?代入翻4。= 0,得4_3_2_.-d4f2 d3f3d2f3df3f、八sin( 4-3一27 23*一4尸0dr r dr r dr r dr r解得 f(r)=Ar 3+ Br +Crlnr + D/r则 由(r,日)=(Ar3+ Br +Crlnr + D/r ) sin其中 Brsine =By可略去。将e( r, e )代入应力分量

25、表达式<Tr2 r2r ：r=(2Ar C r - 2D r3)si na6:r2=(6Ar C r 2D r3)si n) = -(2ArC r - 2D r3)cos足。A、C、D由力的边界条件来定。力的边界条件：在主要边界上，在 r = a ： r = 0 , BrJ= 0, 2Aa+C/a-2D/a 3= 0在 r = b ：%= 0 , r户 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0在次要边界上，在日=0 ,环向方向的面力为零，仃F日=端=0满b 径向方向的面力Fr的分布未给出，但给出Fr的合力。Frdr = - Pb利用圣维南原理(r)=°dr = Pa=-b(2Ar

26、 C r - 2D r3)dr ' Pa22b b - a或 - A(b - a ) - Cl n D 2= Pa a b由上述方程解出A = -P-C =P 22P2.2- (a b ) D = - a bN, 2N其中N = (a2222b- b2) (a2 b2)ln- a二二P(rr NP 0(3r -N222.a b a b+3r r222.a b a b2)sin1. riP(r - Nra2 b2)sin?22 2a b3 )cos1r代回应力分量表达式情况1楔形体不考虑体力，楔形体顶部注意：这个应力解在曲梁两端是不能用的。应变和位移可由物理和几何方程导出。第6节楔形体在

27、楔顶或楔面受力本节讨论楔形体分别受三种不同荷载作用时，其应力解答如何， 并将其中某些解答推广到半无限体情况。楔形体分别受三种不同荷载作用时， 应力函数,( r, 9)的选取考虑:(1 )采用分离变量法( r, 4)=g(r)f( I)；(2 ) 考虑应力函数在楔形体边界上的变化规律，将 "r,日)中的g( r)的形式假设出来，然后利用 日” =0求f( a)的形式;(3)利用边界条件确定f(日)的表达式的待定系数。受集中力P作用/2/2已知：顶角为 也 的楔形体受集中力P作用,P的作用方向与楔形体顶角平分线(x轴)夹角为设应力函数(r, D=g(r)f( D且利用无体力时，应力函数

28、(r r, Q)在边界上的值及偏微分与边界上面力的关系式来确定 g(r)的形式。BBB 一 A ,(x- XB)Yds- /y - yB)XdsA.A.首先可设边界上始点A的。A = 0,则边界上在OA段任意点B的中值为B = 0 ,任意点经过。点，在OB段的中值为®=Prsin(B+，/2)；。与r 一次式有关。可设(r, 9 ) = g(r)f( ) = r f(")P之间量纲关系来设。代入置44 = 0 ,得:f(1) =0d4f d4。(r,日)的假设也可以由"r,日)与应力分量的关系及应力分量与集中力解得f)= Acos +Bsin 口 + ? (Cco

29、s+Dsin 口)而应力函数(r, ) A r cos + B r sin - + - r (Ccos "Dsin )由( r,日)可得应力分量表达式21 :21 :+2 一=-(D cos:-Csin。)仃 e =即日=0系数C、D的确定:首先应考虑边界条件来定，即 日=/2时，仃9=0 ,0伯=0 ,自然满足。可见仅靠力的边界条件不能确定所有待定系数，这是由于本问题 的载荷是作用于一点的集中力，在顶点有奇点，待定系数需靠部分楔形体的平衡而确定，即三 Fy = 0：二 2一：c0mdiPsin = 0三 Fx = 0:PcosD 二sin ：Psin:一sin：代回应力分量表达式2P(cos cos"sin sin"sin-sin-r1二 0讨论:1.crr2P cosr : sin'2P2.当脚4时楔形体变为半无限体，受集中力作用:2Prsi n s i n)0xy2P c